2022年鲁教版数学七年级下册 10.2 等腰三角形 第3课时 课件（21张）

(共21张PPT)
2 等腰三角形（第3课时）
1、学会证明等角对等边,并进行等腰三角形的判定;
2、体会反证法，并会用反证法进行证明;
3、规范证明的书写过程.
请同学们回答下面的问题：
1、等腰三角形的性质是什么？
①有两个相等的角.
②有两条相等的边.
③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
请一位同学说出已知、求证.
已知:在△ABC中,∠B= ∠C
求证：AB=AC
A
B
C
A
B
C
D
证法一：作∠BAC的平分线AD.
在 △BAD和△CAD中，
∠BAD= ∠ CAD，
∠B=∠C,
AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）,
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
证法二：作AD⊥BC，垂足为D.
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
∠B=∠C,
AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）,
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
请同学们想一想：作等腰三角形底边上的中线可以证明吗？为什么？
A
B
C
D
从以上讲解我们可以得到什么结论？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
D
60°
60°
你又可以得到什么？
已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）
求证：AB=AC=BC
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法.
小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,
那么这两个角所对的边也不相等.
即
C
A
B
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC.
你认为这个结论成立吗
如果成立,你能证明它吗
小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时,AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此， AB≠AC.
论证的新方法----反证法
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.
这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)
假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”
定理可得∠B=∠C .
但已知条件是∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,
因此,AB≠AC.
反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
C
A
B
求证: 一个三角形中不能有两个角是直角。
(用反证法来证)
证明：
假设△ABC中有两个直角 ，不妨设∠A=∠B=90° ，
那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾
∴假设不成立
∴△ABC中不能有两个直角
已知：△ABC
求证： ∠A、 ∠ B、∠C中不能有两个角是直角
求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,
那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,
即都得小于1/5,
那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.
这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.
因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
(用反证法来证)
证明:
例1 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
A
B
C
D
36°
36°
2
1
72°
解：∵∠A=36°∠DBC= 36° ∠C= 72°
∴∠2=180 °－ ∠A － ∠DBC － ∠C ＝ 36°
(三角形内角和定理）
∴ ∠A＝ ∠2
∴AD=BD(等角对等边）
∵ ∠1= ∠A ＋∠2= 72°= ∠C
∴BD=BC (等角对等边）
∴图中的等腰三角形有△ADB、△ABC、△BDC三个.
例2 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
C
A
D
B
答：图中的等腰直角三角形有：
等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和
等腰Rt△ CDB
A
B
C
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。
等腰三角形的两个底角相等.
简称:
等边对等角.
顶角
A
B
C
底边
腰
腰
底角
底角
【定义】
【性质定理】
【性质定理的推论】
有两边相等的三角形叫做等腰三角形;
D
高
(简称:“三线合一”)
【判定定理】
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称:
等角对等边.
等腰三角形：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等。
A
C
B
D
●
●
E
●●
●●
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
等边三角形（特殊的等腰三角形）
等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于60°。
【定义】
【性质定理】
有三边相等的三角形叫做等边三角形;
用反证法证题的一般步骤
1. 假设命题的结论不成立;
2. 从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果;
3. 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.