2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章　三角形的证明 单元测试训练卷（word版 含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
单元测试训练卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BC边上的高和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等
D．AB，BC边上的高相等
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线AF与AB的垂直平分线DF交于点F，连接CF，BF，则∠BCF的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．45°
4. 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
5. 等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？(　　)
A．△ABC三条角平分线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．90° B．95° C．100° D．105°
8. 等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则( )
A．点P在三角形内
B．点P在三角形外
C．点P在三角形底边上
D．点P的位置与三角形的边长有关
9. 下列说法：
①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等；
④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F是垂足，且AB＝5，BC＝4，AC＝3，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别是( )
A．1，1，1 B．2，2，2
C．1，1.5，2 D．无法确定
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设_________________________．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．
13. 如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝60°，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于____．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是__________．
15. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝____．
16. 在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为__ __．
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE＝4，ED＝5，求CD的长．
18．(8分) 如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
19．(8分) 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度数．
20．(10分) 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF＝2AE；
(2)若CD＝，求AD的长．
21．(12分) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.
(1)求点B到AD的距离；
(2)求塔高CD.(结果用根号表示)
22．(12分) 如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
参考答案
1-5DDBDB 6-10DDBBA
11．三个内角都大于60度
12．3
13．2
14．15
15．96°
16．或
17．解：∵AD＝3，AE＝4，ED＝5，∴AD2＋AE2＝ED2，∴∠A＝90°.∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DC＝AD.∵AD＝3，∴CD＝3.
18．解：(1)证明：在△ADB和△BCA中，∴△ADB≌△BCA(SSS)
(2)相等．理由：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB
19．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)解：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠BEA＝75°.同理，∠CDE＝∠CED＝75°.∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
20．解：(1)证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝∠DBF＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，又∵∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠DBA，∴AD＝BD，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，又∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE.
(2)∵△BFD≌△ACD，∴FD＝CD＝，∴FC＝＝2，又∵AE＝CE，FE⊥AC，∴FC＝AF，∴AF＝2，∴AD＝AF＋FD＝2＋.
21．解：(1)过点B作BE⊥AD，垂足为E，∴∠AEB＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝AB＝×40＝20 m　
(2)AE＝＝20，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE＝20，∴AD＝AE＋DE＝20＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD＝AD＝(20＋20)＝(10＋10) m
22．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B＝60°.又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)如图，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD，则∠BMD＝∠BDM.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC.∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝120°.∵CE是∠ACF的平分线，∴∠ECA＝∠ECF＝60°.∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.在△AMD和△DCE中，∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.