高中数学沪教版（2020）必修第二册第8章平面向量每周一练1（Word含解析）

高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第8章平面向量 每周一练
一、填空题
1．若，，且，则实数________.
2．已知，，且，那么________.
3．若，，，则__________.
4．平行四边形的三个顶点坐标是，，，则对角线的模为________.
5．为单位向量，，若且，则________.
6．已知，，且，则的取值范围是________.
7．等腰直角三角形ABC中，，，则_______
8．若是△ABC的边上的点，且，，，则___________.（用、表示）
9．若平面向量，，若，则__________.
10．在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为________
二、单选题
11．给定两个向量，，若，则的值是（ ）
A．23 B． C． D．
12．若，则、应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个是零向量或、是平行向量
D．是零向量或、是反向向量且满足
13．已知，，为一个非零向量，且使成立的实数对记为，则对于，下列说法中正确的是（ ）
A．一定不存在 B．存在且唯一
C．有时存在，有时不存在 D．存在但并不唯一
14．若是三个任意向量，则下列运算错误的是
A． B．
C． D．
三、解答题
15．已知，，求，，，．
16．已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
17．已知向量，向量.
（1）试用表示；
（2）问当、夹角为多少时，取得最大值？并求出这个最大值.
18．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设，，，在所在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．已知非零向量、，且与垂直，与垂直，求和的夹角．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】
【分析】
根据共线向量的坐标表示列式可解得.
【详解】
因为，,且,
所以有,
化简得,所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了共线向量的坐标表示,属于基础题.
2．0或
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则求得,根据,利用向量的数量积计算可得.
【详解】
因为，,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
因为,,
所以,
所以或.
故答案为:或.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积,向量加法三角形法则,
3．
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则可得.
【详解】
因为，，,
所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了向量加法的三角形法则,属于基础题.
4．12
【解析】
【分析】
根据列式可解得的坐标,,再根据模长公式计算可得.
【详解】
设顶点,因为四边形为平行四边形,
所以,所以,
,得,所以,
所以,
所以,
故答案为:12.
【点睛】
本题考查了向量相等,向量的模长公式,属于基础题..
5．
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积与模长公式，计算即可．
【详解】
解：由题意知，，，
若，则；
又，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积与模长的计算问题，属于基础题．
6．
【解析】
【分析】
根据向量数量积的坐标运算可得是关于的二次函数,根据二次函数的对称轴与区间的关系可求得最大最小值,从而可得所求的取值范围
【详解】
因为，,
所以
,
因为对称轴,
所以时,取得最小值5,
因为且二次函数的图象的开口向上,
所以时,取得最大值14,
则的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的最值的求法,属于中档题.
7．
【解析】
【分析】
由题意可求出的角与边，利用平面向量的数量积进行计算。
【详解】
是等腰直角三角形，，，
，，
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，关键弄清两向量的夹角，属于基础题。
8．
【解析】
【分析】
将已知条件转化为向量关系得到，然后利用向量的减法法则转化为的表达式，进而求解即得.
【详解】
因为是△ABC的边上的点，且，
故,∴,
∴,
故答案为：.
9．
【解析】
【分析】
由，两边平方，整理可得，进而利用数量积的坐标表示，求得m的值，然后利用模的坐标公式计算.
【详解】
∵，∴，即，
又∵，，
∴,
解得,∴,
∴，
故答案为：.
10．2
【解析】
【详解】
试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
∵M、O、N三点共线，
考点：平行向量与共线向量．
11．C
【解析】
【分析】
先求出的坐标,然后利用向量垂直等价于数量积为零，利用数量积的坐标运算得到关于x的方程，求解即得.
【详解】
,
，
又，
即，
整理得,解得，
故选:C.
12．D
【解析】
【分析】
分和两种情况分析判断即可
【详解】
由，得，
当时，满足等式，
当时，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以方向相反，
综上，应满足是零向量或、是反向向量且满足，
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
根据,不共线以及平面向量基本定理可得.
【详解】
因为,,且,
所以,不共线,
所以根据平面向量基本定理可知,对平面内任一非零向量,都存在唯一实数对使得成立,
故选.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理以及向量共线的坐标表示,属于基础题.
14．A
【解析】
【分析】
由向量的数量积不满足结合律，易知是错误的.
【详解】
表示与共线的向量，表示与共线的向量，
当与不共线时，式子显然不成立的，故选A.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算律，特别要注意从共线向量的角度分析数量积运算不满足结合律.
15．，，，.
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
由题意可知：，
，，
又因为，且，所以.
16．.
【解析】
【分析】
设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】
解：设，则，
因为与垂直，与平行，
所以，解得，
所以点的坐标为.
17．（1）（2）夹角为时，取得最大值
【解析】
【分析】
(1)根据平面向量数量积的坐标表示可得;
(2)利用配方法可得时,可得取得最大值-3,再根据向量的夹角公式可求得、夹角.
【详解】
（1）因为向量，向量,
所以,
（2）由(1)知，
所以当时,取得最大值,
此时，，
设与夹角为，
则,
所以,
所以当、夹角为时, 取得最大值,最大值为.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算,二次函数的最大值,平面向量的夹角公式,属于中档题.
18．
【解析】
设出等腰直角三角形的直角边长，以直角顶点为坐标原点，两直角边所在的直线分别为轴建立直角坐标系，得出两直角边中线坐标，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】
如图所示等腰直角三角形，设，
分别为边中点，以直角顶点为坐标原点，
所在的直线分别为轴建立直角坐标系，
则，
，
设夹角为，
则，
所以中线所成的钝角余弦值为.
【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用，通过建立直角坐标系，将几何问题代数化，利用向量夹角公式解决了几何中求角的问题.
19．存在或满足题意
【解析】
【分析】
假设存在点，且,求出的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出,最后求出点坐标.
【详解】
设存在点，且
，,因为,所以,
有或
或存在或满足题意.
【点睛】
本题考查了平面向量花线定理,考查了已知两平面向量互相垂直求参数问题.
20．.
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出，整理得出，然后设和的夹角为，根据即可得出结果.
【详解】
因为与垂直，与垂直，
所以，即，整理得，
设和的夹角为，则，，
故和的夹角为.
答案第1页，共2页
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