3.1 第1课时 不等关系与不等式
基础巩固
一、选择题
1．若a>b，ab≠0，则下列不等式恒成立的是( )
A.< B.<1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
[答案] C
[解析] y＝2x是增函数，∵a>b，∴2a>2b.
2．已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P
C．P≤Q D．无法确定
[答案] C
[解析] P－Q＝－a2＋a－1
＝
＝＝，
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0，－a2(a2＋1)≤0，∴≤0，∴P≤Q.
3．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么8天的行程就超过2200km；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间．这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )
A．(259,260) B．(258,260)
C．(257,260) D．(256,260)
[答案] D
4.如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y万元与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x满足什么条件时，该公司赢利( )
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
[答案] A
5．已知aA．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0 D．b2－4ac的正负不确定
[答案] A
[解析] ∵a＜b＜c且a＋b＋c＝0，∴a＜0，c＞0
∴ac＜0，∴b2－4ac＞0.
6．已知aA.> B.>
C.< D．a3[答案] A
[解析] ∵a不成立，故选A.
二、填空题
7．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________．
[答案] m≥n
[解析] m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.
8．若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．
[答案] a<0且a≠－1
[解析] ∵(a＋1)2－(a＋1)3＝(a＋1)2(－a)
＝－a(a＋1)2>0，
∴a<0且a≠－1
三、解答题
9．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解析] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意，得
，即.
10．在正方向向右的数轴上，实数对应的点为A，实数1对应的点为B，那么A是在B左边，还是在B右边？
[解析] ∵－1＝≤0，
∴≤1(当a＝±时取“＝”)．
∴当a≠±时，A在B左边；
当a＝±时，A与B重合．
能力提升
一、选择题
1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
[答案] C
[解析] 设购买软件、磁盘x片、y盒．依题意得
，即.
(1)当x＝3时，7y≤32，y≤，∵y∈N＋，
∴y＝2，y＝3，y＝4，
此时有3种选购方式．
(2)当x＝4时，7y≤36，y≤，
∵y∈N＋，∴y＝2，y＝3，
此时有2种选购方式．
(3)当x＝5时，y≤，
∵y∈N＋，∴y＝2
此时有1种选购方式．
(4)当x＝6时，y＝2，此时有1种选购方式．
∴共有7种选购方式．
2．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是( )
A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200
C. D.
[答案] C
[解析] ∵仓库的长a大于宽b的4倍，
∴a>4b，
又∵矩形仓库的面积为200m2，
∴(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.
二、填空题
3．如果a>b，那么下列不等式：
①a3>b3；
②<；
③3a>3b；
④lga>lgb.
其中恒成立的是________．
[答案] ①③
[解析] ①a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)
＝(a－b)[(a＋)2＋b2]>0；
③∵y＝3x是增函数，a>b，∴3a>3b
当a>0，b<0时，②④不成立．
4．对于0①(1＋a)< (1＋)；
②(1＋a)> (1＋)；
③()1＋a<()1；
④()1＋a>()1.
其中成立的是________．
[答案] ②④
三、解答题
5．某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5人，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修．写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解析] 设装修大、小客房分别为x间、y间．则
，
即.
6．已知：m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
[解析] f(a)－f(b)＝－
＝m(－)＝
∵a＞b＞1，∴a－1＞0，b－1＞0，b－a＜0
(1)当m＞0时，f(a)＜f(b)；
(2)当m＜0时，f(a)＞f(b)；
(3)当m＝0时，f(a)＝f(b)．
7．设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
[解析] f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2
＝logx(3x)－logx4＝logx.
(1)当x>时，logx>0，故f(x)>g(x)；
(2)当x＝时，logx＝0，故f(x)＝g(x)；
(3)当1所以f(x)(4)当00，
所以f(x)>g(x)．
综上知：当x>或0g(x)；
当1当x＝时，f(x)＝g(x)．
3.1 第2课时 不等式的性质
基础巩固
一、选择题
1．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：( )
①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①∵ab＜0，∴＜0
又∵bc－ad＞0∴·(bc－ad)＜0即－＜0
∴①错；
②∵ab＞0，－＞0
∴ab(－)＞0
即：bc－ad＞0
∴②正确；
③∵－＞0∴＞0，
又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．
2．如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是________( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0
[答案] C
[解析] 由已知c＜0，a＞0，易判断A、B、D正确．
3．下面的推理过程中错误之处的个数为( )
ac>bd >
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①②④三处错误．
4．已知aA．|b|<－a B．ab>0
C．ab<0 D．|a|<|b|
[答案] A
[解析] 特殊值法：令a＝－1，b＝0，满足a|b|，排除D，故选A.
5．已知A＝a5＋b5，B＝a2b3＋a3b2(其中a>0，b>0，a≠b)则( )
A．A≥B B．A≤B
C．A>B D．A[答案] C
[解析] A－B＝a5＋b5－a2b3－a3b2
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)，
∵a>0，b>0，a≠b，∴A－B>0，故选C.
6．(2011·余姚高二检测)设P＝，Q＝－，R＝－，则P、Q、R的大小顺序是( )
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
[答案] B
[解析] ∵P2＝2，Q2＝10－2，R2＝8－4，
P2－Q2＝2－8>0，P2－R2＝4－6>0，Q2－R2＝2＋4－2<0.
又∵P>0，Q>0，R>0，∴∴P>R>Q.
二、填空题
7．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．
[答案] ?③，?②，?①中任选两个即可．
[解析] ?＞0.若③成立，则①成立∴②③?①；若③成立即bc＞ad，若①成立，则＞，∴＞∴①③?②；若①与②成立显然有③成立．
8．实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d[答案] a[解析] ∵d>c，∴d－c>0，
又∵a＋d∴b－a>c－d>0，
∴b>a.
三、解答题
9．证明下列不等式：
(1)已知a(2)已知a>b>0，求证：>；
(3)已知a>b，<，求证：ab>0.
[解析] (1)－＝
∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2.
故b2－a2＜0.
又∵ab＞0，∴＜0，∴＜.
(2)∵a＞b＞0，∴＞＞0， ①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数得：＞＞0， ②
①、②两式相乘得：＞.
(3)－＝，∵a＞b，∴b－a＜0，
又∵＜，∴－＜0，∴＜0，
∴ab＞0.
10．已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
[解析] 左边－右边＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)]
＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a)
＝(a－b)(b－c)(a－c)
∵a>b>c，∴(a－b)(b－c)(a－c)>0，命题得证．
能力提升
一、选择题
1．已知a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
[答案] B
[解析] 特殊值法：∵a2＋a<0，∴－1∴令a＝－，a2＝，－a＝，－a2＝－，故选B.
2．已知a，b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
[答案] C
[解析] 对于A可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A错，对于B要使ab2对于D要使<成立，即<0成立，ab的符号也不确定．故D错．
二、填空题
3．若a>0，b>0则＋________(填上适当的等号或不等号)．
[答案] >
[解析] ∵a>0，b>0，∴(＋)2＝a＋b＋2，
()2＝a＋b，∴(＋)2>()2，即＋>.
4．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是________________．
[答案] p＜r＜s＜q
[解析] 取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r＝，s＝则p＜r＜s＜q(特值探路)．
具体比较如下：
p－r＝－＝＜0，∴p＜r.
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0
∴a＋m＞b＋m＞0.a＋n＞b＋n＞0，
∴＜1，＞1，∴r＜s.
或r－s＝－＝＜0.
∴r＜s.s－q＝－＝＜0，
∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.
三、解答题
5．比较5与5的大小．
[解析] ∵5<0，5<0，
6．船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
[分析] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系，首先要把这两个速度用两地距离和时间的关系表示出来，再作比较．
[解析] 设甲地到乙地的距离为s，船在静水中的速度为u，水流速度为v(u>v>0)，则船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的时间
t＝＋＝，
平均速度＝＝.
∵－u＝－u＝＝－<0
∴因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度．
7．若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
[解析] 解法一：设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
∴，∴.
∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，
∴6≤f(－2)≤10.
解法二：设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
由已知得，又f(－2)＝4a－2b，
设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，
∴，即.
∴3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6.
∴6≤a＋b＋3(a－b)≤10即6≤4a－2b≤10.
8．已知0[解析] ∵，两式相加得
－<2a<.
设3a－＝m(a＋b)＋n(a－b)＝a(m＋n)＋b(m－n)，则有
，
解得m＝，n＝.
∴3a－＝(a＋b)＋(a－b)．
∴，
两式相加，得－<3a－<.
故2a∈(－，)，3a－∈(－，)．
3.2 第1课时 均值不等式
基础巩固
一、选择题
1．若x∈R，则下列不等式成立的是( )
A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2x
C.<1 D．2x≤2
[答案] D
[解析] A中，x≤0时，不等式不成立；B中x＝1时，不等式不成立；C中x＝0时，不等式不成立，故选D.
2．下列函数中，最小值为4的是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝2×
C．f(x)＝3x＋4×3－x D．f(x)＝lgx＋logx10
[答案] C
[解析] A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不能取等号，f(x)＝2×＝2×＝2×(＋)≥4，要取等号，必须＝，即x2＋4＝1，这是不可以的，排除．故选C.
3．(2011·陕西文)设0A．aC．a<[答案] B
[解析] ∵0A、C错误；－a＝(－)>0，即>a，故选B.
4．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为( )
A．10 B．6
C．4 D．18
[答案] D
[解析] x＋y＝5,3x＋3y≥2＝2＝2＝18.
5．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
[答案] B
[解析] 本题考查均值不等式求最值，注意均值不等式求最值时必须具备的三个条件：一正、二定、三相等．
∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，
∴当x＝0时，f(0)＝0.
当x>0时，f(x)＝＝≤，
当且仅当＝，即x＝1时f(x)取最大值.
6．若x>4，则函数y＝x＋( )
A．有最在值－6 B．有最小值6
C．有最大值－2 D．有最小值2
[答案] B
[解析] ∵x>4，∴x－4>0，∴y＝x－4＋＋4≥
2＋4＝6.
当且仅当x－4＝，即x－4＝1，x＝5时，取等号．
二、填空题
7．设实数a使a2＋a－2>0成立，t>0，比较logat与loga的大小，结果为________________．
[答案] logat≤loga
[解析] ∵a2＋a－2＞0，∴a＜－2或a＞1
又a＞0且a≠1，∴a＞1
∵t＞0，∴≥，∴loga≥loga＝logat，
∴logat≤loga
8．函数y＝x·(3－2x) (0≤x≤1)的最大值为______________．
[答案]
[解析] ∵0≤x≤1 ∴3－2x＞0 ∴y＝2x·(3－2x)≤[]2＝，当且仅当2x＝3－2x即x＝时，取“＝”号．
三、解答题
9．已知：a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．
[解析] ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc ①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.
①式两边分别加入a2＋b2＋c2得：
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥，
3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac
＝(a＋b＋c)2＝1，
∴ab＋bc＋ca≤.
综上知，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.
10．求函数y＝(x>－1)的最小值．
[解析] ∵x>1，∴x＋1>0..
∵y＝＝
＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)，取得最小值为9.
能力提升
一、选择题
1．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是( )
A. B．2 C．3 D．6
[答案] D
[解析] ∵x＋3y＝2，∴x＝2－3y.
∴z＝3x＋27y＝32－3y＋27y＝＋27y≥2＝6，当且仅当＝27y，
即27y＝3，∴33y＝3，∴3y＝1，∴y＝.
即x＝1，y＝时，x＝3x＋27y取最小值6.
2．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则( )
A．RC．Q[答案] B
[解析] 由a＞b＞1，得lga＞lgb＞0，
Q＝(lga＋lgb)＞＝P，
R＝lg()＞lg＝(lga＋lgb)＝Q，
∴R＞Q＞P.
二、填空题
3．已知a>0，b>0，a＋b＋3＝ab，则a＋b的最小值为________．
[答案] 6
[解析] ∵a>b，b>0，a＋b＋3＝ab，
∴a＋b＋3＝ab≤()2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
∴a＋b≥6.
4．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．
∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.
又mn>0，∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋(＋)≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立．
三、解答题
5．已知a<0，b<0，c<0，且a＋b＋c＝－1，求＋＋的最大值．
[解析] ∵a<0，b<0，c<0且a＋b＋c＝－1，
∴＋＋＝＋＋＝－3－(＋＋＋＋＋)≤－3－(2＋2＋2)＝－9.
当且仅当a＝b＝c＝－时，等号成立．
6．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．
[解析] ∵a2＋＝1，
∴a2＋＝，a＝·a·≤·＝·＝.
∴当a2＋＝1且a＝，
即a＝，b＝时，a的最大值为.
7．甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪一家公司平均成本低？请给出证明．
[解析] 设第一、二次购芯片的价格分别是每片a元和b元，那么甲公司两次购芯片的平均价格为
＝，
乙公司两次购芯片的平均价格为
＝.
∵a>0，b>0，a≠b，
∴>.
又＋>2＝，
∴<.
∴>.
∴乙公司的平均成本低．
3.2 第2课时 基本不等式的应用——证明问题
基础巩固
一、选择题
1．a，b∈R＋，则，，三个数的大小顺序是( )
A.≤≤ B.≤≤
C.≤≤ D.≤≤
[答案] C
[解析] 取a＝2，b＝8，则＝5，＝4，
＝3.2
∴选C.
比较如下：已知≥，又－
＝＝≥0
∴≥.也可作商比较＝≥1.
2．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则有( )
A．1C．ab<<1 D.[答案] B
[解析] 特值法：取a＝－1，b＝3则ab＝－3，＝5排除A、C、D选B.
比较如下：
－1＝＝＝1－ab
∵a，b∈R且a≠b，若ab≤0，则有1－ab>0；
若ab>0，∵a＋b＝2，∴a，b∈R＋，∴2＝a＋b>2
∴ab<1，∴1－ab>0.总有－1>0，∴>1；
由上面可知1>ab，∴选B.
3．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是( )
A．RA>RB B．RA＝RB
C．RA[答案] A
[解析] RA＝，RB＝，
RA－RB＝－＝
＝>0，所以RA>RB.
4．已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
[答案] B
[解析] ∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，
又lga＋lgb＝6，∴lga·lgb≤()2＝()2＝9，故选B.
5．设a、b是正实数，以下不等式
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] D
[解析] ∵a、b∈R＋时，a＋b≥2，∴≤1，
∴≤，排除A、B；
∵ab＋≥2>2恒成立，故选D.
6．若A＝asin2x＋bcos2x，B＝acos2x＋bsin2x(a、b、x∈R)，则m＝AB，n＝ab，p＝A2＋B2，z＝a2＋b2满足( )
A．m≥n，p≥z B．m≤n，p≤z
C．mn≥pz D．m＋z≥p＋n
[答案] D
[解析] AB＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)
＝ab＋(a－b)2sin2xcos2x≥ab，∴m≥n，
p＝A2＋B2＝(A＋B)2－2AB＝(a＋b)2－2AB，
z＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，∴p≤z，
∴m＋z≥p＋n.
二、填空题
7．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
[答案] 6
[分析] 此类题一般利用基本不等式转化为的不等式求解．
[解析] ＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.
三、解答题
8．若a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
[解析] ∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，
∴≥(a＋b)．
同理≥(b＋c)，≥(a＋c)．
故＋＋≥(a＋b＋b＋c＋a＋c)＝(a＋b＋c)．
9．已知a，b，c∈R＋，求证＋＋≥a＋b＋c.
[解析] ∵a，b，c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，
＋c≥2·c＝2b，
＋a≥2＝2c，
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
能力提升
一、选择题
1．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则有( )
A．P＝Q B．P≥Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案] C
[解析] Q＝ ·
＝≥
＝＋＝P.
2．设a、b、c都是正实数，且a、b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围是( )
A．(0,8] B．(0,10]
C．(0,12] D．(0,16]
[答案] D
[解析] 解法一：∵a、b都是正实数，且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)·
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝即b＝3a时等号成立，
此时a＝4，b＝12，∴(a＋b)min＝16.
∵a＋b≥c恒成立，∴0解法二：由＋＝1得b＋9a＝ab，
∴(a－1)(b－9)＝9，
又∵＋＝1，a>0，b>0，
∴a>1，b>9，
∴(a－1)(b－9)≤2
∴a＋b≥16，等号在a－1＝b－9＝3时成立，
∴要使a＋b≥c恒成立，应有0二、解答题
3．已知a、b、c为正数，求证：＋＋≥3.
[解析] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而(＋)＋(＋)＋(＋)≥6(当且仅当 a＝b＝c时取等号)．
∴(＋)＋(＋)＋(＋)－3≥3.
即＋＋≥3.
4．设a，b，c，d都是正数，求证＋≥4.
[解析] ∵a，b，c，d∈R＋，∴＋＝＋＋＋≥2＋2≥2＝4当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．
5．设a>b>c，求证bc2＋ca2＋ab2[解析] ∵a>b>c∴(a－b)(b－c)(a－c)>0
即(a－b)(b－c)[(a＋b)－(b＋c)]>0
∴(a2－b2)(b－c)＋(c2－b2)(a－b)>0
∴a2(b－c)＋c2(a－b)－[b2(b－c)＋b2(a－b)]>0
∴a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)>0
即：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
6．设a，b，c均为实数．
求证：＋＋≥＋＋.
[解析] ∵a、b、c均为实数，
∴(＋)≥≥，当a＝b时等号成立；同时，(＋)≥≥，当b＝c时等号成立，(＋)≥≥，
当a＝c时等号成立．
三个不等式相加即得＋＋≤＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
3.2 第3课时 均值不等式习题课
基础巩固
一、选择题
1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
[答案] B
[解析] 取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B.
具体比较如下：∵02．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
[答案] A
[解析] 令2x＝，由x<0得x＝－，
∴在x＝－两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D.
f(x)＝2x＋－1＝－－1
≤－2－1＝－2－1，
等号在x＝－时成立，排除B.
3．设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，则ax＋by的最大值是( )
A．2 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 令a＝cosα，b＝sinα α∈[0,2π)，
x＝cosβ，y＝sinβ，β∈[0,2π)．
∴ax＋by＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)≤.
∴ax＋by的最大值为.
4．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
[答案] D
[解析] f(x)＝＝＋，
∵x≥，∴x－2≥，f(x)≥2＝1.
当且仅当x＝3时等号成立．
5．设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c∈R＋)，则M的取值范围是( )
A．[0，) B．[，1)
C．[1,8) D．[8，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵a＋b＋c＝1，
∴M＝(－1)(－1)(－1)，
＝(＋)(＋)(＋)≥2·2·2＝8.
∴M∈[8，＋∞)．
6．若x、y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2取得最小值是( )
A．3 B.
C．4 D.
[答案] C
[解析] (x＋)2＋(y＋)2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝x2＋＋y2＋＋＋.
∵x2＋≥2＝1，
y2＋≥2＝1，
＋≥2，
当且仅当时成立，
即x＝y＝时，
(x＋)2＋(y＋)2取得最小值为4.
二、填空题
7．(2010·山东文)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
[答案] 3
[解析] ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号．
8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________
[答案] (a－b)2
[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．
∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.
当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．
∴当x＝，ymin＝.
三、解答题
9．已知a>0，b>0，c>0，d>0，求证：＋≥4.
[解析] ＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”)．
10．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
[解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2
等号在＝即＝时成立
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18
又a＋b＝10，∴ab＝16.
∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
能力提升
一、选择题
1．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则的最小的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 由题意，得，
∴＝＝＝＋2，
∵x>0，y>0，
∴＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝y时，取“＝”号)．
2．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] ∵x、y、a∈R＋，∴(x＋y)(＋)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2，即9≤(1＋)2，∴a≥4，故选B.
二、填空题
3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于()2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．
[答案] 8
[解析] 物资全部运到灾区需t＝
＝＋≥8，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，∴tmin＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．
4．(2010·浙江文)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵x>0，y>0，
∴2x＋y≥2，
∴2x＋y＋6＝xy≥2＋6，
∴()2－2－6≥0，
解得≥3，即xy≥18.
三、解答题
5．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
[解析] [f(x1)＋f(x2)]≤f()
∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg，
而x1、x2∈R＋，x1x2≤()2，
而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．
∴lg(x1x2)≤lg()2，∴lg(x1x2)≤lg.
即(lgx1＋lgx2)≤lg.
因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
6．图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使视角最大？(如下图)
[解析] 要求何时θ达最大值，可先求何时tanθ达到最大值．
如图，tanα＝，tanβ＝.
∴tanθ＝tan(β－α)＝＝＝，
∵x＋≥2＝2(x>0，a>0，b>0)．
∴tanθ≤，
当且仅当x＝即x＝时取“＝”．
又∵x∈(0，)，y＝tanx是增函数，
∴x＝时，θ有最大值．
答：观察者站在离墙米的地方时，θ有最大值
3.3 第1课时 一元二次不等式及解法
基础巩固
一、选择题
1．若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0A．{x|0C．{x|1[答案] A
[解析] ∵A＝{x|x2－x<0}＝{x|0B＝{x|02．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为?，则( )
A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ≤0
C．a>0，Δ≤0 D．a>0，Δ>0
[答案] C
[解析] 根据二次函数图象可知选C.
3．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
[答案] A
[解析] 由x2－3x－28≤0，得－4≤x≤7，
由x2－x－6>0，得x>3或x<－2.
∴M＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x>3或x<－2}，
M∩N＝{x|34．不等式－x2≥x－2的解集为( )
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2C．{x|－2≤x≤1} D．?
[答案] C
[解析] 原不等式可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，∴－2≤x≤1.故选C.
5．不等式组，的解集为( )
A．{x|－1C．{x|0[答案] C
[解析] 由，得，∴06．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0； ②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0； ④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．② C．③ D．④
[答案] C
[解析] ①④显然不可能．②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R.③中Δ＝62－4×10<0.故选C.
二、填空题
7．方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有两个不相等的负根，则m的取值范围是______________．
[答案] (，)∪(1，＋∞)
[解析] 由已知只需，
即，
解此不等式即得1.
8．不等式(1－a)x2－4x＋b>0的解集是{x|－3[答案] 3
[解析] 由(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}
可知1－a＜0且－3,1是(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，解得a＝3.
三、解答题
9．解下列关于x的不等式：
(1)(5－x)(x＋1)≥0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－x2＋3x－5>0；
(4)－2x2＋3x－2<0.
[解析] (1)原不等式化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤5.
∴故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(2)原不等式化为4x2－18x＋≤0，
即(2x－)2≤0，
∴x＝.
故所求不等式的解集为{x|x＝}．
(3)原不等式化为x2－6x＋10<0，
即(x－3)2＋1<0，∴x∈?.
故所求不等式的解集为?.
(4)原不等式化为2x2－3x＋2>0，
即2(x－)2＋>0
∴x∈R.
故所求不等式的解集为R.
10．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] 当a＝0时，不等式2x＋2>0解集不为R，故a＝0不满足题意．
当a≠0时，若不等式的解集为R，只需，解得a>
综上，所求实数a的取值范围为(，＋∞)．
能力提升
一、选择题
1．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有( )
A．f(5)C．f(2)[答案] C
[解析] ∵ax2＋bx＋c>0的解集为x<－2或x>4.
则a>0且－2和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴－＝2，＝－8.
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为x＝－＝1，
∴f(5)>f(－1)>f(2)，故选C.
2．方程mx2－(1－m)x＋m＝0有两个不等实根，则m的取值范围是( )
A．－1≤m≤3 B．－1≤m≤3且m≠0
C．－1[答案] D
[解析] 解法一：验证排除当m＝0时，方程有一个实根，排除A、C；当m＝－1时，方程可化为x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，故方程有两个相等实根，排除B，故选D.
解法二：由题意，得
，
解得－1二、填空题
3．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
[答案] a≤－6或a≥2
[解析] ∵x2－ax－a≤－3的解集不是空集，
∴y＝x2－ax－a＋3的图象与x轴有交点，
则Δ＝(－a)2－4×1×(－a＋3)≥0，
解得a≤－6或a≥2.
4．对于实数x，当且仅当n≤x[答案] {x|2≤x<8}
[解析] 由4[x]2－36[x]＋45<0，
得<[x]<7.5，即1.5<[x]<7.5，
故2≤[x]≤7，∴2≤x<8.
三、解答题
5．求函数y＝的定义域．
[解析] 解法一：要使函数有意义，须
①等价于(Ⅰ)，或
(Ⅱ).
解不等式组(Ⅰ)得：x<－2或x>5，
解不等式组(Ⅱ)得：1≤x<5，
解②式得x≠－2且x≠5，
∴原函数的定义域为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
解法二：接解法一，分解因式得：
，
解之得x<－2或x≥1且x≠5.
∴原函数的定义域为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
6．已知关于x 的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－}，求不等式ax2－bx＋c>0的解集．
[解析] 由题意可知，－2和－是方程ax2＋bx＋c＝0.的两根，且a<0.
∴－＝－2－，∴b＝a，
＝－2×(－)，∴c＝a，
∴ax2－bx＋c>0，
即ax2－ax＋a>0，
∴x2－x＋1<0，
∴(x－)(x－2)<0，
∴故不等式x2－bx＋c>0的解集为{x|7．金融危机的来临使消费者的购买欲有所下降，为了刺激消费者，甲、乙两家家电商场举行了促销活动．有一批微波炉原销售价为每台800元，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单位价再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类微波炉，问去哪家商场购买，花费较少？
[解析] 设某单位购买x台此类微波炉，共花费y元．
若去甲商场购买，由题意，得
y＝，
即y＝
若去乙商场购买，由题意，得y＝800×75%x＝600x(x>0)．
令－20x2＋800x>600x，得0令－20x2＋800x＝600x，得x＝10.
令－20x2＋800x<600x，得10又当x>18时，440x<600x，
综上可知，当某单位购买此类微波炉少于10台时，应去甲商场花费较少，当购买10台时，去甲、乙两商场花费相等，当购买多于10台时，去乙商场花费较少.
3.3 第2课时 一元二次不等式的解法应用
基础巩固
一、选择题
1．若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B等于( )
A．{x|－1B．{x|2C．{x|－D．{x|－1[答案] D
[解析] ∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，
∴－1∴(2x＋1)(x－3)>0，∴x>3或x<－.
∴A＝{x|－13或x<－}，
A∩B＝{x|－12．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－22}
C．{x|－11}
[答案] A
[解析] 原式可变为|x|2－|x|－2＜0，
∴－1＜|x|＜2，解得－2＜x＜2.
3．不等式3x2－x＋2＜0的解集为( )
A．? B．R
C．{x|－＜x＜} D．{x∈R|x≠}
[答案] A
[解析] ∵Δ＝－23＜0，开口向上，
∴3x2－x＋2＜0的解集为?.
4．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x＜－4，或x＞3} B．{x|－4＜x＜3}
C．{x|x≤－4，或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}
[答案] C
[解析] 使y＝有意义，则x2＋x－12≥0.
∴(x＋4)(x－3)≥0，∴x≤－4，或x≥3.
5．不等式≥1的解集是( )
A．{x|≤x≤2} B．{x|x≤或x＞2}
C．{x|≤x＜2} D．{x|x＜2}
[答案] C
[解析] 不等式≥1，化为：≥0，∴≤x＜2.
6．不等式x＋>2的解集是( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(0，＋∞)
[答案] A
[解析] 原不等式可化为>0，由穿根法得－11.
二、填空题
7．(2010·上海文)不等式>0的解集是________．
[答案] {x|－4[解析] ∵>0，∴<0，
即(x－2)(x＋4)<0，
∴－48．(2010·大纲全国卷Ⅰ)不等式>0的解集是________．
[答案] {x|－22}
[解析] 由>0，
得>0，如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为{x|－22}．
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)(2)x2－2|x|－15≥0
(3)x3－3x2＋x＋1<0
[解析] (1)＜x＋1?x＋1－＞0?＞0?x(x＋2)(x－1)＞0?－2＜x＜0或x＞1.故原不等式的解集为{x|－21}．
(2)x2－2|x|－15≥0?|x|2－2|x|－15≥0?(|x|－5)(|x|＋3)≥0?|x|≥5?x≥5或x≤－5.
故原不等式的解集为{x|x≥5或x≤－5}
(3)x3－3x2＋x＋1＜0化为x3－x2－x2－x2＋x＋1<0，
∴x2(x－1)－x(x－1)－(x－1)(x＋1)<0，
∴(x－1)(x2－2x－1)＜0，
(x－1)(x－1－)(x－1＋)＜0
∴x＜1－或1＜x＜1＋
如图所示，
故原不等式的解集为{x|x<1－或110．解不等式：≤2.
[解析] 原不等式等价变形为－2≤0，
即≤0，
即为≥0，
即为
即等价变形为
画出示意图如下：
可得原不等式的解集为
{x|x<－3或－1≤x≤或x>1}．
能力提升
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( )
A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2)
[答案] A
[解析] ∵log(x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，
∴1＜x2≤2，∴1＜x≤或－≤x＜－1.
2．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B?A，则a的取值范围是( )
A．a≤1 B．1＜a≤2 C．a＞2 D．a≤2
[答案] A
[解析] A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}，
∵B?A，∴a≤1.
二、填空题
3．不等式>1的解集是________．
[答案] {x|x<－2}
[解析] 原不等式可化为－1>0，即>0，
∴x＋2<0，∴x<－2.
4．已知<1的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为________．
[答案]
[解析] ∵<1，∴<0，
即[(a－1)x＋1](x－1)<0，
又∵不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，
∴a－1<0，∴(x＋)(x－1)>0.
∴－＝2，∴a＝.
三、解答题
5．解下列不等式：
(1)≥0；
(2)≥3.
[解析] (1)原不等式??
，把各因式的根在数轴上标出．
∴原不等式的解集为{x|x≤－2或0≤x<3}．
(2)≥3?－3≥0
?≥0?≥0
??{x|≤x<2}．
6．解不等式4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
[解析] 原不等式整理得：9x2－12x＋4＞0，
∵Δ＝144－4×9×4＝0，
方程9x2－12x＋4＝0的解是x1＝x2＝.
∴原不等式的解集是{x∈R|x≠}．
7．解不等式：1＜x2－3x＋1＜9－x.
[解析] 由x2－3x＋1＞1得，x2－3x＞0
∴x＜0或x＞3；
由x2－3x＋1＜9－x得，x2－2x－8＜0，∴－2＜x＜4.
借助数轴可得：{x|x＜0或x＞3}∩{x|－2＜x＜4}＝{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．
3.3 第3课时 含参数的一元二次不等式问题
基础巩固
一、选择题
1．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
[答案] A
[解析] 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.
2．已知不等式①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋m＜0，若同时满足①②的x也满足③，则有( )
A．m＞9 B．m＝9
C．m≤9 D．0＜m＜9
[答案] C
[解析] ①的解集是{x|1＜x＜3}；
②的解集是{x|2＜x＜4}，
∴同时满足①②的x取值集合是{x|2＜x＜3}，
即当2＜x＜3时，2x2－9x＋m＜0.
令f(x)＝2x2－9x＋m
∴∴m≤9.
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，
∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.
4．不等式ax2＋5x＋c＞0解集为{x|＜x＜}，则a、c的值为( )
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
[答案] B
[解析] 由已知得和是方程ax2＋5x＋c＝0的两根，由根与系数的关系知，
∴.
5．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是( )
A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5a
C．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a
[答案] B
[解析] 化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a
∵a＜0，∴x1＞x2.∴不等式解为x＜5a或x＞－a.
6．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 由ax－b＞0的解集为(1，＋∞)得
，∴＞0?＞0?x＜－1或x＞2.
二、填空题
7．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－}，则不等式ax2－bx＋c＞0的解集为________．
[答案] {x|＜x＜2}
[解析] 由条件知，－2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0.
∴－2－＝－，(－2)×(－)＝，
∴b＝a，c＝a.
从而不等式ax2－bx＋c＞0化为a(x2－x＋1)＞0.
∵a＜0，∴2x2－5x＋2＜0.
即(x－2)(2x－1)＜0，解得＜x＜2.
∴不等式的解集为{x|＜x＜2}．
8．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
[答案] (5,7)
[解析] 不等式|3x－b|<4?－4<3x－b<4?0≤<1且3<≤4，即4≤b<7且5∴5三、解答题
9．m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋(m－7)＝0的两根：
(1)为正数；
(2)一根大于2，一根小于2.
[解析] 设方程两根为x1，x2则
(1)
即
解得7＜m≤9或m≥25.
(2)或令f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)
则f(2)＜0，∴m＞27.
10．解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0
[解析] 56x2－ax－a2＞0可化为
(7x－a)(8x＋a)＞0
①当a＞0时，－＜，∴x＞或x＜－；
②当a＜0时，－＞，∴x＞－或x＜；
③当a＝0时，x≠0.
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>或x<－}，
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}，
当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－或x<}．
能力提升
一、选择题
1．(2011·东营高二检测)已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，则b2＋c2＝( )
A．5 B．4 C．1 D．2
[答案] A
[解析] 由x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，可知－1,2为x2＋bx＋c＝0的两个根，∴
∴.∴b2＋c2＝5.
2．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
[答案] D
[解析] 解法一：验证排除法：当m＝0时，原方程可化为x2－x－2＝0，∴方程两根为2和－1，不合题意，排除A、C；当m＝－1时，原方程可化为x2－2x－1＝0，
∴方程的两根为1＋或1－，不合题意，排除B，故选D.
解法二：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则，
∴，∴0＜m＜1.
二、填空题
3．若关于x的不等式(a－x)(b－x)＞0的解集为{x|x＜a或x＞b}，则实数a，b的大小关系是________．
[答案] a＜b
4．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．
[答案] [－3,2)
[解析] 由x2－x－2>0得x<－1或x>2.
由2x2＋(2k＋5)x＋5k<0得(x＋k)(2x＋5)<0，
由题设－2为其解，∴k<2.
∵其解集中只有一个整数－2，
∴由(x＋k)(2x＋5)<0，得－∴－3≤k<2.
三、解答题
5．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋bn<(an＋b)x.
[解析] (1)由题意，得1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两实根且b>1.
∴，解得.
(2)不等式ax2＋bn<(an＋b)x可化为x2＋2n<(n＋2)x，
∴x2－(2＋n)x＋2n<0，即(x－2)(x－n)<0.
当n>2时，2n综上所述，当n>2时，原不等式的解集为{x|26．m为何值时，关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0.
(1)有两个异号实根；
(2)有两个实根，且它们之和为非负数．
[解析] (1)若有两个异号实根，则此问题等价于
，即?.
∴m＜－1或m＞.
(2)方程有两个实根，且它们的和为非负数，等价于不等式组，
即，
得.
解得－1＜m≤－.
7．解关于x的不等式－x>0.
[解析] 原不等式可化为>0，
即x(mx－1)>0.
当m>0时，解得x<0或x>；
当m<0时，解得当m＝0时，解得x<0.
综上，当m>0时，不等式的解集为{x|x<0或x>}；
当m<0时，不等式的解集为{x|当m＝0时，不等式的解集为{x|x<0}.
3.4 不等式的实际应用
基础巩固
一、选择题
1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )
A．每个95元 B．每个100元
C．每个105元 D．每个110元
[答案] A
[解析] 设每个涨价x元，则利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，
∴当x＝＝5时，y取得最大值．
故每个售价为95元时利润最大．
2．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是( )
A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝
C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝
[答案] D
[解析] S＝θr2?θ＝，
又扇形周长P＝2r＋θr＝2≥4，
当P最小时，r＝?r＝，此时θ＝2.
3．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是( )
A．(38－3)m3 B．16m3
C．4m3 D．14m3
[答案] B
[解析] 设长方体长为am，高为hm，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，
∴16≥2＋ah，即()2＋2·－16≤0，
解得0<≤2，∴ah≤8，
∴V＝2ah≤16.
4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )
A．4.6m B．4.8m
C．5m D．5.2m
[答案] C
[解析] 设直角三角形两直角边长分别为x，y，则xy＝1，即xy＝2.
周长l＝x＋y＋≥2＋＝(1＋)×2≈4.83，
当且仅当x＝y时取等号．
考虑到实际问题，故选C.
二、填空题
5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱.要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[答案] 11
[解析] 设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，
(1－)n<，即n·lg∴n>＝＝≈10.45.
又∵n∈N＋，∴n＝11.
6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．
[答案] 1760
[解析] 设水池的底面长、宽分别为xm，ym，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．
则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)
≥480＋320×4＝1760.
三、解答题
7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解析] (1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的最大允许值为100m2.
(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的最大允许值是100m2，此时正面铁栅长15m.
8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R(x)＝5x－x2(万元)，(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量．(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数．
(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)?
[解析] (1)设利润为y.
则y＝，
∴y＝.
(2)y＝－(x－4.75)2＋10.78125∴x＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．
(3)要使企业不亏本，须y＞0
即
或.
2．65＜x＜5或5≤x＜48，即2.65＜x＜48.
∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．
能力提升
一、选择题
1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张
[答案] B
[解析] 就业情况＝，计算机就业形式＝＞1，化工业就业形式＝＜＜1，则A不合适．同理，建筑行业就业形式＝＜＜1，物流业就业形式＝＞＞1.
2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：
项目
计算方法
基础工资
2006年1万元，以后每年逐增10%
住房补贴
按工龄计算：400元×工龄
医疗费
每年1600元固定不变
若该公司某职工在2008年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是( )
A．2年 B．3年
C．4年 D．5年
[答案] C
[解析] 设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．
二、填空题
3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．
[答案] 100＜x＜400
[解析] 由题意可列式
5%<<6%，即5<<6
解得1004．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________．
[答案] 3－2
[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab.
由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋＝2，
∴2＝a＋b＋≥2＋＝(2＋)，
∴≤＝2－，∴ab≤(2－)2＝6－4，
∴S＝ab≤3－2，当且仅当a＝b＝2－时，S取最大值3－2.
三、解答题
5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．
[解析] 税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元．
根据题意可得120m(1＋2x%)(8－x)%≥120m·8%·78%
即x2＋42x－88≤0
解之得－44≤x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2
∴x的取值范围是(0,2]．
6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)
[解析] 由题意得xy＋x2＝8，
∴y＝＝－(0＜x＜4)．
于是，框架用料长度为l＝2x＋2y＋2(x)
＝(＋)x＋≥4.
当(＋)x＝，即x＝8－4时等号成立．
此时，x≈2.343，y＝2≈2.828.
故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．
7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
(1)问第几年开始获利？
(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？
[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则
f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.
(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，
∴10－又∵n∈N，∴n＝3,4，…，17.
即从第3年开始获利；
(2)①年平均收入＝＝40－2(n＋)≤40－2×14＝12，
当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．
②f(n)＝－2(n－10)2＋102.
因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．
3.5 第1课时 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
基础巩固
一、选择题
1．不等式组表示的平面区域是( )
[答案] D
2．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
3．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2：3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 因为请工匠每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，∴50x＋40y≤2 000即5x＋4y≤200.x、y表示人数∴x、y∈N*，∴答案为C.
4．不等式组表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图，∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图A所示的对角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图B.
5．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0分别表示直线Ax＋By＋C＝0两侧的点的集合．∴(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0∴－7＜a＜24.
6．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B．1 C. D．2
[答案] C
[解析] 如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当α从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
二、填空题
7．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意，得＝，
∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示区域内，
∴3＋a－3＞0，∴a＞0，∴a＝3.
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
[答案] [5,7)
[解析] 如图所示，由区域可知，若为三角形，则5≤a≤7.
三、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
[解析] 不等式x－2y＋1＞0表示直线x－2y＋1＝0右下方的点的集合；
不等式x＋2y＋1≥0表示直线x＋2y＋1＝0上及其右上方的点的集合；
不等式1＜|x－2|≤3可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平行线x＝－1和x＝1之间或夹在两平行线x＝3和x＝5之间的带状区域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点．所以，原不等式表示的区域如下图所示．
能力提升
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由，得A(1，a＋1)，
由，得B(1,0)，
由，得C(0,1)．
∵S△ABC＝2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
2．二元一次不等式组表示的平面区域为A，二元一次不等式组表示的平面区域为B，则A与B的关系是( )
A．A?B B．B?A
C．B?A D．A?B
[答案] C
[解析] 画出平面区域A、B如图，可见A?B.
二、填空题
3．已知集合A＝{(x，y)|x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)(y＋x)≤0}，M＝A∩B，则M的面积为________．
[答案] 1
[解析] 集合A表示的平面区域是一正方形，B＝{(x，y)|(y－x)(y＋x)≤0}＝{(x，y)|y|≤|x|}
如图M＝A∩B为图中阴影部分是两个边长为的小正方形区域．
4.所表示的平面区域内整点个数是______个．
[答案] 8
[解析] A(－1,0)、B(4,0)、C(，)
整点有：(－1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0)
(0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2)
三、解答题
5．画出不等式组表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．
[解析] 不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC区域．可求得A(－，－)，B(，)，C(，－)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x＜，－＜y＜.
∵x，y∈Z，
∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.
经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．
6．求不等式组表示的平面区域的面积．
[解析] 不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，如图．
可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)
S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB
＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝.
3.5 第2课时 简单的线性规划的概念
基础巩固
一、选择题
1．设G是平面上以A(2,1)、B(－1，－4)、C(－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x，y)在G上变动，f(x，y)＝4x－3y的最大值为a，最小值为b，则a＋b的值为( )
A．－1 B．－9
C．13 D．－6
[答案] D
[解析] 设4x－3y＝c，则3y＝4x－c，
∴y＝x－，
－表示直线l：4x－3y＝c在y轴上的截距，
∵kAB＝，而kl＝，
∴l过C(－2,2)时，－有最大值；
－＝2－×(－2)＝，
∴cmin＝b＝－14，
l过B(－1，－4)时，－有最小值；
－＝－4－×(－1)＝－，
∴cmax＝a＝8，∴a＋b＝－6.
2．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点(0，)．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M(，)．
当y＝kx＋过点(，)时，＝＋，
∴k＝.
3．(2011·天津文)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4 B．0
C. D．4
[答案] D
[解析] ，表示的平面区域如图所示．
z＝3x－y在(2,2)取得最大值．
zmax＝3×2－2＝4.
4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为( )
A．5 B．－6 C．10 D．－10
[答案] B
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.
5．(2011·安徽文)设变量x，y满足，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析]
画出可行域为图中阴影部分．
作直线l：x＋2y＝0，在可行域内平移l
当移至经过点A(0,1)时取最大值zmax＝x＋2y＝2
当移至经过点B(0，－1)时取最大值zmin＝x＋2y＝－2.
6．(2009·浙江)若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是( )
A．13 B．15 C．15 D．28
[答案] A
[解析]
作出可行域如图所示，
令z＝3x＋4y
∴y＝－x＋
求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．
经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．
∴zmin＝9＋4＝13.
二、填空题
7．设a＞0.点集S内的点(x，y)满足下列所有条件：
①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x.那么S的边界是一个________边形(填边数)．
[答案] 6
[解析] 首先由围成正方形ABCD，又结合位于二平行直线l1x－y＝－a和l2x－y＝a之间．
再结合，x＋y≥a可知．围成的区域是多边形APQCRS.它是一个六边形．
8．已知变量x、y满足条件设z＝2x＋y，取点(3,2)可求得z＝8，取点(5,2)可求得zmax＝12，取点(1,1)可求得zmin＝3，取点(0,0)可求得z＝0，点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．
[答案] 可行解，非可行解，最优解．
三、解答题
9．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，问有多少种买法？
[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则
，即
∴2≤x≤12,2≤y≤5，
当y＝2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；
当y＝3时，2x≤10，∴2≤x≤5有4种；
当y＝4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一种；
当y＝5时，由2x≤0及x≥0知x＝0，故有一种．
综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．
[点评] 本题采用的解法是穷举法．也可以画出可行域．数出其中的整点数求解．
10．(2011·衡阳高二检测)在平面直角坐标系中，不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y的最大值．
[解析] 由题意得：
S＝×2a×a＝4，∴a＝2.
设z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
由，得(2,2)，即z在(2,2)处取得最大值6.
能力提升
一、选择题
1．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(，)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )
A．(－，－) B．(－，－)
C．(，) D．(－，)
[答案] B
[解析] y＝ax－z.在C点取最优解，则一定是z的最小值点，∴－≤a≤－.结合选项可知选B.
2．(2011·安徽理)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析] |x|＋|y|≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知：
当l过点(0,1)时，z有最大值zmax＝0＋2×1＝2；
当l过点(0，－1)时，z有最小值
zmin＝0＋2×(－1)＝－2.
二、填空题
3．已知x、y满足条件则z＝2x＋5y的最大值为________．
[答案] 19
[解析] 可行域如图．
当直线y＝－x＋经过直线y＝3与x＋2y＝8交点(2,3)时，z取最大值zmax＝19.
4．(2010·陕西理)铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：
a
b(万吨)
c( 百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
[答案] 15
[解析] 设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则，
目标函数z＝3x＋6y，
由，得.
可行域如图中阴影部分所示：
设P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.
三、解答题
5．已知，求x2＋y2的最小值．
[解析] 画出可行域如下图所示，
可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d＝，∴x2＋y2≥5.即x2＋y2的最小值为5.
6．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
[解析] 画出可行域如图，目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处取最小值为直线ax＋2y－z＝0过点(1,0)时在y轴上的截距最小，斜率应满足0<－<2或－>－1，即a∈(－4,2)．
∴a的取值范围是(－4,2)．
3.5 第3课时 简单的线性规划的应用
基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
[答案] C
[解析] ∵直线m＝y－x，斜率k1＝1＞kAB＝
∴经过C时m最小为－1，经过B时m最大为3.
2．(2010·天津文)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
[答案] B
[解析] 画出可域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大．
解方程组得A(2,1)，∴zmax＝10.
3．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
[答案] D
[解析] 设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z＝5x＋3y.
由题意，得，
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值时，
z取得最大值，此时x＝3，y＝4，
z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
5．(2010·浙江理)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 由，得A，平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值，即＋＝9.解得m＝1.
6．若则z＝2y－2x＋4的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] C
[解析] 作出可行域可知，当直线2y－2x＋4＝z.即y＝x＋经过可行域内点A(1,1)时，z取最小值，zmin＝4.
二、填空题
7．设x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是________．
[答案] 2
[解析] 可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.
8．由y≤2，|x|≤y≤|x|＋1，围成的几何图形面积为________．
[答案] 3
[解析]
化为或
作出其图形如图中阴影部分，
面积S＝AB·OM－CD·NM.
＝×4×2－×2×1＝3.
三、解答题
9．若x，y∈R，且，求z＝x＋2y的最小值．
[解析] 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
当直线x＋2y＝z过点(1,1)时，目标函数z＝x＋2y取得最小值3.
能力提升
一、选择题
1．不等式组，表示的平面区域内整点的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 不等式组 变形为
，
即作出其平面区域如图．
可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．
2．已知x、y满足，则的最值是( )
A．最大值是2，最小值是1
B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0
D．有最大值无最小值
[答案] C
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图．
表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BC上时取得最小值0，∴选C.
二、填空题
3．若x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为________．
[答案] 9
[解析] 约束条件的可行域为如图所示．
作l0：y＝2x在平面域内平移到A(3，－3)处时，z取最大值9.
4．已知点P(x，y)的坐标，满足条件，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于__________，最大值等于__________．
[答案] ；
[解析] 点P(x，y)满足的可行域为△ABC区域．A(1,1)，C(1,3)．由图可得，|PO|min＝|AO|＝；|PO|max＝|CO|＝
三、解答题
5．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g．已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g．甲烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则
作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
解方程组得.
所以每天应生产甲、乙两种烟花各24枚才能获利最大．
3.5 第4课时 简单的线性规划习题课
基础巩固
一、选择题
1．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
[答案] C
[解析] 将点(0,0)代入不等式，符合题意，否定A、B，代入(0,4)点，符合题意，舍去D，故选C.
2．若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0C．1≤a≤ D．0[答案] D
[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．
3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A. B.
C. D．2
[答案] B
[解析] 不等式组的图形如图．
解得：A(0,1) D(－1,0) B(－1，－2)C(，－)
∴S△ABC＝×|AD|×|xC－xB|＝×2×(＋1)
＝，故选B.
4．已知变量x、y满足约束条件，则的取值范围是( )
A. B.∪[6，＋∞)
C．[3,6] D．(－∞，3]∪[6，＋∞)
[答案] A
[解析] 由约束条件画出可行域如图，可看作是点(x，y)与原点连线的斜率，
所以∈[kOC，kOA]＝.
5．若变量x，y满足，则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80
C．70 D．40
[答案] C
[解析] 由得可行域如图所示．
将l0：3x＋2y＝0在可行域内平行移动，移动到B点可得z＝3x＋2y的最大值．
由，得B点坐标为(10,20)，
∴zmax＝3×10＋2×20＝70，故选C.
6．已知变量x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
[答案] B
[解析] 作出如图可行域．
根据图形知在点B处取得最大值．
zmax＝2×1＋0＝2.
二、填空题
7．若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：
当直线l0平移到过A(2,0)点时，2x＋3y取最小值．
(2x＋3y)min＝2×2＋0＝4.
8．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______．
[答案]
[解析] ∵三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，
又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，
∴三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，
同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．
故该平面区域用不等式表示为
.
三、解答题
9．已知，求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．
[解析] 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，
故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.
(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝.
能力提升
一、选择题
1．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，
由，得点A坐标为(1,1)．
又B、C两点坐标分别为(0,4)、，
∴S△ABC＝××1＝.
2．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝4x＋y的最大值为( )
A．4 B．11
C．12 D．14
[答案] B
[解析] 画出可行域可知目标函数最优解为A(2,3)，
所以ymax＝4×2＋3＝11.
二、填空题
3．设变量x、y满足约束条件，则目标函数2x＋y的最小值为________．
[答案] －
[解析] 设z＝2x＋y，画出可行域如图，最优解为M，zmin＝－.
4．图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数k＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
[答案] (0,5)
[解析] ∵直线k＝6x＋8y即y＝－x＋的斜率k1＝－＞－1.故经过点(0,5)时．直线的纵截距最大．从而k最大．
三、解答题
5．已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
[分析] 这是一个不等式问题，似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关，但仔细分析后可发现，本题的实质是：
已知实数a、c满足不等式组.
求9a－c的最值，此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．
[解析] 由已知得
即
目标函数f(3)＝9a－c.令z＝9a－c
作出可行域，如图
由图可知，目标函数z＝9a－c分别在点A、B处取得最值．
由得A(0,1)．
由得B(3,7)．
将两组解分别代入z＝9a－c中得z的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20，
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
6．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．
[解析]
可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，
可令f(x)＝x2＋ax＋2b.必满足f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，即，由线性规划可知：
点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM∵A(－3,1)，B(－1,0)，
∴<<1.
