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北师大版 七年级下
5.2 探索轴对称的性质
情境引入
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
两个图形成轴对称
如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
思考：一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出。
小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目。
你知道她是怎样做的吗？
你知道为什么吗？
合作学习
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
（1）两个“14”有什么关系？
打开
（2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l
有什么关系？点F和F′呢？
（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
与直线l垂直.
AB∥A′B′，CD∥C′D′.
∠1=∠2，∠3=∠4.
成轴对称图形.
提炼概念
作轴对称图形的方法：
(1)确定原图形的关键点；
(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；
(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．
【做一做】
观察图中的轴对称图形，回答下列问题：
(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分.
(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B'的线段呢？
都与对称轴垂直.
1
2
3
4
5
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
B与B1重合
A与A1重合
称点A关于对称轴的对应点是A1
称点B关于对称轴的对应点是B1
【做一做】
(3)线段AD与线段A'D'有什么关系？
线段BC与线段B'C'呢？为什么？
(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
AD=A'D'，
BC=B'C'.
∠1=∠2，
∠3=∠4.
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
（5）线段AA1与线段BB1有什么关系？
AA1∥BB1
在下图中，沿对称轴对折后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是点A'.类似地，线段AD关于对称轴的对应线段是线段A′D′，
∠3关于对称轴的对应角是∠4.
你还能说出其它的对应点、对应线段和对应角吗？
B和B' BC和B'C' ∠DCB和∠D'C'B'
议
一
议
在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？对应线段有什么关系？对应角有什么关系？在两个成轴对称的图形中呢？
轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点
所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
例 画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图所示．
方法总结：先确定一些特殊的点，然后作这些
特殊点的对称点，顺次连接即可．
典例精讲
画轴对称图形或成轴对称
做一做
如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.
·
·
轴对称图形对称轴的画法：
1 找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点.
2 画出连接对称点的线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴.
依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分．
归纳概念
画原图关于某直线对称的图形的步骤：
画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连这三个步骤：
①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；
②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；
③连：按原图的顺序连接所作的各对称点．
课堂练习
1．两个图形关于某直线对称，对称点一定 ( )
A. 这直线的两旁
B．这直线的同旁
C．这直线上
D．这直线两旁或这直线上
D
2. 下面说法中正确的是（ ）
Ｃ
Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN。
Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称。
C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形。
Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两侧。
3. 已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；
②点P在直线l上；
③若A，C是对称点，则l垂直平分线段AC；
④若B，D是对称点，则PB=PD 。
其中正确的结论有（ ）
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知△ABC, △ADE 是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段AD和线段AC所在的直线,且∠D=35°,求∠C 的度数.
解：因为△ABC,△ADE 是轴对称图形, △ABC 的对称轴为线段AD所在的直线, 所以AD⊥BC,同理可得AC⊥DE.
在Rt△DFH 和Rt△CGH中,
因为∠DFH=∠CGH, ∠DHF=∠CHG,
所以∠C=∠D,又因为∠D=35°,所以∠C=35°.
5.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由．
解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A′；连接BA′交MN于点P，则点P就是货物中转站的位置．
课堂总结
1.轴对称的性质
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分
2.对应线段相等，对应角相等
2.画轴对称图形或补全轴对称图形的依据是什么呢？
轴对称的性质
作业布置
教材课后配套作业题。
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5.2 探索轴对称的性质 教案
课题 5.2 探索轴对称的性质 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1 知道轴对称图形的性质。2 会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。3 体验轴对称在现实生活中的应用,并能运用轴对称的性质设 计图案。
重点 对轴对称的性质的理解；
难点 轴对称的性质的归纳，体会从特殊图形到一般规律的归纳过程；
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．21世纪思考：一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出。操作探究：如图 ，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平． （1）图中，两个“14”有什么关系？答：成轴对称关系.（2）在上面扎字的过程中，点E与点E'重合，点F与点F '重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E'的线段与l有什么关系？连接点F与点F'的线段呢？答：E E'⊥l，F F'⊥l.（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？答：AB=A′B′，CD=C′D′.（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？答：∠1=∠2，∠3=∠4.做一做：观察右图的轴对称图形：
（1）找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分．答：图中的虚线就是它的对称轴，我们能够看到虚线左右的两个部分是成轴对称的两个部分.（2）连接点 A 与点 A′ 的线段与对称轴有什么关系？连接点 B 与点 B′ 的线段呢？ 答：连接AA ′ ，BB ′ ，这两个线段分别与对称轴垂直（3）线段AD与线段A′D′有什么关系？线段BC与B′C′呢？为什么？答：AD=A′D′，BC=B′C′（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由？答：∠1=∠2，∠3=∠4.议一议：在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？对应线段有什么关系？对应角有什么关系？在两个成轴对称的图形中呢？答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.想一想：如何找出轴对称图形或两个成轴对称的图形的对称轴呢？答案：（1）找出轴对称图形或两个成轴对称的图形的任意一组对称点，连结对称点.（2）画出连接对称点的线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴.做一做： 如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.解：画图如图所示.说一说：如何画原图关于某直线对称的图形呢？答案：（1）找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；（2）作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；（3）连：按原图的顺序连接所作的各对称点． 思考自议世纪 从网络数字语言入手,进一步提高学生学习数学的兴趣.一方面,在不知不觉中达到了情感教育的目的;另一方面,把枯燥的数字赋予新的内涵,让学生感受数学的魅力.同时让学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的数学知识。
讲授新课 提炼概念画原图关于某直线对称的图形的步骤：画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连这三个步骤：①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；③连：按原图的顺序连接所作的各对称点．三、典例精讲 例 画出△ABC关于直线l的对称图形．解：方法总结：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 让学生类比活动1,通过自主探究,使问题不断深化,促使学生不断思考,点燃了学生探究的热情,让学生在感受轴对称图形的性质,在解决问题的过程中增加自信. 利用轴对称的性质作图是本课的难点.为帮助学生突破这一难点,在设计上从点到线,再到复杂图形.遵循了由简单到复杂的过程,便于学生理解.解题时通过引导学生,利用所学过的知识来寻找解决问题的途径,锻炼学生画图的能力.
课堂检测 四、巩固训练1．两个图形关于某直线对称，对称点一定 ( )A. 这直线的两旁 B．这直线的同旁C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 D下面说法中正确的是（ ）Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN。Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称。C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形。Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两侧。 C3. 已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上； ③若A，C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B，D是对称点，则PB=PD 。其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D4.已知△ABC, △ADE 是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段AD和线段AC所在的直线,且∠D=35°,求∠C 的度数.解：因为△ABC,△ADE 是轴对称图形, △ABC 的对称轴为线段AD所在的直线, 所以AD⊥BC,同理可得AC⊥DE. 在Rt△DFH 和Rt△CGH中,因为∠DFH=∠CGH, ∠DHF=∠CHG,所以∠C=∠D,又因为∠D=35°,所以∠C=35°. 5.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由．解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A′；连接BA′交MN于点P，则点P就是货物中转站的位置．
课堂小结 通过这堂课的学习，你掌握了轴对称的哪些性质？1.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2.作轴对称图形的方法：(1)确定原图形的关键点；(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．
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5.2 探索轴对称的性质 学案
课题 5.2 探索轴对称的性质 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1 知道轴对称图形的性质。2 会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。3 体验轴对称在现实生活中的应用,并能运用轴对称的性质设 计图案。
重点 对轴对称的性质的理解；
难点 轴对称的性质的归纳，体会从特殊图形到一般规律的归纳过程；
教学过程
导入新课 【引入思考】【思考】你能分清轴对称与轴对称图形的区别吗？(1)轴对称图形：把_____平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够_________的图形.(2)轴对称：对于_____平面图形，如果沿一条直线对折后能够_________,那么称这两个图形成轴对称.操作探究：如图，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.(1)上图中，两个“14”有什么关系？(2)在上面扎字的过程中，点E与点E'重合，点F与点F '重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E'的线段与l有什么关系？连接点F与点F'的线段呢？(3) 线段AB与线段A'B'有什么关系？线段CD与线段C'D '呢？(4) ∠1与∠2有什么关系？ ∠3与∠4呢？说说你的理由.【做一做】观察图中的轴对称图形，回答下列问题：(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分.(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B'的线段呢？【做一做】(3)线段AD与线段A'D'有什么关系？线段BC与线段B'C'呢？为什么？(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？在下图中，沿对称轴对折后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是点A'.类似地，线段AD关于对称轴的对应线段是线段A′D′，∠3关于对称轴的对应角是∠4.【议一议】（1）在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？（2）对应线段有什么关系？（3）对应角有什么关系？（4）在两个成轴对称的图形中呢？【做一做】下图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.
新知讲解 提炼概念【总结归纳】 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.典例精讲 例 画出△ABC关于直线l的对称图形．
课堂练习 巩固训练1．两个图形关于某直线对称，对称点一定 ( )A. 这直线的两旁 B．这直线的同旁C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 下面说法中正确的是（ ）Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN。Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称。C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形。Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两侧。 3. 已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上； ③若A，C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B，D是对称点，则PB=PD 。其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知△ABC, △ADE 是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段AD和线段AC所在的直线,且∠D=35°,求∠C 的度数.5.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由． 答案引入思考思考：（1）如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合, 那么这个图形叫做轴对称图形. （2）对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个 图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称.操作探究：（1）答：成轴对称关系.（2）答：E E'⊥l，F F'⊥l.（3）答：AB=A′B′，CD=C′D′.（4）答：∠1=∠2，∠3=∠4.做一做：（1）答：图中的虚线就是它的对称轴，我们能够看到虚线左右的两个部分是成轴对称的两个部分.（2）答：连接AA ′ ，BB ′ ，这两个线段分别与对称轴垂直（3）答：AD=A′D′，BC=B′C′（4）答：∠1=∠2，∠3=∠4.议一议：答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.想一想：答案：（1）找出轴对称图形或两个成轴对称的图形的任意一组对称点，连结对称点.（2）画出连接对称点的线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴.做一做： 画图如图所示.提炼概念 典例精讲 解：方法总结：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 巩固训练1.D2.C3.D4.解：因为△ABC,△ADE 是轴对称图形, △ABC 的对称轴为线段AD所在的直线, 所以AD⊥BC,同理可得AC⊥DE. 在Rt△DFH 和Rt△CGH中,因为∠DFH=∠CGH, ∠DHF=∠CHG,所以∠C=∠D,又因为∠D=35°,所以∠C=35°. 5.解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A′；连接BA′交MN于点P，则点P就是货物中转站的位置．
课堂小结 通过这堂课的学习，你掌握了轴对称的哪些性质？1.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2.作轴对称图形的方法：(1)确定原图形的关键点；(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．
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