高中数学沪教版（2020）必修第二册第8章平面向量每周一练2（Word含解析）

高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第8章平面向量
每周一练
一、填空题
1．设，是不共线的两个向量，已知，，若A，B，D三点共线，则k的值为_________.
2．设向量，，若，则_________.
3．已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________．
4．已知线段的端点为、，为坐标原点，直线上的点满足，则__________．
5．已知向量在向量方向上的投影为，且，则的取值范围为________（结果用数值表示）
6．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________.
7．在菱形中，P是上一点，，则______.
8．已知平行四边形，则“”是“四边形为矩形”的___________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）
9．已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
10．设两个非零向量 与不共线，若 与的起点相同，且，，的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．
二、单选题
11．向量满足，则（ ）
A．(－3，4) B．(3，4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
12．若非零向量满足，则( )
A． B．
C． D．
13．在下列两个命题中，真命题是（ ）
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
14．已知向量a，b满足||＝1，||＝2，与的夹角的余弦值为sin，则等于（ ）
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
三、解答题
15．已知，，求．
16．已知，.
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
17．已知，，且和的夹角大小为45°.当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围.
18．已知＝(1，2)，＝(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：
（1）与的夹角为直角；
（2）与的夹角为钝角；
（3）与的夹角为锐角．
19．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围．
20．已知，，，求与的夹角．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．-8
【解析】
【分析】
由题得,即解方程组即得解.
【详解】
由题得,
.
故答案为：
2．
【解析】
【分析】
先求出的坐标，再由向量垂直的坐标公式求解即可
【详解】
因为，，
所以，
由得：，
解得：
故答案为：
3．
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式即可求直接求出答案.
【详解】
因为，B(5，6)，所以线段AB的中点坐标为.
故答案为：.
4．
【解析】
【分析】
利用平面向量的坐标运算可求得、的值，利用平面向量模的坐标运算可求得结果.
【详解】
，则，所以，，解得，
所以，，因此，.
故答案为：.
5．
【解析】
【分析】
根据向量的投影公式可得，结合向量的数量积公式和的取值范围即可求出的范围.
【详解】
由题意知，设向量的夹角为，
由，
得，
又，
又且，
，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：
6．
【解析】
【分析】
因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数，由此可列出不等式组求解.
【详解】
因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得
故答案为：
7．2
【解析】
【分析】
结合平面向量的线性运算得到，再利用平面向量数量积的概念以及运算律，结合菱形的性质即可求出结果.
【详解】
设，则，
所以
因为四边形为菱形，所以，则
,
故答案为：2.
8．充要
【解析】
【分析】
如图，，根据矩形的概念可得四边形ABCD为矩形，根据充要条件的定义即可得出结果.
【详解】
如图，在平行四边形ABCD中，
，
所以，又互为对角线，
即对角线相等的平行四边形为矩形，
而矩形的对角线相等.
所以是四边形ABCD为矩形的充要条件.
故答案为：充要
9．1
【解析】
【分析】
设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.
【详解】
设，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
10．.
【解析】
【分析】
，，的终点在同一条直线上， 与的起点相同，即与共线，利用向量共线定理即可算出.
【详解】
∵，，三个向量的终点在同一条直线上，且 与的起点相同，
∴与共线，即与共线，
∴存在实数λ，使，
∴ ,
解得λ＝ ，t＝，
故答案为：.
【点晴】
此题考平面向量共线的性质，属于简单题.
11．A
【解析】
【分析】
根据向量加法的坐标运算直接把向量与相减即可求得是坐标.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
根据向量加法的性质即可判断：.
【详解】
因为，
∴.
若与共线，由则中有一个必为零向量，
与不共线，即，
.
同理知无法判断之间的大小关系.
故选：C.
13．A
【解析】
【分析】
利用空间向量基底的定义及平面向量基本定理即可判断.
【详解】
解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；
根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式以及数量积的运算律，进行求解即可.
【详解】
∵与的夹角的余弦值为，
∴.
故选：D
15．-63
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法，减法和数量积运算求解.
【详解】
因为，，
所以，
所以.
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)先进行平面向量线性运算的坐标表示，再借助向量共线的坐标表示即可得解；
(2)由已知可得与不共线，利用共线向量定理列式计算即得.
【详解】
(1)因，，则，，
因与共线，则有，解得，
所以当时，与共线；
(2)因A，B，C三点共线，则有，λ∈R，即，而与不共线，
于是得，解得，
所以m的值是.
17．
【解析】
【分析】
两个向量夹角是锐角的等价条件是两个向量的数量积大于零，即夹角余弦值为正，且两个向量不能同向共线，从而求得的取值范围.
【详解】
设向量与夹角为，而.
由题意得.
为使为锐角，则，得，解得或.
而当时，与共线且方向相同，存在，
使，则解得，故排除，即.
综上可知，.
18．（1）＝－；（2）；（3）∪(2，＋∞)．
【解析】
【分析】
（1）转化为，利用向量数量积的坐标表示，求解即可；
（2）转化为且与不反向，求解即可
（3）转化为>0且与不同向，求解即可
【详解】
设与的夹角为，则＝(1，2)·(1，)＝1＋2．
（1）因为与的夹角为直角，所以，
所以，所以1＋2＝0，所以＝－．
（2）因为与的夹角为钝角，所以且，所以且与不反向．
由得1＋2<0，故<－，由与共线得＝2，故与不可能反向．
所以的取值范围为．
（3）因为与的夹角为锐角，所以，且，所以>0且与不同向．
由>0，得>－，由与同向得＝2．所以的取值范围为∪(2，＋∞)．
19．
【解析】
【分析】
由与的夹角为锐角可得且向量不能共线根据向量的数量积及向量平行的坐标表示得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为与的夹角为锐角，
所以且向量不能共线
所以且
解得且
所以
20．
【解析】
【分析】
利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页