2021-2022学年北京市海淀区101中学九年级（下）入学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年北京市海淀区101中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每题2分，共16分。
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
2．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（1，5） C．（3，1） D．（﹣1，5）
4．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．4.5
5．下列函数中，当x＞0时，y的值随着x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝（x﹣2）2
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（　　）
A．12 B．10 C．6 D．5
7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则随着θ的增大，∠PAH的度数（　　）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
8．小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题：本大题共8小题，每题2分，共16分。
9．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 　．
10．若点A（a，b）在双曲线y＝上，则代数式ab﹣8的值为 　 　．
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得　 　．
12．疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为A，B．C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是 　 　．
13．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在⊙O的 　 　．（填“内部”、“外部”、“上”）
14．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝　 　m．
15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为　 　．
16．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题，5分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：2sin45°+|﹣1|﹣+（π﹣2）0．
18．已知y2﹣2xy﹣1＝0，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2的值．
19．下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC＝∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD，（ 　 　）（填推理的依据）．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝　 　．
∴OB＝OA．⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 　 　）（填推理的依据）．
20．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x﹣m（m+2）＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝﹣2是此方程的一个根，求实数m的值．
22．如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．
（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
23．如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD．E是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠OFC＝∠ODC；
（2）连接FB，若B是OA的中点，⊙O的半径是4，求FB的长．
24．有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝m，BD＝n，
求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD＝3，BD＝4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12
所以S△ABC＝（x+3）（x+4）＝×（12+12）＝12
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：（1）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；
（2）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为　 　．
25．北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t（单位：℃） 20≤t＜25 25≤t＜30 30≤t≤40
酸奶需求量（单位：瓶/天） 300 400 600
b.2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表（不完整）：
2017年6月最高气温数据的频数分布表：
分组 频数 频率
20≤t＜25 3
25≤t＜30 m 0.20
30≤t＜35 14
35≤t≤40 0.23
合计 30 1.00
c.2018年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：
d.2019年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 32 32
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为　 　；
（2）2019年6月最高气温数据的众数为　 　，中位数为　 　；
（3）估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为　 　；
（4）已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为　 　元；
②根据以上信息，预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为　 　．
A．550瓶/天
B．600瓶/天
C．380瓶/天
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤5时，y的最大值为12；
①请求出a的值；
②若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出t的取值范围．
27．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
28．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O（0，0），A（，），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当m＝2，n＝时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是 　 　；
②当m＝2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是 　 　．
（2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当n≥时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每题2分，共16分。
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
2．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．抛物线y＝3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（1，5） C．（3，1） D．（﹣1，5）
【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．
解：因为y＝3（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）．
故选：B．
4．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．4.5
【分析】由BC∥AD，推出△AED∽△CEB，得＝，由此即可解决问题．
解：∵BC∥AD，
∴△AED∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝4.5，
故选：D．
5．下列函数中，当x＞0时，y的值随着x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝（x﹣2）2
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．
解：A．∵在正比例函数y＝2x中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B．∵在二次函数y＝x2中，a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．∵在反比例函数y＝（x＞0）中，k＞0，
∴它的图象在一象限，y随x的增大而增小，故本选项符合题意；
D．∵在二次函数y＝（x﹣2）2中，a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，在对称轴x＝2的右侧（即x＞2时），y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（　　）
A．12 B．10 C．6 D．5
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵cosB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则随着θ的增大，∠PAH的度数（　　）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
【分析】由旋转性质可得PB＝BC＝AB，由等腰三角形性质和三角形内角和定理可得∠BPC+∠BPA＝135°＝∠PAH，再由外角关系求得∠PAH度数．
解：将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴PB＝BC＝AB，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BAP＝∠BPA．
∵∠BCP+∠CBP+∠BPC＝180°，∠PAB+∠ABP+∠BPA＝180°且∠ABP+∠CBP＝90°．
∴∠BPC+∠BPA＝（360°﹣90°）＝135°，
即∠CPA＝135°，
∴∠PAH＝∠CPA﹣90°＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数为定值．
故选：C．
8．小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得b约为1，也即b＞0．
解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，
∴b＞0．
故选：A．
二、填空题：本大题共8小题，每题2分，共16分。
9．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　y＝（x﹣2）2+1　．
【分析】利用配方法整理即可得解．
解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
10．若点A（a，b）在双曲线y＝上，则代数式ab﹣8的值为 　﹣5　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．
解：∵点A（a，b）在双曲线y＝上，
∴3＝ab，
∴ab﹣8＝3﹣8＝﹣5．
故答案为：﹣5．
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得　168（1﹣x）2＝128　．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：168（1﹣x）2＝128．
故答案为：168（1﹣x）2＝128．
12．疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为A，B．C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是 　　．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图为：
共有9种等可能的情况数，其中小王和小李从不同通道测温进校园的有6种情况，
则小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是＝．
故答案为：．
13．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在⊙O的 　外部　．（填“内部”、“外部”、“上”）
【分析】先求出方程x2﹣4x﹣5＝0的根，得到d的值，再根据点与圆的位置关系进行判断即可．
解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，
得x＝5或﹣1，
∵d＞0，
∴d＝5，
∵⊙O的半径为4，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故答案为：外部．
14．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝　8　m．
【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD＝BD＝AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．
15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为　60°或120°　．
【分析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′＝30°，从而得到∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，则∠BAB″＝120°．
解：线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，
在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，
∴∠OAC′＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
同理可得∠OAC″＝30°，
∴∠BAB″＝120°，
综上所述，α的值为60°或120°．
故答案为60°或120°．
16．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 　②③　．
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
故答案为：②③．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题，5分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：2sin45°+|﹣1|﹣+（π﹣2）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
解：原式＝2×+﹣1﹣3+1
＝+﹣1﹣3+1
＝﹣．
18．已知y2﹣2xy﹣1＝0，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2的值．
【分析】先求出y2﹣2xy＝1，算乘法，合并同类项，再代入求出即可．
解：∵y2﹣2xy﹣1＝0，
∴y2﹣2xy＝1，
（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣3y2
＝2y2﹣4xy
＝2（y2﹣2xy）
＝2×1
＝2．
19．下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC＝∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD，（ 　等腰三角形顶角的平分线，对边上的高，底边上的中线重合　）（填推理的依据）．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝　OC　．
∴OB＝OA．⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 　同弧所对圆周角相等　）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作图过程即可完成作图；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD，（等腰三角形顶角的平分线，对边上的高，底边上的中线重合）．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC．
∴OB＝OA．⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对圆周角相等）．
故答案为：等腰三角形顶角的平分线，对边上的高，底边上的中线重合；OC；同弧所对圆周角相等．
20．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
【分析】根据题意∠DBC＝∠A，结合图形中公共角∠DCB＝∠BCA，推出△BCD∽△ACB，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
解：∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得CD＝2，
故CD长为2．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x﹣m（m+2）＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝﹣2是此方程的一个根，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；
（2）先把x＝﹣2代入方程，然后解关于m的一元二次方程，即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x﹣m（m+2）＝0．
∴Δ＝4×（m﹣1）2+4m（m+2）＝8m2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝﹣2是此方程的一个根，
∴把x＝﹣2代入方程中得到4﹣2（m﹣1）×（﹣2）﹣m（m+2）＝0，
∴4+4（m﹣1）﹣m（m+2）＝0，
∴m2﹣2m＝0，
∴m1＝0，m2＝2．
22．如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．
（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
【分析】（1）把B的坐标代入y1＝﹣x+2求得m的值，得出B（4，﹣2），再代入入y2＝即可求得k的值；
（2）根据图象即可求得．
解：（1）∵据题意，点B的坐标为（2m，﹣m）且在一次函数y1＝﹣x+2的图象上，代入得﹣m＝﹣2m+2．
∴m＝2．
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y2＝得k＝4×（﹣2）＝﹣8，
∴反比例函数表达式为y2＝﹣；
（2）当0＜x＜2时，y2的取值范围是y2＜﹣4，当x＜0时，y2＞0．
23．如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD．E是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠OFC＝∠ODC；
（2）连接FB，若B是OA的中点，⊙O的半径是4，求FB的长．
【分析】（1）①正确画图；
②连接OC，如图1，根据垂径定理得：∠OBD＝90°，，由已知可得，则圆心角相等，即∠COE＝∠AOD，由CF是⊙O的切线，则∠OCF＝90°，由三角形内角和定理可得∠OFC＝∠ODC；
（2）根据直角三角形的性质得：∠ODB＝30°，再证明点D，O，E在同一条直线上，最后根据勾股定理可得FB的长．
解：（1）①依题意补全图形，如图1；
②证明：连接OC，如图1，
∵半径OA⊥CD，
∴∠OBD＝90°，，
∵，
∴，
∴∠COE＝∠AOD，
∵CF是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC＝∠ODC；
（2）过点B作BG⊥OD于点G，如图2．
∵B是OA的中点，OA＝4，
∴OB＝2．
∴在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵，
∴∠EOC＝∠AOC＝∠DOA＝60°，
∴∠EOD＝180°．
即点D，O，E在同一条直线上，
在Rt△OCF中，OC＝4，可得OF＝8，
在Rt△OGB中，OB＝2，可得OG＝1，BG＝，
∴FG＝OF+OG＝9，
在Rt△BGF中，由勾股定理可得FB＝＝＝2．
24．有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝m，BD＝n，
求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD＝3，BD＝4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12
所以S△ABC＝（x+3）（x+4）＝×（12+12）＝12
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：（1）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；
（2）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为　mn　．
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题．
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
解：（1）如图，令AD＝5，BD＝7，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，CF＝CE＝x，
据勾股定理得，（x+5）2+（x+7）2＝（5+7）2，
整理，得x2+12x＝35，
所以S△ABC＝．
（2）由（1）可知：
S△ABC＝（mn+mn）＝mn．
故答案为mn．
25．北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t（单位：℃） 20≤t＜25 25≤t＜30 30≤t≤40
酸奶需求量（单位：瓶/天） 300 400 600
b.2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表（不完整）：
2017年6月最高气温数据的频数分布表：
分组 频数 频率
20≤t＜25 3
25≤t＜30 m 0.20
30≤t＜35 14
35≤t≤40 0.23
合计 30 1.00
c.2018年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：
d.2019年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 32 32
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为　6　；
（2）2019年6月最高气温数据的众数为　32　，中位数为　32.5　；
（3）估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为　　；
（4）已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为　28000　元；
②根据以上信息，预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为　C　．
A．550瓶/天
B．600瓶/天
C．380瓶/天
【分析】（1）估计频数＝总数×频率即可得到结论；
（2）估计众数和中位数的定义即可得到结论；
（3）估计概率公式计算即可；
（4）根据题意列式计算即可得到结论．
解：（1）m＝30×0.20＝6；
（2）2019年6月最高气温数据的众数为32，中位数为＝32.5；
（3）三年这种酸奶一天的需求量为600瓶的天数为21+26+25＝72，
估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为＝；
（4）①400×（6﹣4）×5+（500﹣400）×（2﹣4）×5+500×（6﹣4）×25＝28000；
②∵以上三年6月最高气温低于25的天数一共有3+1＝4天，
∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，
故预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为C，
故选C．
故答案为：（1）6；（2）32，32.5；（3）；（4）28000．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤5时，y的最大值为12；
①请求出a的值；
②若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解．
（2）①由抛物线顶点可得抛物线开口向上，从而可得x＝5时，y取最大值，进而求解．
②分类讨论点A，B在对称轴左侧，在对称轴右侧，及点A，B在对称轴两侧三种情况求解．
解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）①由（1）知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标是（1，﹣4），
若a＜0，则当﹣1≤x≤5时，y的最大值为﹣4，不符合题意，
∴a＞0，抛物线开口向上，
∵1﹣（﹣1）＜5﹣1，
∴x＝5时，y＝ax2﹣2ax+a﹣4取得最大值12，
∴25a﹣10a+a﹣4＝12，
解得a＝1．
②由①知抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1，
当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴的右侧时，即m≥1，
则y2﹣y1＝（m+t）2﹣2（m+t）﹣3﹣m2+2m+3＝4，
解得m＝，
∴≥1，
∵t＞0，
∴0＜t≤2．
当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴的左侧时，即m+t≤1，
则y1﹣y2＝m2﹣2m﹣3﹣（m+t）2+2（m+t）+3＝4，
解得m＝，
∴m+t＝≤1，
∵t＞0，
∴0＜t≤2．
当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴两侧时，m＜1＜m+t，
∵y的最小值为﹣4，
∴函数最大值为y＝﹣4+4＝0，
把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得0＝x2﹣2x﹣3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
当m＝﹣1时，1＜m+t≤3满足题意，
解得2＜t≤4，
当m+t＝3时，﹣1≤m＜1满足题意，
解得2＜t≤4．
综上所述，0＜t≤4．
27．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②连接AE，根据∠ABC＝90°，BA＝BC，得∠C＝∠BAC＝45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE＝90°﹣∠ABD＝∠CBD，BE＝BD，即可得△ABE≌△CBD（SAS），有∠BAE＝∠C＝45°，AE＝CD，故∠EAD＝∠EAB+∠BAC＝90°，可得AE2+AD2＝DE2，从而CD2+AD2＝DE2；
（3）设BF交CE于H，延长BF至G，使FG＝BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB（SAS），得∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，可得AG＝BE，∠GAB＝∠DBC+90°，又∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，得∠GAB＝∠CBE，知△GAB≌△EBC（SAS），故BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，从而CE＝2BF，可证CE⊥BF．
解：（1）①补全图形如下：
②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2＝DE2，证明如下：
连接AE，如图：
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，
∴∠ABE＝90°﹣∠ABD＝∠CBD，BE＝BD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠C＝45°，AE＝CD，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAC＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，
∵AE＝CD，
∴CD2+AD2＝DE2；
（3）CE＝2BF，CE⊥BF，证明如下：
设BF交CE于H，延长BF至G，使FG＝BF，连接AG，如图：
∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵FG＝BF，∠AFG＝∠DFB，
∴△AFG≌△DFB（SAS），
∴∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，
∵BD＝BE，
∴AG＝BE，
∵∠FDB＝∠DBC+∠DCB＝∠DBC+45°，
∴∠GAF＝∠DBC+45°，
∴∠GAB＝∠GAF+∠BAC＝∠DBC+45°+45°＝∠DBC+90°，
∵∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，
∴∠GAB＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△GAB≌△EBC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，
∵BG＝2BF，
∴CE＝2BF，
∵∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠BCE+∠GBC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴CE⊥BF．
28．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O（0，0），A（，），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当m＝2，n＝时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是 　　；
②当m＝2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是 　﹣2≤n≤　．
（2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当n≥时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．
【分析】（1）①读懂题意，结合图形可判断AB极为冰雪距离；②注意到A到BC的距离正好为，可知点A到BC的垂足正好在线段BC上；
（2）结合图象观察点B在移动时，d的变化情况，判断出取最小值的点，再计算；
（3）找出BC运动的情况，注意到点M运动的路径长与点B、C运动的路径长相同，转化为求B或C运动的路径长即可．
解：（1）①当m＝，n＝时，B（，），C（，+2）．
线段BC与线段OA的冰雪距离为AB＝．
故答案为：．
②当m＝时，点A到直线BC的距离为．
若线段BC与线段OA的冰雪距离是，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，
∴n≤≤n+2，即﹣2≤n≤．
故答案为：﹣2≤n≤．
（2）如图，B2（0，）为圆A与y轴的切点，B1（﹣1，+1）满足∠B1AO＝90°．
当B在B1右侧时，冰雪距离d≥B1A＝．
当B在弧B1B2上时，冰雪距离d为点B到OA的距离，
结合图象可知，当且仅当B处在点B2时，d取最小值1．
（3）如图，当点B位于图中弧DI、线段IH、弧HG时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为．
当点C位于图中弧DE、线段EF、弧FG时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为．
当线段BC由图中B1D向上平移到DC3时，或由B2G向上平移到GC4时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为．
对应中点M所走过的路线长为：π+8．