高中数学沪教版（2020）必修第二册第9章复数单元测试1（Word含解析）

高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第9章复数
单元测试
一、填空题
1．若复数同时满足，，则__________．
2．若，则______.
3．计算的值为______.
4．若，在复平面上对应的点关于实轴对称，则______.
5．已知z为复数，若，则z的一个值可以为______（只要写出一个即可）.
6．若复数满足，则______.
7．复数的实部与虚部的差为，当取得最小值时，复数的实部为______.
8．若为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若，则
④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是________________
9．若，则的辐角主值为______.
10．已知，对任意均有成立，则实数a的取值范围为______.
二、单选题
11．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（ ）
A．2 B．2或－4 C．4 D．－2或4
12．设a、，命题甲：复数是纯虚数；命题乙：，甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
13．设z是复数，以下命题中错误的是（ ）
A．“z为实数”的充要条件是“”
B．“z为实数”的充要条件是“”
C．“z为纯虚数”的充要条件是“”
D．“z为纯虚数”的充要条件是“”
14．若且，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
三、解答题
15．在复数范围内解方程（为虚数单位）．
16．已知z是虚数，求证：“”的充要条件是“为纯虚数”.
17．已知复数满足，，求一个以为根的实系数一元二次方程.
18．设为复数的共轭复数，满足．
若为纯虚数，求；
若为实数，求．
19．已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.
20．已知，是实系数一元二次方程的两个根.
（1）设，满足方程，求，；
（2）设，是虚数，是否存在实数t，使总不成立，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【解析】
【分析】
消去后，根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案.
【详解】
因为，，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了复数的乘法、除法运算法则，属于基础题.
2．
【解析】
【分析】
根据复数的运算来求值.
【详解】
因为，
所以
.
故答案为：.
3．
【解析】
【分析】
先化简出，再借助乘法的性质计算即可．
【详解】
由题，．
所以，原式．
故答案为：．
4．
【解析】
【分析】
根据题意可得两个复数的实部相等，虚部相反，从而可求的值.
【详解】
复数对应的点为，对应的点为，
因为，在复平面上对应的点关于实轴对称，
所以，所以，，
所以.
故答案为：.
5．，，，（只要写出一个即可）
【解析】
【分析】
根据虚数单位的平方等于，即可得到答案.
【详解】
若z为实数，则；
若z为虚数，则z可以为，.
故答案为：，，，（只要写出一个即可）.
6．
【解析】
【分析】
先将z代入等式化简，根据复数相等求出a，最后算出模的值.
【详解】
由题意，，所以，
所以，则.
故答案为：.
7．
【解析】
【分析】
由题意，，根据二次函数知识有时，取得最小值，此时，从而利用复数除法的运算法则即可求解.
【详解】
解：由题意，，
所以当时，取得最小值，此时，
所以复数，
所以复数的实部为.
故答案为：.
8．②④
【解析】
【详解】
对于①：解方程得 a i，所以非零复数 a i 使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④
9．
【解析】
【分析】
直接利用复数三角形式进行化简，求出的辐角主值．
【详解】
，辐角．
得的辐角主值.
故答案为：.
10．
【解析】
【分析】
把模的大小关系转化为不等式恒成立问题即可求解.
【详解】
，
，
对恒成立．
当，即时，不等式成立；
当时，
综上，．
故答案为：
11．A
【解析】
【分析】
根据虚数不能比较大小与z<6可知为实数,故虚部为0,进而求得的值,再根据z<6
【详解】
因为z<6,故为实数,故,即,解得或.
当时成立；当时, 不满足.故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的性质以及根据参数的类型求解参数的问题,属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
由命题甲：复数是纯虚数得且，进而根据充分必要条件判断即可.
【详解】
解：由命题甲：复数是纯虚数得且，
所以当复数是纯虚数时可以得到，反之不一定；
故甲是乙的充分非必要条件.
故选：A
13．C
【解析】
【分析】
A.如果，所以，所以该选项正确；
B.如果所以所以该选项正确；
C.如果，所以，所以该选项不正确；
D.如果所以，所以该选项正确.
【详解】
A.设i, 如果，则ii)=0,所以，
所以是实数.所以 “z为实数”的充要条件是“”，所以该选项正确；
B. 设i,如果所以i,所以，
所以所以,所以“z为实数”的充要条件是“”，所以该选项正确；
C. 设i, 如果，则ii)=0,所以，
所以复数有可能是实数，也有可能是纯虚数，所以“z为纯虚数”的充要条件不是“”，
所以该选项不正确；
D. 设i,如果所以i,所以，
所以，所以是纯虚数，所以“z为纯虚数”的充要条件是“”，所以该选项正确.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
先化简，结合可得选项.
【详解】
因为，所以，
由，所以，所以；
故选：B.
15．z=-±i
【解析】
【详解】
试题分析：设，代入，利用复数的四则运算，再由复数相等的条件列式，即可求得的值．
试题解析：
原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
点睛：本题考查共轭复数及复数的模的概念和复数相等的概念，以及复数的四则运算能力，对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为等知识点．
16．证明见解析.
【解析】
【分析】
根据题意，由复数的运算法则及模长公式，先证充分性：若是纯虚数，则；再证必要性：若，则是纯虚数即可.
【详解】
证明：由题意，设复数
先证充分性：若是纯虚数，又，
所以，所以；
再证必要性：若，则，即，
所以为纯虚数.
从而得证“”的充要条件是“为纯虚数”.
17．
【解析】
【分析】
先由求出复数，再由求出复数，计算出其复数，可得出以复数为根的实系数方程为，化简后可得出结果.
【详解】
由，得，
，
.
，，
因此，以复数为一个根的实系数方程为，即，
即.
故方程是以为根的实系数一元二次方程.
18．；.
【解析】
【分析】
设，，则，利用，求出，然后求解复数；
设，，则，利用，求出，化简，通过为实数，求出，然后求解.
【详解】
解：设，，则，
因为，则，即，
所以，所以.
设，，则，
因为，则，即．
＝．
因为为实数，所以.
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，属于基础题.
19．.
【解析】
【分析】
首先设二次方程的实数根为，代入方程求的，再利用复数模的公式，结合基本不等式，即可求得模的最小值.
【详解】
设为方程的实根，则
，
当即时，.
20．（1），或，.；（2）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）讨论，为实根和虚根两种情况，利用复数的相等来求解.
（2）设，，把问题转化为无解的问题，从而求出的值.
【详解】
（1）①当，均为实根时，因为，
所以，所以 ，
所以，；
②当，均为虚根时，则，为一组共轭复数，设， ，
则由，得，
所以，所以，
即，.
所以，或，.
（2）设，
则无解无解，
所以.
答案第1页，共2页
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