2021-2022学年湖南省衡阳市常宁市乡镇学校九年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳市常宁市乡镇学校九年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分，请把答案填入下列表格中）
1．化简的结果为（　　）
A．5 B．10 C．5 D．5
2．下列运算中正确的是（　　）
A．＝4 B．＝21 C．＝ D．9×＝3
3．如果＝3a﹣2，那么a的取值范围（　　）
A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
6．以下说法合理的是（　　）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
7．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
8．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
10．某人沿坡度为i＝1：的山路行了20m，则该人升高了（　　）
A．20m B．m C．m D．m
11．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
12．如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共6个题，每小题3分，共18分）
13．如果y＝+5，那么xy的值是 　 　．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　．
15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有　 　个．
16．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，∠ACD＝30°，若AD＝3，则BC的长等于 　 　．
17．已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：a◎b＝，如6◎15＝＝＝，已知m，n是一元二次方程x2﹣21x+7＝0的两个不相等的实数根，则[（m+n）◎mn]◎＝　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（1）计算：
（2）解方程x2+6x＝0
20．小利参加某网店的“翻牌抽奖”活动，4张牌分别对应价值5，10，20，50（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中50元奖品的概率为　 　．
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出小强所获奖品总值不低于30元的概率为多少？
21．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长．
22．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
24．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝＝＝2﹣，
所以a﹣2＝﹣．
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1．
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝　 　．
（2）计算：+++…+；
（3）若a＝，求4a2﹣8a+1的值．
25．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB＝12，tan∠ADB＝．求：
（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）填空：AB＝　 　cm；
（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且，连接CE，求CE．（用t的代数式表示）．
参考答案
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分，请把答案填入下列表格中）
1．化简的结果为（　　）
A．5 B．10 C．5 D．5
【分析】根据积的算术平方根的性质进行解答即可．
解：＝5，
故选：D．
2．下列运算中正确的是（　　）
A．＝4 B．＝21 C．＝ D．9×＝3
【分析】根据二次根式的乘法法则计算，判断即可．
解：A、×＝＝4，本选项计算错误，不符合题意；
B、×＝，本选项计算错误，不符合题意；
C、×＝，本选项计算错误，不符合题意；
D、9×＝9×＝9×＝3，本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．如果＝3a﹣2，那么a的取值范围（　　）
A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
解：由题意可知：3a﹣2≥0，
∴a≥，
故选：C．
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．
解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据tanA＝求出第三边长的表达式，求出cosA即可．
解：如图：
设BC＝5x，
∵tanA＝，
∴AC＝12x，AB＝＝13x，
∴cosA＝＝＝．
故选：D．
6．以下说法合理的是（　　）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选：D．
7．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
8．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】熟练掌握比例和分式的基本性质，进行各种演变．
解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO＝2：3，进而得出答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
10．某人沿坡度为i＝1：的山路行了20m，则该人升高了（　　）
A．20m B．m C．m D．m
【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．
解：设该人升高了x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得x2+（x）2＝202．
则x＝．
故选：C．
11．已知等腰△ABC的两边分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
【分析】因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．
解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
由三角形三边关系知，此等腰三角形的三边长度分别为3、7、7，
所以△ABC的周长为3+7+7＝17，
故选：A．
12．如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】依据△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，进而得到∠AMN＝∠ABC；依据△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得图中共有8对相似三角形；依据AN＝AC，△AMN∽△ABC，即可得到，即BC＝2MN．
解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ANC＝∠AMB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABM∽△ACN，
∴，即，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；
由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵Rt△ACN中，∠A＝60°，
∴∠ACN＝30°，
∴AN＝AC，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，
即BC＝2MN，故③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个题，每小题3分，共18分）
13．如果y＝+5，那么xy的值是 　25　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，计算即可．
解：由题意得：5﹣x≥0，x﹣5≥0，
则x＝5，
∴y＝5，
∴xy＝5×5＝25，
故答案为：25．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有　17　个．
【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中红球约有17个．
故答案为：17．
16．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，∠ACD＝30°，若AD＝3，则BC的长等于 　6　．
【分析】利用直角三角形30度角的性质求出AAC＝6，再利用直角三角形斜边中线的性质求出DE，再利用三角形中位线定理求出BC即可．
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝6，
∵AE＝EC，
∴DE＝AC＝3，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝6，
故答案为：6．
17．已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：a◎b＝，如6◎15＝＝＝，已知m，n是一元二次方程x2﹣21x+7＝0的两个不相等的实数根，则[（m+n）◎mn]◎＝　　．
【分析】由根与系数的关系求解即可．
解：∵m、n是关于x的方程x2﹣21x+7＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝21，mn＝7．
∴[（m+n）◎mn]◎＝（21◎7）
＝◎
＝◎
＝◎
＝
＝
＝．
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 　217　．
【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．
解：∵OA1＝1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，B1A2＝，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3＝2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（29，29）．
∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．
故答案为217．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（1）计算：
（2）解方程x2+6x＝0
【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）原式＝3﹣
＝2；
（2）x2+6x＝0，
x（x+6）＝0，
x＝0，x+6＝0，
x1＝0，x2＝﹣6．
20．小利参加某网店的“翻牌抽奖”活动，4张牌分别对应价值5，10，20，50（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中50元奖品的概率为　　．
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出小强所获奖品总值不低于30元的概率为多少？
【分析】（1）根据概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于30元的结果数，利用概率公式计算可得．
解：（1）因为在价值为5，10，20，50元的4件奖品中，价值为50元的奖品只有1张，
所以抽中50元奖品的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于30元的有8种，
所以所获奖品总值不低于30元的概率为＝．
21．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长．
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACE＝∠BAD，∠DAC＝∠B，即可证明△ABD∽△CAE；
（2）结合（1）△ABD∽△CAE，对应边成比例即可求出AE的长．
解：（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE．
∵∠CED＝∠EAC+∠ACE，∠CDE＝∠BAD+∠B，
又∠DAC＝∠B，
∴∠ACE＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠B．
∴△ABD∽△CAE．
（2）∵△ABD∽△CAE，
∴，
即，
解得，AE＝4．
22．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，构建方程即可解决问题；
解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF，
∴60﹣x＝20+x，
∴x＝40﹣60，
∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），
∴CD的长为（80﹣120）米．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
【分析】（1）方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出p的值．
【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p），
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2，
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：由韦达定理知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p，
∵x12+x22＝3p2+5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，
∴p2﹣2p﹣8＝0，
解得：p＝﹣2或4，
∴p＝﹣2或4．
24．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝＝＝2﹣，
所以a﹣2＝﹣．
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1．
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝　﹣1　．
（2）计算：+++…+；
（3）若a＝，求4a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）根据题意得出a的值，再得出a2﹣2a＝1，再把已知变形得出答案．
解：（1）＝＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
（3）因为a＝＝＝+1，
所以a﹣1＝．所以（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2．
所以a2﹣2a＝1．
所以4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
25．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB＝12，tan∠ADB＝．求：
（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．
【分析】（1）根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出BD，根据平行线的性质得到∠DBC＝∠ADB，根据余弦的定义计算即可；
（2）根据余弦的定义求出BC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：（1）在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∵tan∠ADB＝，AB＝12，
∴AD＝16，
∴BD＝＝＝20，
∴cos∠ADB＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴cos∠DBC＝cos∠ADB＝，
答：∠DBC的余弦值为；
（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC＝，
则＝，即＝，
解得：BC＝25，
∵AD∥BC，
∴＝，即＝，
解得：DE＝，
答：DE的长为．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）填空：AB＝　5　cm；
（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且，连接CE，求CE．（用t的代数式表示）．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分＝或＝两种情况，列出比例式计算即可；
（3）作HE⊥CE交AC于H，证明△PEH∽△QEC，根据相似三角形的性质和勾股定理计算．
解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），
故答案为：5；
（2）由题意可知：PC＝2t，QB＝t，
则CQ＝5﹣t，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴当＝或＝时，△PCQ与△ACB相似，
当＝时，＝，
解得，t＝2.5，
当＝时，＝，
解得，t＝1，
∴当t＝1或2.5秒时，△PCQ与△ACB相似；
（3）如图，过点E作HE⊥CE交AC于H，
则∠QEC＝∠PEH，
∵∠EHP+∠ECP＝∠QCE+∠ECP＝90°，
∴∠EHP＝∠ECQ，
∴△PEH∽△QEC，
∴
∴，
∴，
在Rt△HEC中，EC2+EH2＝HC2，即
∴，
∴CE＝3+t．