高中数学沪教版（2020）必修第一册综合检测卷 （word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学沪教版（2020）必修第一册综合检测卷 （word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 565.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-10 17:06:32 | ||
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文档简介
高中数学沪教版（2020） 必修第一册综合检测卷
一、填空题
1．幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=____．
2．已知，则________．（用m表示）．
3．已知函数，，则____________.
4．若函数，则______．
5．“”是“函数在区间上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
6．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是________.
7．若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
8．已知函数，若，，且，则ab的取值范围是________．
9．函数的值域为_____．
10．如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是______．
11．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
二、双空题
12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定是______，其真假为______．
三、单选题
13．已知，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题中成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么
15．函数的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图象都不能与函数的图象重合，则函数可以是
A． B．
C． D．
16．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
四、解答题
17．已知集合，，求．
18．已知定义在上的函数（，）具备性质在上是严格增函数，在上是严格减函数，其中．根据上述知识解决下列问题：已知函数
(1)写出函数的定义域，并求的值；
(2)若恒成立，求m的取值范围．
19．上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是元，其中.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.
20．已知函数
（1）当时，求证在上是单调递减函数；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数.
21．已知，定义：表示不小于x的最小整数，例如：，．
(1)若，求实数x的取值范围；
(2)若，求函数，的值域，并求在“”条件下，满足的实数x的取值范围；
(3)设，，若对于任意的、、，都有，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．．
【解析】
【详解】
试题分析：先设f（x）=xk，再把已知点的坐标代入可求出k的值，即得到幂函数的解析式．
解：设f（x）=xk，
∵y=f（x）的图象经过点（，2），
∴，
∴=，
∴．
故答案为．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
2．
【解析】
【分析】
化简即得解.
【详解】
由题得.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是灵活运用对数的运算化简求解.
3．
【解析】
【分析】
求出函数和的定义域，然后根据两个函数的解析式可计算出，并标出该函数的定义域.
【详解】
易知，函数的定义域为，函数的定义域为，
又，，.
故答案为.
【点睛】
本题考查函数解析式的计算，解题时还应标出函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
4．##0.5
【解析】
【分析】
首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：
5．充分非必要
【解析】
【分析】
求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系即可求出答案.
【详解】
的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集，
所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分非必要
6．
【解析】
由偶函数得出在上的单调性，然后由单调性可解不等式．
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，
所以在上是增函数，，
所以的解是．
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
7．[0，）．
【解析】
【详解】
当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为 ，
即所对应图象均在x轴上方，故需解得0＜a＜，
综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）
故答案为[0，）．
8．
【解析】
【分析】
根据可得，再将化为关于的二次函数，利用二次函数知识可求得结果.
【详解】
依题意可得，即，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：
9．
【解析】
首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案.
【详解】
因为，所以
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】
由对任意实数都成立可知，函数 为实数集上的单调减函数.
所以解得 .
故答案为.
11．
【解析】
【分析】
分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可
【详解】
解：因为在上为增函数，
所以，
所以在上的值域为，
因为的对称轴为直线，
所以在上为增函数，
所以，
所以在上的值域为，
因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，
所以，解得，
所以或，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题
12． 存在两个等边三角形，它们不相似 假命题
【解析】
【分析】
根据全称量词命题和存在性量词命题的否定，即可得出该命题的否定，再利用相似三角形的的判定定理判断命题的真假.
【详解】
该命题的否定为：存在两个等边三角形，它们不相似．
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．
因此这是一个假命题．
故答案为：存在两个等边三角形，它们不相似；假命题.
13．A
【解析】
【分析】
直接利用并集的定义求解即可
【详解】
解：因为，，若，
所以，
故选：A
14．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.
【详解】
时， ，所以选项 A错误；
时，，所以选项 B错误；
取，此时， ，所以选项C错误；
时，，又 选项D正确.
故选：D.
15．D
【解析】
【详解】
试题分析：A选项关于对称的函数是.B选项，先向下平移一个单位得到图象，然后关于轴对称翻折，得到.C选项先向右移动一个单位得到图象，然后关于轴对称翻折，得到.故选D.
考点：函数图象变换.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A选项，选项中的函数和互为反函数，图象关于对称，所以翻折后可以重合.接着考查B选项，首先利用对数运算化简，然后通过先下平移，再关于对称，得到图象.C也是同样的做法，先平移然后对称变换得到.
16．B
【解析】
【分析】
转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
17．
【解析】
【分析】
分别求两个集合，再求交集.
【详解】
，得或，所以或，
即或，
，解得：，即，
.
18．(1)定义域为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据具体函数定义域的求解方法计算即可得出函数的定义域，再根据定义求解;
（2）根据（1）中结果求解函数的最大值，进而解决不等式恒成立问题.
【详解】
（1）由知，解得
所以函数的定义域为，
根据题意，
.
（2）不等式恒成立充要条件是
根据性质有：在上是严格增函数，在上是严格减函数，
所以，因此，m的取值范围为．
19．（1）；（2），4575元.
【解析】
【分析】
（1）直接解不等式计算得到答案.
（2）计算得到，根据二次函数知识得到最值.
【详解】
（1），即
整理可得：，解得：或 (舍去）
所以：
（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，
所以当取最大值为4575元.
【点睛】
本题考查了不等式和函数最值的应用，意在考查学生的应用能力.
20．（1）证明见解析. （2）.（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出，再利用函数的单调性的定义证明；（2）等价于恒成立，再换元利用二次函数的最值解答得解；（3）得，再令，结合函数的图象分析分类讨论得解.
【详解】
（1）当时，
因为，所以，
设，
所以
因为，
所以，
所以.
所以在上是单调递减函数；
（2）因为对任意的，不等式恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
设，所以在上恒成立，
当t＞0时，的最大值为，此时.
所以.
（3）令得
所以，令
作图得函数的图象为：
当时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的证明和不等式的恒成立问题，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．(1)
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据题意中的定义，直接求出结果；
(2)由指数函数的单调性可得，进而得出，解不等式组即可；
(3)根据二次函数的单调性求出在上的最大值和最小值，进而可得即在上恒成立，分类讨论，求出当和时不等式的解集即可.
(1)
表示不小于x的最小整数，可得的x的取值范围是；
(2)
若，可得，即，
又，且，
即有，即，
因为当时，，所以，即得，
于是有，则，
可得x的范围是；
(3)
，
在递增，在递减，可得的最小值为；
最大值为，则，
由题意可得在恒成立，即在恒成立．
当时，恒成立．
可得的最大值为，即有；
当时，恒成立，
可得的最大值为，即有
综上可得，a的范围是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、填空题
1．幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=____．
2．已知，则________．（用m表示）．
3．已知函数，，则____________.
4．若函数，则______．
5．“”是“函数在区间上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
6．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是________.
7．若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
8．已知函数，若，，且，则ab的取值范围是________．
9．函数的值域为_____．
10．如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是______．
11．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
二、双空题
12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定是______，其真假为______．
三、单选题
13．已知，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题中成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么
15．函数的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图象都不能与函数的图象重合，则函数可以是
A． B．
C． D．
16．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
四、解答题
17．已知集合，，求．
18．已知定义在上的函数（，）具备性质在上是严格增函数，在上是严格减函数，其中．根据上述知识解决下列问题：已知函数
(1)写出函数的定义域，并求的值；
(2)若恒成立，求m的取值范围．
19．上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是元，其中.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.
20．已知函数
（1）当时，求证在上是单调递减函数；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数.
21．已知，定义：表示不小于x的最小整数，例如：，．
(1)若，求实数x的取值范围；
(2)若，求函数，的值域，并求在“”条件下，满足的实数x的取值范围；
(3)设，，若对于任意的、、，都有，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．．
【解析】
【详解】
试题分析：先设f（x）=xk，再把已知点的坐标代入可求出k的值，即得到幂函数的解析式．
解：设f（x）=xk，
∵y=f（x）的图象经过点（，2），
∴，
∴=，
∴．
故答案为．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
2．
【解析】
【分析】
化简即得解.
【详解】
由题得.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是灵活运用对数的运算化简求解.
3．
【解析】
【分析】
求出函数和的定义域，然后根据两个函数的解析式可计算出，并标出该函数的定义域.
【详解】
易知，函数的定义域为，函数的定义域为，
又，，.
故答案为.
【点睛】
本题考查函数解析式的计算，解题时还应标出函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
4．##0.5
【解析】
【分析】
首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：
5．充分非必要
【解析】
【分析】
求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系即可求出答案.
【详解】
的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集，
所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分非必要
6．
【解析】
由偶函数得出在上的单调性，然后由单调性可解不等式．
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，
所以在上是增函数，，
所以的解是．
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
7．[0，）．
【解析】
【详解】
当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为 ，
即所对应图象均在x轴上方，故需解得0＜a＜，
综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）
故答案为[0，）．
8．
【解析】
【分析】
根据可得，再将化为关于的二次函数，利用二次函数知识可求得结果.
【详解】
依题意可得，即，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：
9．
【解析】
首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案.
【详解】
因为，所以
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】
由对任意实数都成立可知，函数 为实数集上的单调减函数.
所以解得 .
故答案为.
11．
【解析】
【分析】
分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可
【详解】
解：因为在上为增函数，
所以，
所以在上的值域为，
因为的对称轴为直线，
所以在上为增函数，
所以，
所以在上的值域为，
因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，
所以，解得，
所以或，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题
12． 存在两个等边三角形，它们不相似 假命题
【解析】
【分析】
根据全称量词命题和存在性量词命题的否定，即可得出该命题的否定，再利用相似三角形的的判定定理判断命题的真假.
【详解】
该命题的否定为：存在两个等边三角形，它们不相似．
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．
因此这是一个假命题．
故答案为：存在两个等边三角形，它们不相似；假命题.
13．A
【解析】
【分析】
直接利用并集的定义求解即可
【详解】
解：因为，，若，
所以，
故选：A
14．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.
【详解】
时， ，所以选项 A错误；
时，，所以选项 B错误；
取，此时， ，所以选项C错误；
时，，又 选项D正确.
故选：D.
15．D
【解析】
【详解】
试题分析：A选项关于对称的函数是.B选项，先向下平移一个单位得到图象，然后关于轴对称翻折，得到.C选项先向右移动一个单位得到图象，然后关于轴对称翻折，得到.故选D.
考点：函数图象变换.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A选项，选项中的函数和互为反函数，图象关于对称，所以翻折后可以重合.接着考查B选项，首先利用对数运算化简，然后通过先下平移，再关于对称，得到图象.C也是同样的做法，先平移然后对称变换得到.
16．B
【解析】
【分析】
转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
17．
【解析】
【分析】
分别求两个集合，再求交集.
【详解】
，得或，所以或，
即或，
，解得：，即，
.
18．(1)定义域为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据具体函数定义域的求解方法计算即可得出函数的定义域，再根据定义求解;
（2）根据（1）中结果求解函数的最大值，进而解决不等式恒成立问题.
【详解】
（1）由知，解得
所以函数的定义域为，
根据题意，
.
（2）不等式恒成立充要条件是
根据性质有：在上是严格增函数，在上是严格减函数，
所以，因此，m的取值范围为．
19．（1）；（2），4575元.
【解析】
【分析】
（1）直接解不等式计算得到答案.
（2）计算得到，根据二次函数知识得到最值.
【详解】
（1），即
整理可得：，解得：或 (舍去）
所以：
（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，
所以当取最大值为4575元.
【点睛】
本题考查了不等式和函数最值的应用，意在考查学生的应用能力.
20．（1）证明见解析. （2）.（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出，再利用函数的单调性的定义证明；（2）等价于恒成立，再换元利用二次函数的最值解答得解；（3）得，再令，结合函数的图象分析分类讨论得解.
【详解】
（1）当时，
因为，所以，
设，
所以
因为，
所以，
所以.
所以在上是单调递减函数；
（2）因为对任意的，不等式恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
设，所以在上恒成立，
当t＞0时，的最大值为，此时.
所以.
（3）令得
所以，令
作图得函数的图象为：
当时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的证明和不等式的恒成立问题，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．(1)
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据题意中的定义，直接求出结果；
(2)由指数函数的单调性可得，进而得出，解不等式组即可；
(3)根据二次函数的单调性求出在上的最大值和最小值，进而可得即在上恒成立，分类讨论，求出当和时不等式的解集即可.
(1)
表示不小于x的最小整数，可得的x的取值范围是；
(2)
若，可得，即，
又，且，
即有，即，
因为当时，，所以，即得，
于是有，则，
可得x的范围是；
(3)
，
在递增，在递减，可得的最小值为；
最大值为，则，
由题意可得在恒成立，即在恒成立．
当时，恒成立．
可得的最大值为，即有；
当时，恒成立，
可得的最大值为，即有
综上可得，a的范围是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页