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学霸夯基——沪科版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com ) ， ，点A、B在数轴上，点A表示数－1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ） 21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．2.5
【答案】B
【解析】解：AC= ，
则AM= ，
∵A点表示-1，∴OA=1，∴OM=AM-AO=，
∴M点表示 ，
2．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
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A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm
【答案】B
【解析】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC= ×30=15（cm），∠C=90°，BC=8cm，
由勾股定理得：AB= =17（cm）．
3．如图，已知△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是（ ） 21cnjy.com
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A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】过点C做CD垂直l3，则BC= ，然后根据等腰直角△ABC的勾股定理可得：AC= .
4．下列各组线段中的三个长度：①9 ( http: / / www.21cnjy.com )，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（ ）组。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】根据勾股定理的逆定理知，当 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=；③AE=CE；④∠EBC= 中正确的有（ ）21·世纪*教育网
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A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正确；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC= ∠BAC，∴②正确；
∵AE2=AB2﹣BE2，CE2=BC2﹣BE2，AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③错误；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC= ∠BAC，
∴∠EBC≠ ∠ABC，∴④错误；
∴①②都正确；
6．己知两边的长分别为8,15若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ）
A．不能确定 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】解：设第三边的长为a
由直角三角形的定义、勾股定理可知，斜边的长只能是15或a
（ 1 ）当斜边的长为15时
由勾股定理得：
解得 或 （不符实际，舍去）
（ 2 ）当斜边的长为a时
由勾股定理得：
解得 或 （不符实际，舍去）
综上，第三边的长为 或17
7．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．2a=b＋c B．a：b：c=1： ：2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．2∠A=∠B＋∠C
【答案】B
【解析】解：A、∵2a=b＋c，不能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∵ ，能判定△ABC为直角三角形，符合题意；
C、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
3x＋4x＋5x=180，
解得：x=15，
则5x°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
D、∵2∠A=∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=60°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
8．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）
A．96 B．49 C．24 D．48
【答案】C
【解析】直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24-10=14.
9．现有一只蜗牛和一只乌龟从同 ( http: / / www.21cnjy.com )一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．300厘米 B．250厘米 C．200厘米 D．150厘米
【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，
∴OA=14×5=70（厘米），OB=48×5=240（厘米），∴AB==250（厘米）．
答：5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为250厘米，
10．将一根24cm的筷子，置于 ( http: / / www.21cnjy.com )底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．2-1-c-n-j-y
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A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】D
【解析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在 ( http: / / www.21cnjy.com )杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
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二、填空题
11．如图所示是一种盛饮料的圆柱形 ( http: / / www.21cnjy.com )杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 cm．21*cnjy*com
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【答案】17.6
【解析】解：如图，连接CD，
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当吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短，
∵测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，
∴CD=2×2.5=5，AD=12，
在Rt△ACD中
∵吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，
∴AE=4.6，
∴CE=AC+CE=13+5.6=17.6cm.
12．如图，在边长为1的正方形网格中，两格点 之间的距离为d 3.（填“ ”，“ ”或“ ”）. 21教育网
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【答案】＜
【解析】解：点A，B之间的距离d= ＜3，
13．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米.
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【答案】7
【解析】解：由勾股定理得： ，所以地毯的长度为4+3=7米.
14．一个直角三角形，一边长5cm，另一边长4cm，则该直角三角形面积为
【答案】10或6
【解析】解：当5为直角边时，4也为直角边，
则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；
当5为斜边时，由勾股定理得另一直角边为 =3，
则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，
综上，该直角三角形的面积为10或6，
15．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB PC= ．
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【答案】25
【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB PC=AP ( http: / / www.21cnjy.com )2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．
16．已知直角三角形两直角边长分别为5与12，则第三边长为
【答案】13
【解析】∵直角三角形两直角边长分别为5与12，
∴第三边长为： .
17．如图，有一个长方体，其长、宽、高分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 cm.www.21-cn-jy.com
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【答案】
【解析】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则这个长方形的长和宽分别是4和4，
则所走的最短线段是AB= （cm）；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
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则这个长方形的长和宽分别是6和2，
所以走的最短线段是AB= （cm）；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
此种情况与第二种情况一样，
∵ ，
∴最短路径的长是 cm，
18．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为
【答案】3或
【解析】解：①当第三边为斜边时，第三边=
②当边长为5的边为斜边时，第三边==3．
19．如图，若圆柱的底面周 ( http: / / www.21cnjy.com )长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 cm．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】150
【解析】解：要使得所用丝线最短，则展开如图所示：
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由题意，AC=30×3=90cm，BC=120cm，∠ACB=90°，
∴ ，
三、作图题
20．如图，在正方形网格中，每 ( http: / / www.21cnjy.com )个小正方形的顶点称为格点.画出以 为斜边的直角 ，且 的顶点均在格点上，各边长均为无理数. 【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】解：如图所示： 即为所求.
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由图可知： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的顶点均在格点上，各边长均为无理数.
【解析】直接利用网格结合勾股定理及逆定理得出符合题意的图形.
四、解答题
21．有一只小鸟在一棵高为4m的小树树梢 ( http: / / www.21cnjy.com )上提虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出出叫声，它立刻以4 m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少需要几秒才能到达大树树梢？
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【答案】解：如图所示，
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根据题意，得AC=20-4=16 m，BC= 12 m．
根据勾股定理，得AB2 =AC2 +BC2= 162+122 = 400= 202，
∴AB= 20 m．
∴这只小鸟至少需要20÷4=5 s才能到达大树树梢．
【解析】根据题意，画出图形求得AB的长，根据已知条件得到BC和AC的值，再根据勾股定理就可以求解。
22．如图，△ABC中， ，且AD=AC．若∠ABC=45°，D是BC边上一点，BD-DC=1．求DC的长.
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【答案】解：过点A做AE⊥BC
∵AD=AC
∴∠AEB=90°，DE=EC= CD
又∵∠ABC=45°
∴∠BAE=45°
∴AE=BE
在△ABE中，AB=
设BE=AE=x,
∴x2+x2=AB2
解得BE=4，
∵BD-DC=1又BD+ CD=4
解得DC=2，BD=3
∴CD=2.
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【解析】过点A做AE⊥BC，根据等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质得到DE=EC，再根据∠ABC=45°得到△ABE为等腰直角三角形，求出BE=4，再根据BD+ CD=4，BD-DC=1，求出CD的长.21·cn·jy·com
23．已知，如图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC的面积．
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【答案】解：∵△ABC为等边三角形，且AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=30°．
∴BD= AB=1，而BD2+AD2=AB2
∴AD2=AB2﹣BD2=3
∴AD=
∴S△ABC= AD BC
= × ×2=
∴△ABC的面积为
【解析】根据等边三角形各边长相等的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得AB=BC，根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，根据勾股定理即可求得AD的值，根据AD、BC即可求得△ABC的面积． 2·1·c·n·j·y
24．如图，梯子 靠在墙上，梯子的 ( http: / / www.21cnjy.com )底端 到墙根 的距离为 ，梯子的顶端 向外移动到 ，使梯子的底端 到墙根 的距离等于 ，同时梯子的顶端 下降至 ，求 的长（梯子 的长为 ） 【出处：21教育名师】
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【答案】解：由题意可得出：AO=3m，A′O=4m，AB=A′B′=5m，
∴在Rt△AOB中，BO= m，
在Rt△A′OB′中，B′O= m，
∴BB′的长为：4-3=1（m）.
答：BB′的长为1m.
【解析】由题意可得：AO ( http: / / www.21cnjy.com )=3m，A′O=4m，AB=A′B′=5m，在Rt△AOB、Rt△A′OB′中，利用勾股定理可得BO，B′O的值，据此求解.【版权所有：21教育】
25．如图所示，在△ABC中，AB: ( http: / / www.21cnjy.com )BC:CA=3:4:5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动；如果同时出发，则过3秒时，求△BPQ的面积。21教育名师原创作品
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【答案】解：设AB为3x cm，则BC为4x cm，AC为5x cm，
∵周长为36 cm，∴AB＋BC＋AC＝36 cm，
即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm.
∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
过3秒时，BP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)，
∴S△BPQ＝ BP·BQ＝ ×6×6＝18(cm2)．
故过3秒时，△BPQ的面积为18 cm2
【解析】由于AB:BC:CA=3:4:5 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， 设AB为3x cm，则BC为4x cm，AC为5x cm， 根据三角形的周长等于36建立方程，求解得出x的值，从而得出AB,BC,AC的长，根据勾股定理的逆定理判断出 △ABC是直角三角形，且∠B＝90°，根据路程等于速度乘以时间得出AP=3,BQ=6,进而由BP=AB-AP得出BP的长，然后根据 S△BPQ＝ BP·BQ 算出答案。21*cnjy*com
第十八章 勾股定理
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一、单选题
1．如图，矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com ) ， ，点A、B在数轴上，点A表示数－1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ） 21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．2.5
2．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
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A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm
3．如图，已知△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是（ ） 21教育网
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A． B． C． D．5
4．下列各组线段中的三个长度：①9，12， ( http: / / www.21cnjy.com )15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（ ）组。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂 ( http: / / www.21cnjy.com )足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=；③AE=CE；④∠EBC= 中正确的有（ ）21cnjy.com
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A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
6．己知两边的长分别为8,15若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ）
A．不能确定 B． C． D． 或
7．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．2a=b＋c B．a：b：c=1： ：2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．2∠A=∠B＋∠C
8．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）
A．96 B．49 C．24 D．48
9．现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点 ( http: / / www.21cnjy.com )分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（ ）www.21-cn-jy.com
A．300厘米 B．250厘米 C．200厘米 D．150厘米
10．将一根24cm的筷子，置于 ( http: / / www.21cnjy.com )底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．2·1·c·n·j·y
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A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
二、填空题
11．如图所示是一种盛饮料的圆柱形 ( http: / / www.21cnjy.com )杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 cm．【来源：21·世纪·教育·网】
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12．如图，在边长为1的正方形网格中，两格点 之间的距离为d 3.（填“ ”，“ ”或“ ”）. 21·世纪*教育网
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13．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米.
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14．一个直角三角形，一边长5cm，另一边长4cm，则该直角三角形面积为
15．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB PC= ．
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16．已知直角三角形两直角边长分别为5与12，则第三边长为
17．如图，有一个长方体，其长、宽、高分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 cm.21·cn·jy·com
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18．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为
19．如图，若圆柱的底面周长是30cm ( http: / / www.21cnjy.com )，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 cm．www-2-1-cnjy-com
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三、作图题
20．如图，在正方形网格 ( http: / / www.21cnjy.com )中，每个小正方形的顶点称为格点.画出以 为斜边的直角 ，且 的顶点均在格点上，各边长均为无理数. 2-1-c-n-j-y
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四、解答题
21．有一只小鸟在一棵高为4m的小 ( http: / / www.21cnjy.com )树树梢上提虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出出叫声，它立刻以4 m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少需要几秒才能到达大树树梢？
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22．如图，△ABC中， ，且AD=AC．若∠ABC=45°，D是BC边上一点，BD-DC=1．求DC的长.
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23．已知，如图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC的面积．
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24．如图，梯子 靠在墙上，梯子的 ( http: / / www.21cnjy.com )底端 到墙根 的距离为 ，梯子的顶端 向外移动到 ，使梯子的底端 到墙根 的距离等于 ，同时梯子的顶端 下降至 ，求 的长（梯子 的长为 ） 21*cnjy*com
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25．如图所示，在△ABC中，AB:BC:C ( http: / / www.21cnjy.com )A=3:4:5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动；如果同时出发，则过3秒时，求△BPQ的面积。【来源：21cnj*y.co*m】
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第十八章 勾股定理
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