高中数学人教A版（2019）必修第二册第十章概率复习提卷2 （word含解析）

高中数学人教A版（2019） 必修第二册 第十章 概率 复习提升卷
一、单选题
1．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则事件“A或B”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们将，称为三角形数；将，称为正方形数.现从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．某单位要在名工人中安排名分别到两处出差（每人被安排都是等可能的）．
(1)共有多少种安排方法？
(2)其中甲、乙两人都被安排的方法有多少种？
(3)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？
5．写出下列随机试验的样本空间：
(1)连续抛掷2枚硬币，观察落地后这2枚硬币是正面朝上还是反面朝上；
(2)从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素.
6．从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
7．写出下列试验的样本空间：
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．
8．在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.
（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
9．某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：
支持 保留 不支持
30岁以下 900 120 280
30岁以上（含30岁） 300 260 140
（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．
10．在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.
11．一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分．
(1)求拿4次至少得2分的概率；
(2)求拿4次所得分数的分布列和数学期望．
12．已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中．
(1)求第二次取出红球的概率；
(2)求第三次取出白球的概率；
(3)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望．
13．某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲、乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.
(1)求这4个人中恰有2人去甲地的概率；
(2)求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去甲、乙两地的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
14．已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
（1）李明成绩不低于60分的概率；
（2）李明成绩低于60分的概率.
15．在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09， 60分以下的概率是0.07．计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格)．
16．某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
17．为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示.
时间t（分）
次数 12 28 8 2
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为.
(1)估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率；
(2)求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）；
(3)若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由.
18．从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示.
(1)求直方图中的值和月平均用电量的众数；
(2)已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间内的总户数，并说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
分别求出事件A可能出现的数字和事件B可能出现的数字的总数，再除以事件出现的数字总数即可.
【详解】
解：事件A，向上一面点数为偶数，可能出现数字2，4，6；
事件B，向上一面点数为6的约数，可能出现数字1，2，3，6；
事件“A或B”发生，可能出现的数字为1，2，3，4，6，
故事件“A或B”发生的概率为.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
由已知列出从1到100这100个整数中所有的三角形数和正方形数，由古典概型的概率公式计算即可得出结果.
【详解】
由题意可得，从1到100这100个整数中，所有的三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91,共13个，从1到100这100个整数中，所有的正方形数依次为，共9个，
所以从1到100这100个整数中，既是三角形数又是正方形数的为：，共2个.
所以从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为.
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
利用对立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
依题意，至少有1个黑球的概率为.
故选：B
4．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）记名工人为甲、乙、丙、丁，列举出所有的安排方法即可求解；
（2）列举甲、乙两人都被安排的方法即可求解；
（3）由古典概率公式即可求解.
(1)
记名工人为甲、乙、丙、丁，安排两处为，，则 安排方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共有种安排方法.
(2)
甲、乙两人都被安排的方法有：（甲，乙），（乙，甲）种.
(3)
甲、乙两人都被安排的概率是.
5．(1){（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
(2){（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}
【解析】
【分析】
（1）借助树状图，一一列举即可求解.
（2）一一列举即可得出答案.
(1)
画树状图如图所示
因此，这个试验的样本空间Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}.
(2)
样本空间Ω={（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}.
6．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；
（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可
(1)
试验的样本空间
；
(2)
设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，
．
因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此．
所以抽到的两个球都是黑球的概率为
7．（1）答案见解析 ；（2）答案见解析 ；（3） 答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接列基本事件即可；
（2）用树状图法列举即可；
（3）用树状图法列举即可；
【详解】
（1）该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}．
（2）该试验，所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
（3）如图，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}．
8．（1）
（2）；
（3）
【解析】
(1)以第一轮比赛中胜出的情况进行分类，列举出比赛所有可能的结果；
(2)在样本空间中找出以开头的所有结果，即可得出事件A；
(3)在样本空间中找出在开头或第二位的所有结果，即可得出事件B
【详解】
解：（1）
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
则该试验的样本空间可表示为:
；
（2）事件A包含的所有结果为：；
（3）事件B包含的所有结果为：
【点睛】
本题主要考查了写出某事件的所有基本事件，属于中等题.
9．（I）；（II）.
【解析】
【详解】
试题分析：（I）运用分层抽样的知识建立方程求解；（II）依据题设借助列举法运用古典概型的计算公式求解：
试题解析：
解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在岁以下的人被抽取人．
由题意，得．则人．
所以在“支持”的群体中，年龄在岁以下的人有人被抽取．
（Ⅱ）设所选的人中，有人年龄在岁以下．则，∴．
即从岁以下抽取人，另一部分抽取人．分别记作．
则从中任取人的所有基本事件为
．共15个
其中至少有人在岁以上的基本事件有个．
分别是．
所以在这6人中任意选取人，至少有人在岁以上的概率为．
10．
【解析】
【分析】
由题意可知小明同学一次测试不合格包括三种情况：一是“立定投篮”两次都没中，二是“立定投篮”第一次没中第二次中，然后“三步上篮”两次都没中，三是“立定投篮”第一次中，然后“三步上篮”两次都没中，且三种情况是互斥的，求出一次测试不合格的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果
【详解】
设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi（i=1，2），依题意有P（Ai）=，P（Bi）=（i=1，2），“小明同学一次测试合格”为事件C，且每次投篮是否命中互不影响，则
,
所以
11．(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
(1)将拿4次至少得2分的事件分拆成两个互斥事件的和，分别求出每个事件的概率即可.
(2)求出的所有可能值，再求出各个取值的概率，列出分布列并求出的数学期望.
(1)
设拿出球的号码是3的倍数的为事件，则，
拿4次至少得2分的事件是恰得2分的事件和得4分的事件的和，
恰得2分的事件概率，得4分的事件概率，则，
所以拿4次至少得2分的概率是.
(2)
的可能取值为，，0，2，4，
则，，，，，
所以的分布列为：
0 2 4
的数学期望为：.
12．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）设第次取出白球、红球的概率分别为，，利用互斥事件的加法公式可求出第二次取出红球的概率；
（2）列出三次取球的情况，可得出第三次取出白球的概率；．
（3）列出连续取球三次，可得得分的取值和概率，再列出得分的分布列可求出期望.
(1)
设第次取出白球、红球的概率分别为，，
第二次取出红球的概率．
(2)
三次取球的过程共有以下情况：白白白、白红白、红白白、红红白，
第三次取出白球的概率是：
.
(3)
连续取球三次，得分的情况共有8种：
，，，，，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
15 18 21 24
．
13．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件乘法公式求4个人中恰有2人去甲地的概率；
（2）由（1）知：4个人中恰有3或4人去甲地，应用互斥事件的加法公式,概率即可；
（3）根据（1）确定的可能值，并求出对应的概率，进而写出分布列，根据分布列求期望即可.
(1)
依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为，去乙地的概率为.
设“这4个人中恰有i人去甲地”为事件，则.
∴这4个人中恰有2人去甲地的概率.
(2)
设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B，则.
由于与互斥，故.
∴这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为.
(3)
的所有可能的取值为0，2，4，由于与互斥，与互斥，
故，，.
∴的分布列为
0 2 4
P
故.
14．（1）（2）
【解析】
（1）设出事件，利用互斥事件的加法公式即可；
（2）利用对立事件即可得到结论.
【详解】
记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且，.
（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为，由A与B互斥可知.
（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此.
【点睛】
本题主要考查互斥事件的概率的加法公式的应用，其中用到求对立事件的方法，属于基础题.
15．(1)0.69
(2)0.93
【解析】
【分析】
根据互斥事件的概率加法公式即可求解.
(1)
解：分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B， C， D， E，显然这四个事件彼此互斥．
所以小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69．
(2)
解：小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93．
16．答案见解析.
【解析】
【分析】
第三次才打开门的概率是；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门. 可由此随机模拟估计上述概率．
【详解】
解：现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，第三次才打开门的概率是；
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门.
(1)三个一组(每组数字不重复),统计总组数N及前两个大于2,第三个是1或2的组数N1,则即为不能，打开门即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
(2)三个一组，统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1,则即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
17．(1)
(2)分布列见解析，期望35
(3)足够，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）要求“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率”，可以利用“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间低于30分钟的概率”求解；
（2）时间t（分）可取的值有25，35，45，55， 根据概率公式求出分布列，再通过期望公式求期望即可；
（3）求出每次租用新能源租赁汽车的平均费用，则每个月的费用可求.
(1)
设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的时间为A，
则所求的概率为，
所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为；
(2)
由已知时间t（分）可取的值有，
则，
，
，
陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列为
25 35 45 55
则数学期望为
(3)
每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12＋0.12×35＝16.2，
每个月的费用为16.2×2×22＝712.8，
712.8＜800，
因此公司补贴足够上下班租用新能源汽车．
18．(1)，众数为度
(2)万户，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据矩形面积之和为1可得x，由最高矩形底边中点横坐标估计众数；
（2）先求频率，再由总体频率可得.
(1)
根据频率和为1，可知，计算得.
由图可知，最高矩形的数据组为，所以众数为度.
(2)
由频率分布直方图知：用电量落在区间内的频率为
，
所以用电量落在区间内的总户数为万户.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页