高中数学沪教版（2020）必修第二册第9章复数单元测试2（Word含解析）

高中数学沪教版（2020） 必修第二册 第9章复数
单元测试
一、填空题
1．若方程有一实根、一虚根，则此虚根是________.
2．复数，则复数z的实部与虚部之和是___________.
3．计算：______．
4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________．
5．若实数满足，且，则_____．
6．已知x、，若，则______．
7．已知集合，，则___________.
8．若实数、满足（是虚数单位），则_______．
9．复平面内向量对应的复数为，A点对应的复数为，现将绕点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点对应的复数为_________.
10．已知命题：存在实数，成立；命题：函数在区间单调递减；如果是真命题，则实数的取值范围为__________.
二、单选题
11．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
12．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设i为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
15．已知复数.
（1）设，求的值；
（2）求满足不等式的实数的取值范围.
16．证明：z为实数的充要条件是．
17．在复平面内，已知定点与复数对应，动点与复数对应，问：满足不等式的点的集合是什么图形？
18．解方程，其中z为复数．
19．(1)当x＞0时，求＋4x的最小值；
(2)当x＞1时，求2x＋的最小值.
20．已知，求复数z．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】
【详解】
设方程有实根，则有.
由复数相等的充要条件可解得.设虚根为，则由得.
故答案为
2．
【解析】
【分析】
先化简求得再计算实部和虚部的和即可.
【详解】
，故实部和虚部之和为.
故答案为：
3．
【解析】
【分析】
根据的性质可求题设中的和.
【详解】
对于任意的，设，其中，则
，
故，
故答案为：.
4．
【解析】
【分析】
根据图像求得点A,B对应的复数，然后求的值.
【详解】
由图像可知，故.
【点睛】
本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.
5．
【解析】
【分析】
由复数代数形式的四则运算整理已知等式，利用复数相等求出，最后求即可．
【详解】
∵，
∴已知等式可变形为，即，
∴，解得 ，则，
∴．
故答案为：
6．2
【解析】
【分析】
复数相等，则实部和虚部相等，利用对应相等即可得解.
【详解】
由，
可得 ，解得，
所以.
故答案为：.
7．
【解析】
【分析】
A表示二次函数的值域，B表示方程里面x的范围或圆上点横坐标范围﹒
【详解】
∴
∴
∴A∩
故答案为
8．
【解析】
【分析】
根据复数相等建立方程组，求出、的值，进而可得出的值.
【详解】
，，解得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
利用复数乘法的几何意义求得对应的复数.
【详解】
由于向量对应的复数为，而，现将绕点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，所以对应的复数为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查复数旋转有关概念，属于基础题.
10．
【解析】
【分析】
首先要确定出命题p，q为真的字母a的取值范围再分类讨论真假或假真或均为真命题时a的范围，由此可得答案．
【详解】
解：时，不等式有解，在上有解，
令，则在上是增函数，
，即若命题真，则；
又函数是区间上的减函数，
所以是上的增函数，且在上恒成立，，
，即若命题真，则；
若命题“”是真命题，则有真假或假真或均为真命题，
若真假，则有；
若假真，则有；
若均为真命题，；
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
11．B
【解析】
【分析】
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．
【详解】
若，则直线和直线互相垂直，是充分条件；
若直线与直线互相垂直，则，因为m取任意实数都成立，故不是必要条件；
故选：A．
13．C
【解析】
【分析】
先化简得，即得解.
【详解】
由得，
所以.
反之，也成立.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
14．C
【解析】
【分析】
写出二项式定理展开式的通项，然后令x的次数为2，进而得到答案.
【详解】
的展开式的通项为，令，得含的项为．
故选：C．
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）将复数代入，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；
（2）将复数代入，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.
【详解】
（1）.
；
（2）不等式为
即，
即，
整理得且，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.
16．证明见解析．
【解析】
【分析】
设，则，然后分别证明必要性和充分性．
【详解】
设，则，
必要性：若是实数，则，所以，
充分性：若，即，则，所以，．
所以z为实数的充要条件是．
17．以为圆心，半径为的圆及圆的内部.
【解析】
【分析】
由已知可得，即，结合圆的定义以及方程即可求解.
【详解】
不等式即，
所以，可得，
表示点到点的距离小于或等于，
所以点的集合是以为圆心，半径为的圆及圆的内部.
18．或或.
【解析】
【分析】
法一：设，，利用复数相等求，写出复数z；法二：利用共轭复数与模的运算，可得，进而求z．
【详解】
法一：设，，则，
由题意，，得，即，
∴或或或，
综上，或或.
法二：由，
当时，方程成立；
当时，方程两边求模，知：，即，
∴，得或.
综上，或或.
19．(1)；(2)10.
【解析】
【分析】
(1)直接应用基本不等式即可求解；
(2)将2x＋构造为再应用基本不等式即可求解.
【详解】
(1)，
，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，的最小值为；
(2)，
，
，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，的最小值为10.
20．
【解析】
【分析】
设，求得，根据，利用复数相等求解.
【详解】
设，
所以，
因为,
所以，
所以，
解得，
所以．
答案第1页，共2页
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