黑龙江省鸡东县2021-2022学年高二下学期3月开学考试数学试题（Word版含答案）

鸡东县2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学试题
一、选择题（60分）
1.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.
2.如图所示,正方体中,点分别在上,且,则( )
A.至多与之一垂直 B.与都垂直
C.与相交 D.与异面
3.已知直线与直线互相垂直，则点到直线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
4.若圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为，则这个圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.直线的倾斜角等于( )
A. B. C. D.不存在
6.动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，M是E上一点，且为等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线E的离心率为( )
A. B. C. D.
8.记为等比数列的前n项和．已知，则公比q为( )
A. B.1 C. D.1或
9.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
10.函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
11.若函数有两个极值点，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离如图)，其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为( )
(参考数据：
A. 6400m B. 7200m C. 8100m D. 10000m
二、填空题（20分）
13.已知,,三点共线,则__________.
14.已知圆与圆相交，它们公共弦所在直线的方程是____________
15.已知双曲线的左焦点为,点是双曲线C右支上的动点,则的最小值等于______________.
16.已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则___________.
三、解答题（90分）
17.（10分）已知等差数列为递增数列，且满足，.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，为数列的前n项和，求.
18.（12分9已知的顶点，直线AB的方程为，边AC上的高BH所在直线的方程为.
（1）求顶点A和B的坐标；
（2）求的外接圆的一般方程.
19.（12分）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为与，原点到直线的距离为.
求椭圆的标准方程；
过椭圆长轴上一点作斜率为的直线，与椭圆的两个不同交点为(不同于点)，试问是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由.
20.（12分）已知圆和直线
（1）当圆C与直线l相切时，求圆C关于直线l的对称圆方程；
（2）若圆C与直线l相交于P、Q两点，是否存在m，使得以PQ为直径的的圆经过原点O？
21.（12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，．（注：三角形重心分中线所成的比为2:1,此性质可直接使用）
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
22.（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1.答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，则，
解得
故选D.
2.答案：B
解析：以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则,,,,,即,即.又,.故选B.
3.答案：C
解析：由已知得，，，又，
，解得.
此时直线的方程为，
点到直线的距离，故选C.
4.答案：B
5.答案：B
6.答案：C
解析：由已知得，当两圆内切时，定圆N在动圆P的内部，有；当两圆外切时有，故，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线，且，，所以，，故圆心P的轨迹方程为.
7.答案：C
解析：解法一 不妨设M在第一象限，，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能.令，则，，，在中，由正弦定理可得，所以，则，，则，，即.又点M在双曲线上，所以，解得，则，则，故选C.
解法二 不妨设M在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能.令，则，，，由正弦定理可得，所以，则，，即，，则，，即，根据，得，则，故选C.
8.答案：D
解析：∵，
①当时,，满足条件。
②当时,可得解得.
综上可知：或.
故选：D
9.答案：C
解析：当时，.当时，，，两式相减，可得，故.因为也适合上式，所以.依题意，，故 .
10.答案：A
解析：.故选：A
11.答案：B
解析：当时，单调递增，无极值点，不符合题意；当时，令得，，.记，，记，恒成立，在上单调递减，又，时，，，时，，，在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，，有两个极值点，与与有两个不同交点，，.故选B.
12.答案：C
解析：根据题意可知，，，，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
13.答案：2
解析：由三点共线得向量与共线,即,,,解得,,∴.
14.答案：
解析：用圆的方程减去圆的方程得两圆公共弦所在直线的方程是，即.
15.答案：6
解析：设双曲线的右焦点为,如图,连接.根据双曲线的定义可知,所以,所以,而,所以,所以要求的最小值为6.
16.答案：2
解析：
17.答案：解：（I）设等差数列的公差为d，
由题意知，
，
，或.
为递增数列，，
故数列的通项公式为.
（Ⅱ），
.
解析：
18.答案：（1）由解得
所以顶点.
因为，，
所以设直线AC的方程为，
将代入，得.
联立解得
所以顶点，
所以顶点A和B的坐标分别为和.
（2）设的外接圆方程为，将，和三点的坐标分别代入，得
解得
所以的外接圆的一般方程为.
解析：
19.答案：(1)由题意知，
则直线的方程为，即,
所以,解得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)设.
则直线的方程为，代入得.
所以,
所以
,
所以(定值).
解析：
20.答案：（1）由题意可知圆C中，圆心坐标为，
设关于直线的对称点，则
，即有，故所求圆的方程为
（2）假设存在，使得以PQ为直径的的圆经过原点O，则设、，
联立，消去y整理可得，
，
，
∴，且符合题意，所以存在
解析：
21.答案：（1）设交于，连结，因为分别是，的中点，则G为的重心，所以，易知为的中点 ，所以．又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以∥平面．
（2）如图，以为原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系．
设．在菱形中，因为，所以是等边三角形，故．
又因为，平面，所以．
所以，，，，
所以，，，
设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.
设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，
取，则.设法向量的夹角为，则
所以二面角的余弦值为．
解析：
22.答案：（1）当时，，
则，所以.
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）若存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
所以只需使，.
设，
则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
，
所以.
所以，
所以实数a的取值范围为.