2013届高考专题复习 函数的性质

2013届高考专题复习 函数的性质
--抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：
一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

例2．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：
任取
因为在上是减函数，所以。
又是偶函数，所以
，
从而，故在上是增函数。
2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。
例3．若函数与的图象关于原点对称，判断：函数
是什么函数。
解：设图象上任意一点为P（）
与的图象关于原点对称，
关于原点的对称点在的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性
例4．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)
求证： f(x)是R上的增函数
解:设x1>x2
g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0
g(x1) > g(x2) >0
g(x1)+1 > g(x2)+1 >0
> >0
- >0
f(x1)- f(x2)=- =1--(1-)
=->0
f(x1) >f(x2)
f(x)是R上的增函数
例5．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
证明：对一切有。
且，令，得，
现设，则，，
而

，
设且，
则


，
即为减函数。
2.证明奇偶性
例6．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，
得
令，得
于是
故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例7．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
在上是减函数，
由得。
（1）当时，
，不等式不成立。
（2）当时，

（3）当时，


综上所述，所求的取值范围是。
例8．已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
解：
对恒成立
对恒成立

对恒成立，

四、不等式
1.解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。
例9．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且
则
，
即，

故为增函数，
又

因此不等式的解集为。
2. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例10．已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。
分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有

五、比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例11．已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
分析：且，

又时，是增函数，

是偶函数，

故
六、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例12.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。
（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；
（3）设，
，若，求满足的条件。
解：（1）令得，
或。
若，当时，有，这与当时，矛盾，
。
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由

（3）由得
由得 （2）
从（1）、（2）中消去得，因为
，
即