高中数学沪教版（2020）必修第二册第7章三角函数每周一练1（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学沪教版（2020）必修第二册第7章三角函数每周一练1（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 608.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-11 08:44:37 | ||
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文档简介
高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第7章 三角函数 每周一练
一、填空题
1．若函数的最小正周期为，则______.
2．函数的定义域为________.
3．已知函数是偶函数，则的最小值是________.
4．右图是函数（，）的一段图像，则该函数解析式为______.
5．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，若离开平衡位置的位移s（）与时间t（s）的函数关系是，则小球开始摆动时，离开平衡位置______，小球离开平衡位置的最大距离是______，小球来回摆动一次需要______s.
6．函数的值域为______.
7．设函数（）满足，当时，，则______.
8．下列各命题中假命题有______（填所有序号）
①函数在第一象限内是严格增函数；
②函数的最小正周期是；
③函数在上是奇函数；
④正切函数是严格增函数.
9．若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
10．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.
二、单选题
11．函数是一个（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
12．函数在区间上的图像为（ ）
A． B． C． D．
13．将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数解析式为，则函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，有下面四个结论，其中正确结论的个数有（ ）
①是奇函数；
②当时，恒成立；
③的最大值是；
④的最小值是。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题
15．函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.
16．已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的值域.
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）设在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值.
18．已知函数，，，，它们的最小正周期为.
（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；
（2）若的一个零点为，求的最大值.
19．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设，求面积的最大值及此时的值.
20．已知函数.
（1）求最小的正数m，使得函数的图像向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】
【分析】
将函数完全平方展开，然后化简成的结构，然后用正弦型函数周期公式即可求得.
【详解】
因为，且最小正周期为π，
所以.
故答案为：.
2．,
【解析】
解不等式即可得定义域.
【详解】
要使函数有意义,需,即.
结合正弦曲线可知,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】
本题考查含的函数定义域，是基础题.
3．
【解析】
【分析】
结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2kπ，k∈Z,即可得解．
【详解】
是偶函数，
则2kπ，k∈Z，
即，k∈Z，
当k＝0时，取得最小值，为，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键．
4．
【解析】
【分析】
根据图形求出周期，即可得出，再由可求出.
【详解】
由图可得，所以，则，
又，即，
，，则，即.
故答案为：.
5． 3 6 1
【解析】
【分析】
求出时值，求出振幅，求出周期即可得出.
【详解】
当时，，所以小球开始摆动时，离开平衡位置3cm，
由解析式可得振幅为6，即小球离开平衡位置的最大距离是6cm，
小球来回摆动一次需要.
故答案为：3；6；1.
6．
【解析】
【分析】
用二倍角公式将展开，统一成，然后将视为整体，将函数配方，最后通过二次函数的图像和性质求出值域.
【详解】
因为，且，所以时，；时，.
故答案为：[-7,1].
7．
【解析】
【分析】
根据题中条件（）把转化为，从而可求值.
【详解】
因为函数（）满足，且当时，，
所以
.
故答案为：.
8．①②③④
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质依次判断.
【详解】
①，如与都是第一象限角，且，而，故①为假命题；
②，函数的最小正周期是，故②为假命题；
③，区间不关于原点对称，故在上不是奇函数，故③为假命题；
④，正切函数是的增函数，故④为假命题.
故答案为：①②③④.
9．##
【解析】
【分析】
根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设知：，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
10．
【解析】
【分析】
首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b,c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】
根据函数的性质作出图像，如图所示：
由图像的对称性可知：，，所以，
所以，
因为，结合二次函数的图像，3代入有：，
6代入有：，所以.
故答案为：.
【点睛】
分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另外求cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的角度求出范围.
11．A
【解析】
【分析】
根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
因为，所以函数的最小正周期为；
因为，所以函数是奇函数，
所以函数是一个周期为的奇函数.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
分别讨论x在上的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.
【详解】
因为，所以
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
化简变换后的函数解析式，结合函数图像变换，逆推求出函数的解析式即可.
【详解】
易知，
把函数的图像向下平移1个单位后得到的函数解析式为，
再向左平移个单位后得到的函数解析式为.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
对①，根据奇偶性的定义可判断；对②，计算可判断；对③④，化简得出，根据和的范围可判断.
【详解】
对①，，是偶函数，故①错误；
对②，当时，如，故②错误；
对③，，
，，，
，即，故③错误；
对④，因为在处同时取得最大值，在处取得最小值为，故④正确.
故选：B.
15．
【解析】
【分析】
由题意，根据是半周期内的两个相邻的零点，求得，进而求得和，即可得到函数的解析式；
【详解】
（1）当是半周期内的两个相邻的零点，
则
所以函数
（2）当是一周期内的两个不相邻的零点，
则
所以函数
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过三角函数的定义求得的值，代入即可；
（2）通过降幂公式和辅助角公式对函数进行化简，然后求出括号内整体的范围，最后结合正弦函数图像求出值域.
【详解】
（1）因为角的终边与单位圆交于点，
所以，，
；
（2），
因为，所以，所以，
的值域是
17．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）先化简求出即可得出周期；
（2）题目等价于与的图象有两个交点，根据正弦函数的性质可得出.
【详解】
（1），
所以的最小正周期，
（2）当时，，则，
所以，
区间上有两个解，等价于与的图象有两个交点，即，与的图象有两个交点，
则，即，
由可得，则、在关于对称，则.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据周期求，根据是奇函数求，然后再分别求函数和在上减区间，两个减区间求交集即为公共减区间.
（2）把零点代入函数的解析式求，然后对函数进行化简，从而求最大值.
【详解】
（1）由，得，
又因为是奇函数且，所以，
所以，，
在上，函数的单调递减区间是，
函数的单调递减区间是，
所以.
（2），
把点代入得，即，
因为，所以，
所以
，
所以当，即时，取最大值，
即.
19．（1）；（2）时，取得最大值为
【解析】
【分析】
（1）在中，，，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在中，利用正弦定理，得到，，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.
【详解】
（1）在中，，，
由，
得，解得；
（2）∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，又，，
记的面积为，则，
∴时，取得最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先化简求得，求出平移后的解析式，根据三角函数的性质可求；
（2）求得在的范围，令，不等式转化为在恒成立，求出最值即可.
【详解】
（1）
，
将向右平移m个单位后可得为偶函数，
所以，则，
因为，所以最小正数的值为；
（2）令，则由得，则，
所以，
令，可得在单调递减，在单调递增，
则，又，所以，
则不等式恒成立等价于在恒成立，
即在恒成立，
则，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、填空题
1．若函数的最小正周期为，则______.
2．函数的定义域为________.
3．已知函数是偶函数，则的最小值是________.
4．右图是函数（，）的一段图像，则该函数解析式为______.
5．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，若离开平衡位置的位移s（）与时间t（s）的函数关系是，则小球开始摆动时，离开平衡位置______，小球离开平衡位置的最大距离是______，小球来回摆动一次需要______s.
6．函数的值域为______.
7．设函数（）满足，当时，，则______.
8．下列各命题中假命题有______（填所有序号）
①函数在第一象限内是严格增函数；
②函数的最小正周期是；
③函数在上是奇函数；
④正切函数是严格增函数.
9．若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
10．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.
二、单选题
11．函数是一个（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
12．函数在区间上的图像为（ ）
A． B． C． D．
13．将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数解析式为，则函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，有下面四个结论，其中正确结论的个数有（ ）
①是奇函数；
②当时，恒成立；
③的最大值是；
④的最小值是。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题
15．函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.
16．已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的值域.
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）设在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值.
18．已知函数，，，，它们的最小正周期为.
（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；
（2）若的一个零点为，求的最大值.
19．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设，求面积的最大值及此时的值.
20．已知函数.
（1）求最小的正数m，使得函数的图像向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】
【分析】
将函数完全平方展开，然后化简成的结构，然后用正弦型函数周期公式即可求得.
【详解】
因为，且最小正周期为π，
所以.
故答案为：.
2．,
【解析】
解不等式即可得定义域.
【详解】
要使函数有意义,需,即.
结合正弦曲线可知,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】
本题考查含的函数定义域，是基础题.
3．
【解析】
【分析】
结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2kπ，k∈Z,即可得解．
【详解】
是偶函数，
则2kπ，k∈Z，
即，k∈Z，
当k＝0时，取得最小值，为，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键．
4．
【解析】
【分析】
根据图形求出周期，即可得出，再由可求出.
【详解】
由图可得，所以，则，
又，即，
，，则，即.
故答案为：.
5． 3 6 1
【解析】
【分析】
求出时值，求出振幅，求出周期即可得出.
【详解】
当时，，所以小球开始摆动时，离开平衡位置3cm，
由解析式可得振幅为6，即小球离开平衡位置的最大距离是6cm，
小球来回摆动一次需要.
故答案为：3；6；1.
6．
【解析】
【分析】
用二倍角公式将展开，统一成，然后将视为整体，将函数配方，最后通过二次函数的图像和性质求出值域.
【详解】
因为，且，所以时，；时，.
故答案为：[-7,1].
7．
【解析】
【分析】
根据题中条件（）把转化为，从而可求值.
【详解】
因为函数（）满足，且当时，，
所以
.
故答案为：.
8．①②③④
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质依次判断.
【详解】
①，如与都是第一象限角，且，而，故①为假命题；
②，函数的最小正周期是，故②为假命题；
③，区间不关于原点对称，故在上不是奇函数，故③为假命题；
④，正切函数是的增函数，故④为假命题.
故答案为：①②③④.
9．##
【解析】
【分析】
根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设知：，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
10．
【解析】
【分析】
首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b,c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】
根据函数的性质作出图像，如图所示：
由图像的对称性可知：，，所以，
所以，
因为，结合二次函数的图像，3代入有：，
6代入有：，所以.
故答案为：.
【点睛】
分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另外求cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的角度求出范围.
11．A
【解析】
【分析】
根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
因为，所以函数的最小正周期为；
因为，所以函数是奇函数，
所以函数是一个周期为的奇函数.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
分别讨论x在上的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.
【详解】
因为，所以
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
化简变换后的函数解析式，结合函数图像变换，逆推求出函数的解析式即可.
【详解】
易知，
把函数的图像向下平移1个单位后得到的函数解析式为，
再向左平移个单位后得到的函数解析式为.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
对①，根据奇偶性的定义可判断；对②，计算可判断；对③④，化简得出，根据和的范围可判断.
【详解】
对①，，是偶函数，故①错误；
对②，当时，如，故②错误；
对③，，
，，，
，即，故③错误；
对④，因为在处同时取得最大值，在处取得最小值为，故④正确.
故选：B.
15．
【解析】
【分析】
由题意，根据是半周期内的两个相邻的零点，求得，进而求得和，即可得到函数的解析式；
【详解】
（1）当是半周期内的两个相邻的零点，
则
所以函数
（2）当是一周期内的两个不相邻的零点，
则
所以函数
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过三角函数的定义求得的值，代入即可；
（2）通过降幂公式和辅助角公式对函数进行化简，然后求出括号内整体的范围，最后结合正弦函数图像求出值域.
【详解】
（1）因为角的终边与单位圆交于点，
所以，，
；
（2），
因为，所以，所以，
的值域是
17．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）先化简求出即可得出周期；
（2）题目等价于与的图象有两个交点，根据正弦函数的性质可得出.
【详解】
（1），
所以的最小正周期，
（2）当时，，则，
所以，
区间上有两个解，等价于与的图象有两个交点，即，与的图象有两个交点，
则，即，
由可得，则、在关于对称，则.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据周期求，根据是奇函数求，然后再分别求函数和在上减区间，两个减区间求交集即为公共减区间.
（2）把零点代入函数的解析式求，然后对函数进行化简，从而求最大值.
【详解】
（1）由，得，
又因为是奇函数且，所以，
所以，，
在上，函数的单调递减区间是，
函数的单调递减区间是，
所以.
（2），
把点代入得，即，
因为，所以，
所以
，
所以当，即时，取最大值，
即.
19．（1）；（2）时，取得最大值为
【解析】
【分析】
（1）在中，，，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在中，利用正弦定理，得到，，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.
【详解】
（1）在中，，，
由，
得，解得；
（2）∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，又，，
记的面积为，则，
∴时，取得最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先化简求得，求出平移后的解析式，根据三角函数的性质可求；
（2）求得在的范围，令，不等式转化为在恒成立，求出最值即可.
【详解】
（1）
，
将向右平移m个单位后可得为偶函数，
所以，则，
因为，所以最小正数的值为；
（2）令，则由得，则，
所以，
令，可得在单调递减，在单调递增，
则，又，所以，
则不等式恒成立等价于在恒成立，
即在恒成立，
则，即.
答案第1页，共2页
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