高中数学沪教版（2020）必修第二册第7章三角函数每周一练2（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学沪教版（2020）必修第二册第7章三角函数每周一练2（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 751.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-11 08:45:52 | ||
图片预览
文档简介
高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第7章 三角函数 每周一练
一、填空题
1．函数的最小正周期为______.
2．函数的定义域为________.
3．若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
4．已知函数的部分图象如图所示，则在上的最大值为______.
5．函数的振幅为____________，频率为____________，初相为_________.
6．已知函数，若时，，则的最大值是___________.
7．已知，则___________.
8．函数的单调递增区间为______
9．已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.
10．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.
二、单选题
11．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
13．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数在有且仅有个极小值点
D．把函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像
14．已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
15．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
16．如图，在中，为直角，于点E，，已知.
(1)若，，试求各边的长度，由此推出75°的三角函数值；
(2)设，（，，均为锐角），试由图推出求的公式.
17．如图，PQMN是半圆的内接矩形，是等腰三角形（P与R在直线OA的两侧），半圆的半径，，，记．
(1)当角取何值时，矩形PQMN的面积最大？
(2)当角取何值时，五边形PQMRN的面积S最大？并求出这个最大值．
18．在①，②， ③，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B
(2)若，求的取值范围.
19．已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
20．已知函数函数，若存在及，使得成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．.
【解析】
【分析】
直接利用三角函数周期公式计算得到答案.
【详解】
函数的最小正周期为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数周期，属于简单题.
2．,
【解析】
解不等式即可得定义域.
【详解】
要使函数有意义,需,即,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】
本题考查函数的定义域问题，是基础题.
3．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
在三角函数中偶函数的基本形式为，依据题意，简单判断即可.
【详解】
依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
4．
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数解析式，再根据所在区间求出最大值.
【详解】
，解得，由，所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
5．
【解析】
【分析】
先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论.
【详解】
函数的周期，
函数的振幅为，频率为，初相为.
故答案为：；；.
【点睛】
本题考查三角函数中参数的物理意义，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据函数，分，和三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，，
因为，可得，所以，
所以；
当时，，
因为，可得，
所以，所以；
当时，，
由知，，
因为，所以，所以，
所以，
综上可得，的最大值是.
故答案为：
7．
【解析】
【分析】
将要求的的角度，通过使用诱导公式和二倍角公式即可与已知条件进行靠拢，即，从而完成求解.
【详解】
.
故答案为：.
8．，
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可整理出，令，，解出的范围即为所求区间.
【详解】
令，，解得：，
的单调递增区间为：，
本题正确结果：，
【点睛】
本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.
9．
【解析】
【分析】
利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.
【详解】
解：因为，
所以，则.
因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
10．
【解析】
【分析】
首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b,c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】
根据函数的性质作出图像，如图所示：
由图像的对称性可知：，，所以，
所以，
因为，结合二次函数的图像，3代入有：，
6代入有：，所以.
故答案为：.
【点睛】
分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另外求cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的角度求出范围.
11．D
【解析】
分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间上的单调性，从而可得出正确选项.
【详解】
对于A选项，设，定义域为，该函数为非奇非偶函数，故A不正确；
对于B选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间上为增函数，故B不正确；
对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，该函数为奇函数，但函数在区间上为减函数，故C不正确；
对于D选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数，
又在区间上为增函数，则该函数在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．
【详解】
的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．
故选：D．
13．C
【解析】
【分析】
A选项，求出的解析式，得到函数奇偶性；B选项，代入检验是否是递增区间；C选项，数形结合求解极小值点的个数；D选项，利用伸缩变换得到变换后的解析式，判断D选项.
【详解】
，为奇函数，A选项错误；
，，故单调递减，B错误；
，，结合函数图象可知：有2个极小值点，C正确；
函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到，D错误.
故选：C
14．A
【解析】
【分析】
首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点.
【详解】
因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
15．(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据图像可得函数的周期，从而求得，再根据可求得，从而可得函数解析式，再根据余弦函数的单调性借口整体思想即可求出函数的单调增区间；
（2）根据平移变换和周期变换可得，在上有两个解，即为与的图象在上有两个不同的交点，令，则作出函数在上的简图，结合图像即可得出答案.
(1)
解：由题图得，，
，
，
，，
，，
又，，，
令，，
解得，，
函数的单调递减区间为，；
(2)
解：将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若在上有两个解，则与的图象在上有两个不同的交点，
令，则作出函数在上的简图，
结合图像可得或，
所以a的取值范围为或.
16．(1)见解析;
(2)
【解析】
【分析】
（1）由向作垂线垂足为，分别求得，和，进而求得和，最后求得答案．
（2）根据题意分别求得，，，，进而求得，最后求得答案．
(1)
解：由向作垂线垂足为，则，，
，，
根据题意，，
，
，
，
，，
(2)
证明：由向作垂线垂足为，则，，，
则，，，
，
，
，
．
17．(1)；
(2)当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件用角正弦、余弦表示出矩形PQMN的面积，再利用三角函数性质计算作答.
(2)利用(1)中信息，把S表示成角的函数，再借助函数性质计算作答.
(1)
在中，，，，则，
于是得矩形PQMN的面积，显然当时，，
所以当时，矩形PQMN的面积最大．
(2)
由(1)知，矩形PQMN的面积，又，，，
则，
五边形PQMRN的面积
，
因，即，则当时，即时，，
所以当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选择①，根据同角三角函数关系，结合正弦定理，可得，根据余弦定理及角B的范围，可求得角B；
若选条件②，正弦定理边化角，结合两角和的余弦公式、正弦公式，化简整理，可得，结合角B的范围，可求得角B；
若选条件③，根据余弦定理结合角B的范围，可得角B.
（2）根据正弦定理，代入所求，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，化简可得，根据角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案.
(1)
若选条件①，则有，
根据正弦定理得，
所以，
因为，所以.
若选条件②，根据正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以.
若选条件③，则有，
所以， 则，
因为，所以.
(2)
由正弦定理知，
所以
，
因为，所以，
所以， 则，
所以的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可证得结论成立；
（2）设，则，利用可得出，利用余弦定理可得出，可得出，可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.
(1)
证明：由题意可得，
因为为的角平分线，则，
在中，，则，
同理可得，因此，故.
(2)
解：设，则，
因为，即，
因为，则，则，，
即，可得，
由（1）可得，则，
在中，，
整理可得，所以，，
因此，.
20．
【解析】
【分析】
分别求两函数值域与，由题意可知，列不等式可得解.
【详解】
由题意，
当时，，
当时，，，恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在上的值域为，
的值域为，
并且．
若，即或，
解得或，
所以，若，的取值范围是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、填空题
1．函数的最小正周期为______.
2．函数的定义域为________.
3．若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
4．已知函数的部分图象如图所示，则在上的最大值为______.
5．函数的振幅为____________，频率为____________，初相为_________.
6．已知函数，若时，，则的最大值是___________.
7．已知，则___________.
8．函数的单调递增区间为______
9．已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.
10．已知函数若存在实数a、b、c、d满足（其中），则的取值范围是______.
二、单选题
11．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
13．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数在有且仅有个极小值点
D．把函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像
14．已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
15．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
16．如图，在中，为直角，于点E，，已知.
(1)若，，试求各边的长度，由此推出75°的三角函数值；
(2)设，（，，均为锐角），试由图推出求的公式.
17．如图，PQMN是半圆的内接矩形，是等腰三角形（P与R在直线OA的两侧），半圆的半径，，，记．
(1)当角取何值时，矩形PQMN的面积最大？
(2)当角取何值时，五边形PQMRN的面积S最大？并求出这个最大值．
18．在①，②， ③，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B
(2)若，求的取值范围.
19．已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
20．已知函数函数，若存在及，使得成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．.
【解析】
【分析】
直接利用三角函数周期公式计算得到答案.
【详解】
函数的最小正周期为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数周期，属于简单题.
2．,
【解析】
解不等式即可得定义域.
【详解】
要使函数有意义,需,即,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】
本题考查函数的定义域问题，是基础题.
3．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
在三角函数中偶函数的基本形式为，依据题意，简单判断即可.
【详解】
依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
4．
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数解析式，再根据所在区间求出最大值.
【详解】
，解得，由，所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
5．
【解析】
【分析】
先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论.
【详解】
函数的周期，
函数的振幅为，频率为，初相为.
故答案为：；；.
【点睛】
本题考查三角函数中参数的物理意义，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据函数，分，和三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，，
因为，可得，所以，
所以；
当时，，
因为，可得，
所以，所以；
当时，，
由知，，
因为，所以，所以，
所以，
综上可得，的最大值是.
故答案为：
7．
【解析】
【分析】
将要求的的角度，通过使用诱导公式和二倍角公式即可与已知条件进行靠拢，即，从而完成求解.
【详解】
.
故答案为：.
8．，
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可整理出，令，，解出的范围即为所求区间.
【详解】
令，，解得：，
的单调递增区间为：，
本题正确结果：，
【点睛】
本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.
9．
【解析】
【分析】
利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.
【详解】
解：因为，
所以，则.
因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
10．
【解析】
【分析】
首先作出函数的图像，然后利用对称性得到a+b,c+d的值，再通过图像求出c的取值范围，然后消去d，利用二次函数的图像和性质求出范围.
【详解】
根据函数的性质作出图像，如图所示：
由图像的对称性可知：，，所以，
所以，
因为，结合二次函数的图像，3代入有：，
6代入有：，所以.
故答案为：.
【点睛】
分段函数求值域或者范围的问题一般采用图像法，这里要求对初等函数的图像和性质必须要熟练掌握；另外求cd的范围很容易想到用基本不等式，但切忌一定要注意变量的范围，所以这里我们通过消元，最后通过函数的角度求出范围.
11．D
【解析】
分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间上的单调性，从而可得出正确选项.
【详解】
对于A选项，设，定义域为，该函数为非奇非偶函数，故A不正确；
对于B选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间上为增函数，故B不正确；
对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，该函数为奇函数，但函数在区间上为减函数，故C不正确；
对于D选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数，
又在区间上为增函数，则该函数在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．
【详解】
的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．
故选：D．
13．C
【解析】
【分析】
A选项，求出的解析式，得到函数奇偶性；B选项，代入检验是否是递增区间；C选项，数形结合求解极小值点的个数；D选项，利用伸缩变换得到变换后的解析式，判断D选项.
【详解】
，为奇函数，A选项错误；
，，故单调递减，B错误；
，，结合函数图象可知：有2个极小值点，C正确；
函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到，D错误.
故选：C
14．A
【解析】
【分析】
首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点.
【详解】
因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
15．(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据图像可得函数的周期，从而求得，再根据可求得，从而可得函数解析式，再根据余弦函数的单调性借口整体思想即可求出函数的单调增区间；
（2）根据平移变换和周期变换可得，在上有两个解，即为与的图象在上有两个不同的交点，令，则作出函数在上的简图，结合图像即可得出答案.
(1)
解：由题图得，，
，
，
，，
，，
又，，，
令，，
解得，，
函数的单调递减区间为，；
(2)
解：将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若在上有两个解，则与的图象在上有两个不同的交点，
令，则作出函数在上的简图，
结合图像可得或，
所以a的取值范围为或.
16．(1)见解析;
(2)
【解析】
【分析】
（1）由向作垂线垂足为，分别求得，和，进而求得和，最后求得答案．
（2）根据题意分别求得，，，，进而求得，最后求得答案．
(1)
解：由向作垂线垂足为，则，，
，，
根据题意，，
，
，
，
，，
(2)
证明：由向作垂线垂足为，则，，，
则，，，
，
，
，
．
17．(1)；
(2)当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件用角正弦、余弦表示出矩形PQMN的面积，再利用三角函数性质计算作答.
(2)利用(1)中信息，把S表示成角的函数，再借助函数性质计算作答.
(1)
在中，，，，则，
于是得矩形PQMN的面积，显然当时，，
所以当时，矩形PQMN的面积最大．
(2)
由(1)知，矩形PQMN的面积，又，，，
则，
五边形PQMRN的面积
，
因，即，则当时，即时，，
所以当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选择①，根据同角三角函数关系，结合正弦定理，可得，根据余弦定理及角B的范围，可求得角B；
若选条件②，正弦定理边化角，结合两角和的余弦公式、正弦公式，化简整理，可得，结合角B的范围，可求得角B；
若选条件③，根据余弦定理结合角B的范围，可得角B.
（2）根据正弦定理，代入所求，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，化简可得，根据角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案.
(1)
若选条件①，则有，
根据正弦定理得，
所以，
因为，所以.
若选条件②，根据正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以.
若选条件③，则有，
所以， 则，
因为，所以.
(2)
由正弦定理知，
所以
，
因为，所以，
所以， 则，
所以的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可证得结论成立；
（2）设，则，利用可得出，利用余弦定理可得出，可得出，可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.
(1)
证明：由题意可得，
因为为的角平分线，则，
在中，，则，
同理可得，因此，故.
(2)
解：设，则，
因为，即，
因为，则，则，，
即，可得，
由（1）可得，则，
在中，，
整理可得，所以，，
因此，.
20．
【解析】
【分析】
分别求两函数值域与，由题意可知，列不等式可得解.
【详解】
由题意，
当时，，
当时，，，恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在上的值域为，
的值域为，
并且．
若，即或，
解得或，
所以，若，的取值范围是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页