2022年鲁教版数学七年级下册 10.5 角平分线 第1课时 课件（23张）

(共23张PPT)
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000）
Ｓ
O
公路
铁路
　 5 角平分线
第一课时
学习目标
1、会用尺规作角平分线
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？
A
O
B
C
活
动
1
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
1.什么是角平分线？怎样画角平分线？
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
活
动
2
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE、PF ，并度量所画PE、PF是否等长？
C
C
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°
又∵OP=OP
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
A
O
C
B
1
2
P
D
E
你能证明这个结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
图形语言
文字语言
数字符号语言
A
O
C
B
1
2
P
D
E
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
练习：
判断
1.
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
不必再证全等
2.
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，
DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？
为什么？
A
B
C
D
E
A
D
O
B
E
P
C
知识应用
2、如图,OC是∠AOB 的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 （1）PE=_____cm.
（2）P点到OB的距离_____cm.
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线 上．
思考
A
O
C
B
1
2
P
D
E
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中
　　　 OP=OP，PD=PE
　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∴点P在∠AOB的角平分线上．
A
O
C
B
1
2
P
D
E
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内 部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
图形语言
文字语言
数字符号语言
A
O
C
B
1
2
P
D
E
这样，我们又可以得到一个结论：
梦想成真
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
A
B
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.
A
B
C
D
E
F
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC DE ＝DF
∴AD平分∠BAC
又∵∠BAC=60°
∴∠BAD=30,
在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10
∴DE= AD= ×10=5
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:BE=CF.
A
B
E
D
C
F
证明：∵AD平分∠CAB
　　 DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
　　 DE=DF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）
已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF
求证:AD是∠BAC的角平分线.
A
B
E
D
C
F
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠DEB=∠CFD=90°
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
　　 BE=CF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等)
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴ 点D在∠A的角平分线上。即AD是它的角平分线
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求: AD与EF关系？
A
B
E
D
C
F
证明:∵AD平分∠CAB DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
∠DAE=∠DAF
∵∠DEB=∠CFD=90°
∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线
∴AD垂直平分EF.(三线合一）
O
巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE ＝AC
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
E
D
C
B
A
1.用尺规作角平分线
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
3.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
回顾一下吧，本节课你学到了什么？