高中数学沪教版（2020）必修第二册综合检测卷1 （word含解析）

高中数学沪教版（2020） 必修第二册 综合检测卷
一、填空题
1．若复数z满足，则______.
2．函数的最小正周期为________.
3．若，则的值是______.
4．设、为单位向量，若，则______.
5．已知 =，则的值是____.
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝，则λ＝______．
7．函数的单调增区间为______.
8．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________.
9．在中，，，D是边上的一点，若，则的值为______.
10．若非零向量、满足，且关于x的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是______.
11．在中，角的对边分别为，，，则的取值范围是__________．
12．已知在平面四边形中，，，，，，若点E为边上的动点，则的最小值为______.
二、单选题
13．若关于x的方程的一个根为，则的值是（ ）
A．-30 B．30
C．-150 D．150
14．在直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，在直角三角形中，若，则的可能值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．设、为单位向量，非零向量，x、.若、的夹角为，则的最大值等于（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
三、解答题
17．已知，，且，求向量在向量方向上的数量投影.
18．已知复数满足，的虚部是.
(1)求复数；
(2)设、、在复平面上的对应点分别为、、，求的面积.
19．已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量．
（1）若，求证：为等腰三角形；
（2）若，边长，角，求的面积
20．在中，，，，记与的夹角为.
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值
21．已知点G是的重心.
（1）过G的直线与、分别交于P和Q，且，，试问m、n的倒数和是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
（2）设与的面积分别为S和T，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【解析】
【分析】
根据复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以.
故答案为：
2．
【解析】
【详解】
函数的周期
故答案为
3．-3
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的除法运算计算出等式左边，根据复数相等可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
4．
【解析】
【分析】
把已知模平方求得，再利用平方求．
【详解】
由已知，，
所以．
故答案为：．
5．
【解析】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形，用向量与表示出即可.
【详解】
△ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝，如图所示，
∴＝＝+①，
＝，∴＝②；
①+②得，3＝+2，∴＝+；∴λ＝．
故答案为：．
7．，
【解析】
【分析】
结合正弦函数的单调性整体代入法求解即可．
【详解】
解：由得，
，
故答案为：，．
8．
【解析】
【分析】
由条件可知，且除去与共线时的的值.
【详解】
与均为非零向量，且夹角为锐角，，即.
当与共线时，存在实数m，使，
即，即
当时，与共线.
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：
9．4
【解析】
【分析】
由得，再利用平面向量的数量积公式计算得解.
【详解】
因为，
所以,
所以,
由题得,
所以.
故答案为：4
10．
【解析】
【分析】
根据方程有实根，则 ，得到关于 的不等式，结合向量夹角范围，即可得到与夹角的取值范围.
【详解】
关于x的方程有实根，即 ，
即，且，所以 ，且，
那么.
故答案为：
11．
【解析】
【详解】
由题意得，又因为，可知．又，由正弦定理可得，==（其中），．所以．填．
【点睛】
对于求边的范围问题，我们常用余弦定理转化为边作，但是不容易控制范围．所以我们更多的是化边为角，利用角的范围来求边的范围．本题的另一个难点，辅助角公式中不是特殊角，需要结合单位圆或图象来精确求范围．
12．
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，从而得出的最小值.
【详解】
因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作轴，过点作轴，
，，，
，
，,
设点坐标为，则，
则，，
所以
又因为，所以当时，取得最小值为．
故答案为：
13．C
【解析】
【分析】
由实系数方程虚根成对原理得到方程的另一个根，然后利用韦达定理求解的值，由此可求出答案．
【详解】
解：∵方程的一个根为，
∴由实系数方程虚根成对原理得到该方程的另一个根为，
由韦达定理可得，解得，
∴，
故选：C．
14．B
【解析】
【详解】
∵，，
∴．
因为△ABC为直角三角形，
（1）∠A=90°时，，k=﹣6；
（2）∠B=90°时，，k=﹣1；
（3））∠C=90°时，，k无解，
综上所述，k=﹣6或﹣1
故答案为B．
15．C
【解析】
【分析】
直接根据复数三角形式的除法法则求解即可．
【详解】
解：∵
，
故选：C．
16．C
【解析】
【分析】
由非零向量，不同为，当时化简
即可得解.
【详解】
当时，，
当时，
，
故的最大值2.
故选：C
17．4
【解析】
【分析】
根据，，由则，化简可得，再根据投影公式即可得解.
【详解】
因为，
所以，
即.
因为，，
所以，
所以在方向上的数量投影为.
18．(1)或
(2)的面积为
【解析】
【分析】
（1）设，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得复数；
（2）分、两种情况讨论，求出的三个顶点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.
(1)
解：设，则，
由题意可得，解得或，
因此，或；
(2)
解：当时，，，
则点、、，此时，
故；
当时，，，则、、，
此时，故.
综上所述，的面积为.
19．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）用坐标表示，利用正弦定理，化角为边，即得证；
（2）用坐标表示，利用角的余弦定理可得，再利用面积公式即得解
【详解】
（1）因为，所以，即，
其中是的外接圆半径，所以，
所以为等腰三角形．
（2）因为，所以．
由余弦定理可知，，即
解方程得：（舍去）
所以．
20．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）设，由余弦定理可得，根据的范围得出的范围，从而得出答案
（2）先由降幂公式和辅助角公式化简，在由正弦函数的性质可得最值.
【详解】
（1）设，则
由余弦定理知：，又，
所以，又，故，即为的取值范围；
（2），
因为所以，
所以，
因此，
21．（1）是，m、n的倒数和是3；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）取，为基底，利用平面向量基本定理，用基底表示出，建立方程组，整理化简，即可得到；
（2）因为，所以，整理成关于m的函数，利用函数求最值即可.
【详解】
（1）设，，因为G为重心，则
因为P、G、Q共线，则存在实数使得，
即
于是
消去得.故m、n的倒数和是3；
（2）因为，
所以，
由（1）知，令，
因为，即，又，
所以，则，
在上的最小值是2，
最大值是，
所以，
，
则
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