2021-2022学年人教版（五四制）九年级数学下册第34章锐角三角函数单元测试（Word版含答案）

2021-2022学年人教五四新版九年级下册数学《第34章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（　　）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
5．计算：sin30°＝（　　）
A． B．1 C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在正方形网格中，△ABC的各个顶点均为格点，则tan∠BAC的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°、tanA＝，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．用科学计算器计算：2×sin15°×cos15°＝　 　．
12．已知长方形ABCD，AB＝3，BC＝1，则tan∠DAC＝　 　．
13．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于　 　．
14．如图所示的网格是正方形网格，∠AOB　 　∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
15．若0°＜α＜90°，，则sinα＝　 　．
16．α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝　 　°．
17．若，则锐角α＝　 　．
18．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是　 　cm2．
19．（1）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3．则cos∠BCD的值是　 　；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，AC＝24，AD＝16，则cos∠CAB＝　 　．
20．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值．
23．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
24．计算：2cos30°﹣tan60°+sin30°+tan45°．
25．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
26．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，⊙O经过B，C，D三点，与AB交于另一点E．
（1）请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段AE相等；
（2）在图中，过点E作⊙O的切线，交AD于点F；
①求证：EF2＝FD FC；
②若AF＝DF，求sinA的值．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，
tan∠CAB＝＝，
故选：C．
2．解：根据题意，
由三角函数的定义可得sinA＝，
则sinA＝；
故选：B．
3．解：根据锐角三角函数的定义，知
如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．
故选：A．
4．解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinB＝＝，
∴cosA＝＝，
故选：A．
5．解：sin30°＝．
故选：C．
6．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26．
故选：D．
7．解：由图可知，△ABC为直角三角形，且AC＝2，BC＝1．
∴tan∠BAC＝＝．
故选：C．
8．解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
9．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
则tanB＝＝，
故选：B．
10．解：如图
设AB＝3a，BC＝4a，由勾股定理得
AC＝5a，
sinA＝＝＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
12．解：∵长方形ABCD，AB＝3，BC＝1，
∴CD＝3，AD＝1．
连接AC．
∴tan∠DAC＝＝3．
13．解：∵tanA＝＝，BC＝8，
∴AC＝＝＝6．
14．解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2，
在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝＝1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
15．解：
如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，
tanB＝＝，
设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，
则sinα＝sinB＝＝＝，
故答案为：．
16．解：∵sinα＝cos15°，
∴α＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75．
17．解：∵sinα＝，
∴α＝60°，
故答案为：60°．
18．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为：2．
19．解：（1）∵△ABC是直角三角形，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
在Rt△ABC与Rt△CBD中，∠CDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴cos∠BCD＝cos∠A＝＝．
（2）如图所示．∠C＝90°，AD是角平分线，AC＝24，AD＝16，
∴∠1＝∠2，cos∠1＝＝＝，
∴∠1＝∠2＝30°，∴cos∠CAB＝∠1+∠2＝60°，
∴cos∠CAB＝cos60°＝．
20．解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝＝，
∴设AD＝2x，则AB＝3x，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
由①知，AD＝2x＝2，AB＝AC＝3x＝3，
∴CD＝AC+AD＝5，
故答案为：1或5．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵∠C＝90°，tanA＝，
∴设BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝x，
∴sinB＝＝＝，
cosB＝＝．
23．解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
24．解：原式＝2×﹣++
＝1．
25．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
26．解：（1）连接CE；
证明：连接DE；
∵∠ABC＝90°，
∴CE是⊙O的直径；
∴∠CDE＝90°；
又∵AD＝CD，
∴AE＝CE．
（还可以连接OD，利用中位线定理证AE等于⊙O的直径，或连接BD，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD＝BD，∠A＝∠DBA，∠DBA＝∠ACE）
（2）①证明：∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴＝，即EF2＝FD FC．
②∵AF＝DF，AD＝CD，
∴FD＝FC，∴EF2＝FC2；
∴＝，
∴sin∠ACE＝；
又∵EA＝EC，
∴∠ACE＝∠A；
∴sin∠A＝．
27．（1）证明：连接DE，
∵∠ABC＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE＝CE；
（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE＝2cm；
（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE＝∠AEF＝90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD＝CD
∴CF＝nCD
∴DF＝（1+n）CD
∴DE＝CD
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（CD）2＝（n+2）CD2
∴CE＝CD
∵∠CAB＝∠DEC
∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．