四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二下学期理数入学考试试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（2022高二下·成都开学考）若直线l的方程为 ，则直线l的纵截距为（ ）．
A． B． C．2 D．-2
2．（2022高二下·成都开学考）双曲线为 ，则它的焦点到渐近线的距离为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
3．（2022高二下·成都开学考）连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和为5的概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022高二下·成都开学考）在空间直角坐标系 中，点 关于y轴的对称点为B，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．（2022高二下·成都开学考）已知直线 ，直线 ，若 ，则 （ ）．
A． B． C．2 D．-2
6．（2022高二下·成都开学考）下列四个命题中为真命题的是（ ）．
A．若 为真命题，则p，q均为真命题
B．若命题 ， ，则 ，
C．若 ，则 的否命题为：若 ，则
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
7．（2022高二下·成都开学考）执行如图所示的程序，若输入的 ，则输出的 （ ）．
INPUT N ， Do LOOP UNTIL PRINT S
A． B． C． D．
8．（2022高二下·成都开学考）已知抛物线 的焦点为F，定点 ，点P是抛物线上一个动点，则 的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．8
9．（2022高二下·成都开学考）若两定点 ， ，动点M满足 ，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．2π B．5π C．3π D．4π
10．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为 ，则椭圆C的离心率e为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022高二下·成都开学考）已知直线 ，圆 ，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）．
A． B．7 C．8 D．
12．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 ，过定点 的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若 为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022高二下·成都开学考）若直线 与直线 平行，则 ．
14．（2022高二下·成都开学考）某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数（单位：天），已知甲组数据的中位数为16，乙组数据的平均数为16.4，则 的值为 ．
15．（2022高二下·成都开学考）斜率为2的直线l与抛物线 相交于A，B两点，若A，B两点的中点为 ，则p的值为 ．
16．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 ，过点 且斜率为k的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，则 面积S的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（2022高二下·成都开学考）
（1）已知直线l的方程为
，求直线l恒过定点的坐标．
（2）已知点
，
，
，若过点M的直线l与线段AB有公共交点，求直线l的斜率k的取值范围．
18．（2022高二下·成都开学考）某班级利用寒假假期推行“学习互助小组”．
（1）班上有60个同学，女生与男生的比例为2∶3，开学后老师按男女生比例抽查一个样本容量为10的样本，则男生被抽到的人数是多少？
（2）现有小明同学和小华同学结对相互学习，两人约定到公共图书馆学习，约定时间为早上9点到10点（注：两人在这一段时间内任一时刻到达公共图书馆的可能性均相等），相互约定，等待对方的时间不超过15分钟，否则就取消当天的学习活动．求他们俩当天能成功一起学习的概率是多少？
19．（2022高二下·成都开学考）已知圆 ．
（1）过点 作圆的切线，求切线l的方程；
（2）已知圆 上只有2个点到直线 的距离为1，求r的取值范围．
20．（2022高二下·成都开学考）开学在即，某校对全校学生返校所花费的时间进行调查，统计了该校学生居住地到学校的距离x（单位：千米）和学生花费在返校路上的时间y（单位：分钟），得到如下数据：
到学校的距离x（千米） 1.5 2.5 3.4 4.7 5.0 6.9
花费的时间y（分钟） 14 18 24 30 34 42
由统计资料表明y与x具有线性相关关系．
参考公式及数据： ，
， ．
（1）求线性回归方程 （ 精确到0.01）；
（2）小明家离学校8千米，请问小明到学校所花费的时间约为多少分钟？（精确出整数）
（3）若 的距离数据 ，称为“完美距离”，那么从6个距离中任取2个，求抽取到的2个数据中至少有一个是“完美距离”的概率．
21．（2022高二下·成都开学考）若点 到直线 的距离比它到点 的距离大3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过点N的直线 与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线 与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若 ，求 的值．
22．（2022高二下·成都开学考）已知双曲线 的离心率 ，虚轴在y轴上且长为2．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若斜率为1的直线m交 于A，B两点，且直线m与圆 相切，求证： ；
（3）已知椭圆 ，若P，Q分别是 ， 上的动点，且 ，探究点O到直线PQ的距离d是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：由3x+y+2=0得y=-3x-2，
所以直线l的纵截距为-2，
故选：D
【分析】根据直线的一般式方程与斜截式方程求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得a=1，b=2，，
不妨取焦点为，渐近线为2x-y=0
则所求距离为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的标准方程与几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续抛掷两枚质地均匀的骰子共有6×6=36种情况，其中向上点数之和为5的有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4种情况，所以向上点数之和为5的概率为，
故选：A.
【分析】根据古典概型直接求解即可.
4．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 点 关于y轴的对称点为B(-2，-1，-1)，所以.
故选：C
【分析】首先求出点关于轴的对称点坐标，再根据空间两点的距离公式计算可得.
5．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程与直线的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合同角三角函数间的基本关系求解即可.
6．【答案】D
【知识点】四种命题；复合命题的真假；全称量词命题；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因由“∨”联结的命题，一真必真，即p∨q为真命题，则p，q可以一真一假，A不正确；
对于B，因存在量词命题的否定是全称量词命题，B不正确；
对于C，若 ，则 的否命题为：若x<-1或x≥0，则x2≥1，C不正确；
对于D，因lg(2-x)<0，则“x>1”是“lg(2-x)<0”的必要不充分条件，D正确.
故选：D
【分析】根据复合命题的真假判定可判断A，根据存在量词命题与全称量词命题可判断B，根据四种命题可判断C，根据充分必要条件可判断D.
7．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：解：第一次循环后，
第二次循环后，
第三次循环后，
第四次循环后，
此时满足k≥N，终止循环，输出.
故选：B
【分析】根据循环结构直接求解即可.
8．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可判断 在抛物线内部，如图示，
作PE垂直于抛物线的准线，垂足为E，则|PF|=|PE| ，
故 ，
过A作抛物线准线的垂线，如图中虚线位置，交抛物线于点P0，
则当P点位于P0时，即A，P，E三点共线时，取得最小值，且最小值为4+1=5.
故答案为：C
【分析】根据抛物线的定义与几何性质，利用数形结合思想求解即可.
9．【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设M(x，y)，由得 ，化简整理得：x2+y2=4，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为4π.
故选：D
【分析】根据轨迹方程的求法，结合圆的定义、标准方程以及面积公式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知A(-a，0)，B(a，0)，设P(x0，y0)，
则 ，
于是
所以a2=2b2，
所以.
故选：B
【分析】根据椭圆的几何性质，结合斜率的计算公式求解即可.
11．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
圆 的圆心为(-1，2)，半径为R=1 ，
圆心C到直线直线 的距离为，
，
所以四边形PMCN面积.
故选：A
【分析】根据点到直线的距离公式，切线长公式，以及三角形面积公式求解即可.
12．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意设直线l的方程为 ， 、 ，
联立方程 得 ，
∴ ，
∵ 为锐角，则 ，即 ，
，
解得 ，又∵ ，∴
【分析】根据直线与椭圆的位置关系，结合根与系数的关系，利用向量的数量积运算求解即可.
13．【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解： 直线 与直线 平行 ，
故m≠0 ，则 ，故m=-2 ，检验成立
故答案为：-2
【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可.
14．【答案】8
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由茎叶图以及甲同学的中位数为16可知：从小大排列第三个数应为10+x，即为16，故x=6 ，
同理对于乙同学有： ，可得y=2 ，
故x+y=8，故答案为：8
【分析】根据茎叶图可分别计算出甲乙两同学的中位数和平均数，即得答案.
15．【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得，
即(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)，
因为直线l的斜率为2，且A，B两点的中点为 ，
所以，即，
解得p=2，
故答案为：2
【分析】根据直线l的斜率为2，且A，B两点的中点为M(2，1) ，利用点差法求解.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x=my+2，由消去x并整理得：(m2+2)y2+4my+2=0，
则 >0且，则m2>2，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积S的最大值为 .
故答案为：
【分析】根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合三角形的面积公式以及基本不等式求最值即可求解.
17．【答案】（1）解：由已知可得 ，即 ，
则 ，解得 ， ，∴直线l恒过定点 ．
（2）解：如图示，当直线l 在直线MB和MA之间绕点M转动时，符合题意，
， ，
∵过点M的直线l与线段AB有公共交点，则
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【分析】(1)将直线l的方程
分离参数a，解方程组可得答案；
(2)作出示意图，求出
， ， 运用数形结合思想即可得答案.
18．【答案】（1）解：60人中，抽取10人，样本比 ，
∵女生与男生的比例为2∶3，∴女生人数有24人，男生人数有36人，
则抽取的男生人数为 人，∴男生被抽到的人数为6人．
（2）解：设小明同学到公共图书馆的时间为x，小华同学到公共图书馆的时间为y，
将9：00～10：00这个时间段看做0～1，15分钟为 ．
记总事件为 ， ．
小明与小华能聚在一起学习记作事件A，
， ，
∴他们俩当天能成功一起学习的概率为 ．
【知识点】分层抽样方法；几何概型
【解析】【分析】（1）根据分层抽样的比例直接计算求得答案；
（2）根据几何概型的概率计算公式直接求解即可.
19．【答案】（1）解：圆心 ， ，
∵点P在圆外，∴过圆外一点作圆的切线有2条．
①当k存在时，设切线l的方程为 ，即 ，
则圆心C到l的距离 ，∴ ，切线l的方程为： ；
②当k不存在时，切线l的方程为 ．
综上，切线l的方程为 或 ．
（2）解：圆心 到 的距离 ，
当圆上有1个点到l的距离为1，则 ， ，
当圆上有3个点到l的距离为1，则 ， ，
∴圆上有2个点到l的距离为1时，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求得k，即可求解；
(2)根据点到直线的距离公式，结合点与圆的位置关系求解即可.
20．【答案】（1）解： ， ．
∵ ， ，
∴ ，
将 代入 ，得 ，∴ ．
（2）解：当 千米， 分钟．
∴小明到学校的时间约为48分钟．
（3）解：由表格可知，6个数据中 的有2个，记作 ， ，剩下的记作B，C，D，E，
则6个数据中抽取2个数据共有15种，
即 ， ， ， ， ， ， ， ， ，BC，BD，BE，CD，CE，DE．
其中至少有一个完美距离的有9种，
所以抽取到至少有一个是“完美距离”的概率 ．
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程参考公式求出 ，代入求 ，即可得出；
（2）x=8代入回归直线方程求解即可；
（3）列出基本事件，根据古典概型概率公式求解.
21．【答案】（1）解：由题意可知点 到 的距离与到点 的距离相等，
∴点M的轨迹为抛物线且 ．∴点M的轨迹方程为 ．
（2）解：抛物线的焦点为 ，
由题意可知，若 与 中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
∴ 与 都存在，且 ， ．
设 的方程为 ， ， ，
联立 消y得： ，
∴ ， ．
同理 ，∴
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义与标准方程求解即可；
(2)根据直线与抛物线的位置关系，运用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
22．【答案】（1）解：虚轴在y轴上，则双曲线的标准方程为 ．
由题意得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴双曲线 的标准方程为 （或 ）．
（2）证明：设直线m的方程为 ．
∵直线与已知圆相切，∴ ，即 ．
由 得 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：当直线OQ垂直于x轴时， ， ，
则点O到直线PQ的距离为 ．当直线OQ不垂直于x轴时，
设直线OQ的方程为 ，则直线OP的的方程为 ，
由 ，得 ，∴ ，同理 ．
设点O到直线PQ的距离为d，
∵ ，
∴ ，即 ．
综上，点O到直线PQ的距离为定值，定值 ．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；圆的切线方程；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质与标准方程求解即可；
（2）根据直线与圆相切求得t2，再根据直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及向量的数量积运算的坐标表示求解即可；
（3）设 点O到直线PQ的距离为d，分OQ⊥x 轴与OQ与x轴不垂直两种情况讨论，求出|OP|、|OQ|，利用等面积法求出d的值，即可得出结论.
1 / 1四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二下学期理数入学考试试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（2022高二下·成都开学考）若直线l的方程为 ，则直线l的纵截距为（ ）．
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：由3x+y+2=0得y=-3x-2，
所以直线l的纵截距为-2，
故选：D
【分析】根据直线的一般式方程与斜截式方程求解即可.
2．（2022高二下·成都开学考）双曲线为 ，则它的焦点到渐近线的距离为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得a=1，b=2，，
不妨取焦点为，渐近线为2x-y=0
则所求距离为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的标准方程与几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
3．（2022高二下·成都开学考）连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和为5的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续抛掷两枚质地均匀的骰子共有6×6=36种情况，其中向上点数之和为5的有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4种情况，所以向上点数之和为5的概率为，
故选：A.
【分析】根据古典概型直接求解即可.
4．（2022高二下·成都开学考）在空间直角坐标系 中，点 关于y轴的对称点为B，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 点 关于y轴的对称点为B(-2，-1，-1)，所以.
故选：C
【分析】首先求出点关于轴的对称点坐标，再根据空间两点的距离公式计算可得.
5．（2022高二下·成都开学考）已知直线 ，直线 ，若 ，则 （ ）．
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程与直线的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合同角三角函数间的基本关系求解即可.
6．（2022高二下·成都开学考）下列四个命题中为真命题的是（ ）．
A．若 为真命题，则p，q均为真命题
B．若命题 ， ，则 ，
C．若 ，则 的否命题为：若 ，则
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】D
【知识点】四种命题；复合命题的真假；全称量词命题；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因由“∨”联结的命题，一真必真，即p∨q为真命题，则p，q可以一真一假，A不正确；
对于B，因存在量词命题的否定是全称量词命题，B不正确；
对于C，若 ，则 的否命题为：若x<-1或x≥0，则x2≥1，C不正确；
对于D，因lg(2-x)<0，则“x>1”是“lg(2-x)<0”的必要不充分条件，D正确.
故选：D
【分析】根据复合命题的真假判定可判断A，根据存在量词命题与全称量词命题可判断B，根据四种命题可判断C，根据充分必要条件可判断D.
7．（2022高二下·成都开学考）执行如图所示的程序，若输入的 ，则输出的 （ ）．
INPUT N ， Do LOOP UNTIL PRINT S
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：解：第一次循环后，
第二次循环后，
第三次循环后，
第四次循环后，
此时满足k≥N，终止循环，输出.
故选：B
【分析】根据循环结构直接求解即可.
8．（2022高二下·成都开学考）已知抛物线 的焦点为F，定点 ，点P是抛物线上一个动点，则 的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可判断 在抛物线内部，如图示，
作PE垂直于抛物线的准线，垂足为E，则|PF|=|PE| ，
故 ，
过A作抛物线准线的垂线，如图中虚线位置，交抛物线于点P0，
则当P点位于P0时，即A，P，E三点共线时，取得最小值，且最小值为4+1=5.
故答案为：C
【分析】根据抛物线的定义与几何性质，利用数形结合思想求解即可.
9．（2022高二下·成都开学考）若两定点 ， ，动点M满足 ，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．2π B．5π C．3π D．4π
【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设M(x，y)，由得 ，化简整理得：x2+y2=4，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为4π.
故选：D
【分析】根据轨迹方程的求法，结合圆的定义、标准方程以及面积公式求解即可.
10．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为 ，则椭圆C的离心率e为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知A(-a，0)，B(a，0)，设P(x0，y0)，
则 ，
于是
所以a2=2b2，
所以.
故选：B
【分析】根据椭圆的几何性质，结合斜率的计算公式求解即可.
11．（2022高二下·成都开学考）已知直线 ，圆 ，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）．
A． B．7 C．8 D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
圆 的圆心为(-1，2)，半径为R=1 ，
圆心C到直线直线 的距离为，
，
所以四边形PMCN面积.
故选：A
【分析】根据点到直线的距离公式，切线长公式，以及三角形面积公式求解即可.
12．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 ，过定点 的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若 为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意设直线l的方程为 ， 、 ，
联立方程 得 ，
∴ ，
∵ 为锐角，则 ，即 ，
，
解得 ，又∵ ，∴
【分析】根据直线与椭圆的位置关系，结合根与系数的关系，利用向量的数量积运算求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022高二下·成都开学考）若直线 与直线 平行，则 ．
【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解： 直线 与直线 平行 ，
故m≠0 ，则 ，故m=-2 ，检验成立
故答案为：-2
【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可.
14．（2022高二下·成都开学考）某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数（单位：天），已知甲组数据的中位数为16，乙组数据的平均数为16.4，则 的值为 ．
【答案】8
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由茎叶图以及甲同学的中位数为16可知：从小大排列第三个数应为10+x，即为16，故x=6 ，
同理对于乙同学有： ，可得y=2 ，
故x+y=8，故答案为：8
【分析】根据茎叶图可分别计算出甲乙两同学的中位数和平均数，即得答案.
15．（2022高二下·成都开学考）斜率为2的直线l与抛物线 相交于A，B两点，若A，B两点的中点为 ，则p的值为 ．
【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得，
即(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)，
因为直线l的斜率为2，且A，B两点的中点为 ，
所以，即，
解得p=2，
故答案为：2
【分析】根据直线l的斜率为2，且A，B两点的中点为M(2，1) ，利用点差法求解.
16．（2022高二下·成都开学考）已知椭圆 ，过点 且斜率为k的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，则 面积S的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x=my+2，由消去x并整理得：(m2+2)y2+4my+2=0，
则 >0且，则m2>2，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积S的最大值为 .
故答案为：
【分析】根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合三角形的面积公式以及基本不等式求最值即可求解.
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（2022高二下·成都开学考）
（1）已知直线l的方程为
，求直线l恒过定点的坐标．
（2）已知点
，
，
，若过点M的直线l与线段AB有公共交点，求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】（1）解：由已知可得 ，即 ，
则 ，解得 ， ，∴直线l恒过定点 ．
（2）解：如图示，当直线l 在直线MB和MA之间绕点M转动时，符合题意，
， ，
∵过点M的直线l与线段AB有公共交点，则
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【分析】(1)将直线l的方程
分离参数a，解方程组可得答案；
(2)作出示意图，求出
， ， 运用数形结合思想即可得答案.
18．（2022高二下·成都开学考）某班级利用寒假假期推行“学习互助小组”．
（1）班上有60个同学，女生与男生的比例为2∶3，开学后老师按男女生比例抽查一个样本容量为10的样本，则男生被抽到的人数是多少？
（2）现有小明同学和小华同学结对相互学习，两人约定到公共图书馆学习，约定时间为早上9点到10点（注：两人在这一段时间内任一时刻到达公共图书馆的可能性均相等），相互约定，等待对方的时间不超过15分钟，否则就取消当天的学习活动．求他们俩当天能成功一起学习的概率是多少？
【答案】（1）解：60人中，抽取10人，样本比 ，
∵女生与男生的比例为2∶3，∴女生人数有24人，男生人数有36人，
则抽取的男生人数为 人，∴男生被抽到的人数为6人．
（2）解：设小明同学到公共图书馆的时间为x，小华同学到公共图书馆的时间为y，
将9：00～10：00这个时间段看做0～1，15分钟为 ．
记总事件为 ， ．
小明与小华能聚在一起学习记作事件A，
， ，
∴他们俩当天能成功一起学习的概率为 ．
【知识点】分层抽样方法；几何概型
【解析】【分析】（1）根据分层抽样的比例直接计算求得答案；
（2）根据几何概型的概率计算公式直接求解即可.
19．（2022高二下·成都开学考）已知圆 ．
（1）过点 作圆的切线，求切线l的方程；
（2）已知圆 上只有2个点到直线 的距离为1，求r的取值范围．
【答案】（1）解：圆心 ， ，
∵点P在圆外，∴过圆外一点作圆的切线有2条．
①当k存在时，设切线l的方程为 ，即 ，
则圆心C到l的距离 ，∴ ，切线l的方程为： ；
②当k不存在时，切线l的方程为 ．
综上，切线l的方程为 或 ．
（2）解：圆心 到 的距离 ，
当圆上有1个点到l的距离为1，则 ， ，
当圆上有3个点到l的距离为1，则 ， ，
∴圆上有2个点到l的距离为1时，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求得k，即可求解；
(2)根据点到直线的距离公式，结合点与圆的位置关系求解即可.
20．（2022高二下·成都开学考）开学在即，某校对全校学生返校所花费的时间进行调查，统计了该校学生居住地到学校的距离x（单位：千米）和学生花费在返校路上的时间y（单位：分钟），得到如下数据：
到学校的距离x（千米） 1.5 2.5 3.4 4.7 5.0 6.9
花费的时间y（分钟） 14 18 24 30 34 42
由统计资料表明y与x具有线性相关关系．
参考公式及数据： ，
， ．
（1）求线性回归方程 （ 精确到0.01）；
（2）小明家离学校8千米，请问小明到学校所花费的时间约为多少分钟？（精确出整数）
（3）若 的距离数据 ，称为“完美距离”，那么从6个距离中任取2个，求抽取到的2个数据中至少有一个是“完美距离”的概率．
【答案】（1）解： ， ．
∵ ， ，
∴ ，
将 代入 ，得 ，∴ ．
（2）解：当 千米， 分钟．
∴小明到学校的时间约为48分钟．
（3）解：由表格可知，6个数据中 的有2个，记作 ， ，剩下的记作B，C，D，E，
则6个数据中抽取2个数据共有15种，
即 ， ， ， ， ， ， ， ， ，BC，BD，BE，CD，CE，DE．
其中至少有一个完美距离的有9种，
所以抽取到至少有一个是“完美距离”的概率 ．
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程参考公式求出 ，代入求 ，即可得出；
（2）x=8代入回归直线方程求解即可；
（3）列出基本事件，根据古典概型概率公式求解.
21．（2022高二下·成都开学考）若点 到直线 的距离比它到点 的距离大3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过点N的直线 与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线 与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若 ，求 的值．
【答案】（1）解：由题意可知点 到 的距离与到点 的距离相等，
∴点M的轨迹为抛物线且 ．∴点M的轨迹方程为 ．
（2）解：抛物线的焦点为 ，
由题意可知，若 与 中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
∴ 与 都存在，且 ， ．
设 的方程为 ， ， ，
联立 消y得： ，
∴ ， ．
同理 ，∴
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义与标准方程求解即可；
(2)根据直线与抛物线的位置关系，运用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
22．（2022高二下·成都开学考）已知双曲线 的离心率 ，虚轴在y轴上且长为2．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若斜率为1的直线m交 于A，B两点，且直线m与圆 相切，求证： ；
（3）已知椭圆 ，若P，Q分别是 ， 上的动点，且 ，探究点O到直线PQ的距离d是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：虚轴在y轴上，则双曲线的标准方程为 ．
由题意得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴双曲线 的标准方程为 （或 ）．
（2）证明：设直线m的方程为 ．
∵直线与已知圆相切，∴ ，即 ．
由 得 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：当直线OQ垂直于x轴时， ， ，
则点O到直线PQ的距离为 ．当直线OQ不垂直于x轴时，
设直线OQ的方程为 ，则直线OP的的方程为 ，
由 ，得 ，∴ ，同理 ．
设点O到直线PQ的距离为d，
∵ ，
∴ ，即 ．
综上，点O到直线PQ的距离为定值，定值 ．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；圆的切线方程；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质与标准方程求解即可；
（2）根据直线与圆相切求得t2，再根据直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及向量的数量积运算的坐标表示求解即可；
（3）设 点O到直线PQ的距离为d，分OQ⊥x 轴与OQ与x轴不垂直两种情况讨论，求出|OP|、|OQ|，利用等面积法求出d的值，即可得出结论.
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