§2.3 函数的奇偶性
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则
f(－1)等于 ( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
2．(2010·全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于 ( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
3．已知f(x) (x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于 ( )
A. B．1 C. D．2
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0
的x的取值范围是 ( )
A．(－∞，2) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
5． f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解
的个数至少是 ( )
A．1 B．4 C．3 D．2
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(2)＝________.
7．(2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且当x∈(0,5)时，f(x)＝x，则f(2 011)
的值为________．
9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于
f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正确的序号是________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若a、b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有
>0.判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．
11.(14分)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
12．(14分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1
时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 009]上的所有x的个数．
答案
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B
6．0 7．－1 8．1 9．①②⑤
10．解 f(x)在[－1,1]上是增函数．证明如下：
任取x1、x2∈[－1,1]，且x1则－x2∈[－1,1]．又f(x)是奇函数，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
据已知>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1,1]上是增函数．
11．(1)证明 显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，
得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)解 由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，
得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
12．解 当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x (－1≤x≤1)．
又设1∴f(x－2)＝(x－2)．
又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2)
＝－[－f(－x)]＝－f(x)，
∴－f(x)＝(x－2)，
∴f(x)＝－(x－2) (1∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.
又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(x)＝－的所有x＝4n－1 (n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 009，则≤n≤，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z)，
∴在[0,2 009]上共有502个x使f(x)＝－.
课件34张PPT。相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数 存在一个最小 (2)(3)(－1,0)∪(1，＋∞)BAD B解
