2021-2022学年北京市东城区171中九年级（下）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年北京市东城区171中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．中国财政部2021年3月18日发布数据显示，前2个月，全国一般公共预算收入约为41800亿元，将41800用科学记数法表示应为（　　）
A．0.418×106 B．4.18×105 C．4.18×104 D．41.8×103
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
3．正五边形的外角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．下列给出的等边三角形、圆、平行四边形、矩形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图所示，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8米，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
7．若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足p+q+m+n＝0，则绝对值最小的数是（　　）
A．p B．q C．m D．n
8．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
二、填空题
9．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
10．请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式　 　．
11．分解因式：x2﹣y2＝　 　．
12．如果抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是　 　．
13．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是5的倍数的概率是　 　．
14．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 　 　．
15．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），序号为1～10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11～20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22，序号为21～30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32，直接写出，s12，s22，s32的大小关系 　 　．
16．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是　 　．
三、解答题
17．计算：23﹣+（﹣π）0﹣4cos45°．
18．解不等式组
19．已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x（x﹣2）2﹣x2（x﹣6）﹣3的值．
20．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＞AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于
点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交
于点F（不与点A重合）；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是　 　（　 　）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
21．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数，并写出偶点的坐标．
24．东城区为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取30名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
成绩（分） 90≤x＜92 92≤x＜94 94≤x＜96 96≤x＜98 98≤x≤100
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的学生成绩在96≤x＜98这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m 99
乙校 95.85 97.5 99
（1）m＝　 　；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是 　 　（填“王”或“李”）同学，请简要说出理由；
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
25．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x≤﹣1时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
27．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）过点B作BG∥MN交DC于G，求证：△BGC≌△APB；
（2）若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；
（3）请你用等式表示线段ME，EF和FN的数量关系，并证明你的结论．
28．对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 　 　；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 　 　．
参考答案
一、选择题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．中国财政部2021年3月18日发布数据显示，前2个月，全国一般公共预算收入约为41800亿元，将41800用科学记数法表示应为（　　）
A．0.418×106 B．4.18×105 C．4.18×104 D．41.8×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：41800＝4.18×104．
故选：C．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
【分析】根据几何体的三个视图即可判断．
解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．
则该几何体可能为圆柱．
故选：D．
3．正五边形的外角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
4．下列给出的等边三角形、圆、平行四边形、矩形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故选：B．
6．如图所示，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8米，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
【分析】由于光线是平行的，因此BE和AD平行，可判定两个三角形相似，根据三角形相似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出AB．
解：∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
即，
且BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2
∴，
∴1.2AB＝1.8，
∴AB＝1.5m．
故选：A．
7．若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足p+q+m+n＝0，则绝对值最小的数是（　　）
A．p B．q C．m D．n
【分析】根据数轴可有n＞m＞q＞p．结合p+q+m+n＝0即可判断．
解：根据数轴可有n＞m＞q＞p．
∵p+q+m+n＝0．
∴原点在q、m之间，且靠近m．
∴绝对值最小的数为：m．
故选：C．
8．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM＝4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．
解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O于M，
∴PM＝8﹣3﹣1＝4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故选：B．
二、填空题
9．函数y＝中自变量x的取值范围是　x≥2　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
10．请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式　y＝x　．
【分析】直接根据正比例函数的性质求解．
解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
∴k可取1，
此时正比例函数解析式为y＝x．
故答案为y＝x．
11．分解因式：x2﹣y2＝　（x+y）（x﹣y）　．
【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案是：（x+y）（x﹣y）．
12．如果抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是　y＝3x2﹣2　．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是：y＝3x2﹣2．
故答案是：y＝3x2﹣2．
13．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是5的倍数的概率是　　．
【分析】用抽到的数是5的倍数的结果数除以所有等可能结果数即可．
解：∵任意抽取一个数字共有10种等可能结果，其中抽到的数是5的倍数的有5、10这2种结果，
∴抽到的数是5的倍数的概率是＝，
故答案为：．
14．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 　　．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后再利用锐角三角函数的定义即可解答．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝＝2，
∴cosA＝＝，
故答案为：．
15．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），序号为1～10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11～20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22，序号为21～30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32，直接写出，s12，s22，s32的大小关系 　s22＞s12＞s32　．
【分析】从图的数据分布的离散程度进行判断即可
解：∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
故答案为：s22＞s12＞s32．
16．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是　B　．
【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论，
解：∵330﹣260＝70，330﹣300＝30，360﹣300＝60，360﹣240＝120，260﹣240＝20，
∴C＞A，B＞D，E＞C，D＞A，B＞E，
由B＞D和D＞A得B＞A，
由E＞C和B＞E得B＞C，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
三、解答题
17．计算：23﹣+（﹣π）0﹣4cos45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、算术平方根分别化简得出答案．
解：原式＝8﹣3+1﹣4×
＝8﹣3+1﹣2
＝6﹣2．
18．解不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集是x＜1．
19．已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x（x﹣2）2﹣x2（x﹣6）﹣3的值．
【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解：原式＝x（x2﹣4x+4）﹣x3+6x2﹣3．
＝x3﹣4x2+4x﹣x3+6x2﹣3．
＝2x2+4x﹣3．
.∵x2+2x﹣4＝0．
∴x2+2x＝4．
∴原式＝2（x2+2x）﹣3＝5．
20．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＞AC．
求作：BC边上的高AD．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于
点E；
②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交
于点F（不与点A重合）；
③连接AF交BC于点D．
线段AD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是　菱形　（　四条边相等的四边形是菱形　）（填推理依据）．
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明四边形ABFE是菱形，可得结论．
解：（1）依作法补全图形，如图所示：
（2）连接AE，EF，BF．
∵AB＝AE＝EF＝BF，
∴四边形ABFE是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AF⊥BE．
即AD是△ABC中BC边上的高．
故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形．
21．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）先求出原方程的两个实数根，根据方程的两根均大于2，列出不等式组，求出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．
【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；
（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝4，
∵AD＝2BC＝8，
∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，∵AD＝8，
∴CD＝4，AC＝4．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），C（0，4）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如E（2，4）．反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）与线段BM，BN围成的图形记为G．求图形G（包含边界）内偶点的个数，并写出偶点的坐标．
【分析】（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的解析式求得M、N的坐标，结合图形，即可得到图形G内的偶点．
解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（8，0），C（0，4），
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵A（8，0），C（0，4），
∴B（8，4），
由题意可得：点M的纵坐标为4，点N的横坐标为8．
∵点M、点N在反比例函数y＝的图象上，
∴点M的坐标为（2，4），N（8，1），
∵点D的坐标为（4，2），
∴在图形G（包含边界）内偶点有（2，4），（4，2），（4，4）（6，2），（6，4），（8，2），（8，4）共7个．
24．东城区为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取30名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
成绩（分） 90≤x＜92 92≤x＜94 94≤x＜96 96≤x＜98 98≤x≤100
甲校 2 3 5 10 10
甲校参与测试的学生成绩在96≤x＜98这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
学校 平均数 中位数 众数
甲校 96.35 m 99
乙校 95.85 97.5 99
（1）m＝　96.5　；
（2）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是 　王　（填“王”或“李”）同学，请简要说出理由；
（3）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
【分析】（1）根据中位数的定义，把甲校所抽取的30名学生的成绩从小到大排序后，计算处在中间位置的两个数的平均数即可；
（2）根据中位数的意义，结合王同学、李同学的成绩进行判断即可；
（3）先求出甲校96分以上的学生人数，再求出乙校96分以上的学生人数．
解：（1）把甲校所抽取的30名学生的成绩从小到大排序后，处在中间位置的两个数都是96.5，因此中位数是96.5，即m＝96.5，
故答案为：96.5；
（2）甲校的中位数是96.5，乙校的中位数是97.5，而97分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前，
故答案为：王，理由：97分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前；
（3）样本中，96分以上的学生人数所占的百分比为＝60%，
所以甲校96分以上的学生人数为180×60%＝108（人），
因此乙校96分以上的学生人数为108×2﹣100＝116（人），
答：乙校96分以上（含96分）的总人数为116人．
25．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝＝即可求出OF．
解：（1）连接OC．如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．如图2所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝＝，
∴AB＝BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝＝，
解得：OF＝5．
26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x≤﹣1时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）①先根据二次函数为y＝﹣x2+2mx+4﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4，得到对称轴为直线x＝m，把x＝3代入解析式求得m＝1或m＝5，根据题意点B在对称轴右侧，即m＜3，则m＝1，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点当x＝2时，函数取得最大值3，当x＝m时，函数取得最小值﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，在n＞2范围内，解得n＝4；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+4＝0，解得x1＝m﹣2，与x2＝m+2，根据题意得到①﹣1≤m﹣2，②m≤﹣2且﹣1≤m+2，即可求得m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2或m≥1．
解：（1）①∵二次函数为y＝﹣x2+2mx+4﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4，对称轴为直线x＝m，
令x＝3，则﹣（m﹣3）2+4＝0，解得：m＝1或m＝5，
∵B（3，0）为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴m＜3，故m＝1，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．（或y＝﹣（x﹣1）2+4）；
②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∴2≤x≤n时，函数值y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，函数取得最大值3，当x＝m时，函数取得最小值﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，
∴在n＞2范围内，解得n＝4；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+4＝0，解得x1＝m﹣2，与x2＝m+2，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当x≤m﹣2时，y随x的增大而增大，
当m﹣2＜x≤m时，y随x的增大而减小
当m＜x≤m+2时，y随x的增大而增大，
当x＞m+2时，y随x的增大而减小
因此，若当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，结合图象有：
①﹣1≤m﹣2，即m≥1时符合题意，
②m≤﹣2且﹣1≤m+2，即﹣3≤m≤﹣2时符合题意，
综上，m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2或m≥1．
27．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）过点B作BG∥MN交DC于G，求证：△BGC≌△APB；
（2）若AB＝9，BP＝3，求线段MN的长度；
（3）请你用等式表示线段ME，EF和FN的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过点B作BG∥MN交DC于G，利用AAS即可得△BGC≌△APB（AAS）；
（2）由△BGC≌△APB，得到BG＝AP，证明四边形BMNG是平行四边形，由平行四边形的性质得MN＝BG＝AP，由勾股定理AP的长度，即可得到结果．
（3）过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE，得到ME＝HE，再由矩形的性质和三角形全等得到BS＝AT，FS＝AT，由Rt△FPS≌Rt△ATF，得到PS＝TF，可得PS＝TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明．
【解答】（1）证明：如图，过点B作BG∥MN交DC于G，
∴BG⊥AP，
∴∠CBG+∠BPA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∴∠CGB＝∠BPA，
在△BGC与△APB中，
，
∴△BGC≌△APB（AAS），
（2）解：∵△BGC≌△APB，
∴BG＝AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵BG∥MN，
∴四边形BMNG是平行四边形，
∴MN＝BG＝AP，
在Rt△ABP中，AB＝9，BP＝3，
∴AP＝＝3，
∴MN＝3；
（3）解：ME+FN＝EF．
证明：如图，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，
∵MN垂直平分AP，
∴AE＝PE，AF＝PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE＝∠HPE，
在△AME与△PHE中，
，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝HE，
∵∠TDF＝∠FBP＝45°，
∴TD＝TF，FS＝BS，
∵四边形ABST是矩形，
∴BS＝AT，
∴FS＝AT，t
在Rt△FPS与Rt△ATF中，
，
∴Rt△FPS≌Rt△ATF（HL），
∴PS＝TF，
∴PS＝TD，
∵四边形TSCD是矩形，
∴TD＝SC，
∴PS＝SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF＝FN，
∴ME+FN＝EF．
28．对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 　（2，0）（答案不唯一）　；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 　﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣　．
【分析】（1）根据“生长点”的定义即可解决问题；（答案不唯一）
（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得M'N'，则由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B．
（3）Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，易知点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心2为半径的圆，求出直线MN与⊙K相切时b的值，再求出直线MN经过G（0，﹣1）时b的值，即可判断，再根据对称性可得b＞0时的取值范围．
解：（1）根据“生长点”定义，点P的坐标可以是（2，0），
故答案为：（2，0）（答案不唯一）；
（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，使得∠OAM＝30°，并在射线AM上取点N，使AM＝MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得M'N'，则由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B．
作MH⊥x轴于H，连接MC，
∴∠MHA＝90°，即∠OAM+∠AMH＝90°．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AMC＝90°，即∠AMH+∠HMC＝90°．
∴∠OAM＝∠HMC＝30°．
∴tan30°＝＝＝，
设MH＝y，则AH＝y，CH＝y，
∴AC＝AH+CH＝y＝2，解得y＝，即点M的纵坐标为．
又由AN＝2AM，A为（﹣1，0），可得点N的纵坐标为，
故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：≤t≤，
由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足： ≤t≤ ，
∴点B的纵坐标t的取值范围是：≤t≤或 ≤t≤ ．
（3）如图，
Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，
∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
∴点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，
当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，
在Rt△KMR中，∠KRM＝90°，
∵直线y＝x+b与x轴夹角为60°，
∴∠KMR＝60°，KR＝2，
∴KM＝2÷sin60°＝，
∴OM＝1+，
∴ON＝OM＝4+，
∴b＝﹣4﹣，
当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，
观察图象可知：当﹣4﹣≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，
根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣时，也满足条件．
故答案为：﹣4﹣≤b≤﹣1或1≤b≤4﹣．