北师大版八年级数学下册 第一章 名校优选检测题【含答案】

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北师大版八年级数学下册 第一章 名校优选检测题
(满分120分，考试用时120分钟)
姓名：________　　　班级：________　　　　分数：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
4．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C
6．下列四个命题的逆命题中是假命题的是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等　
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若a2＝b2，则|a|＝|b|
7．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B两处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15 n mile B．20 n mile C．30 n mile D．求不出来
8．将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝ 60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．(2，4) B．(2，4)或(3，4)
C．(3，4)或(8，4) D．(2，4)或(3，4)或(8，4)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 ．
12．若等腰三角形的一个底角为72°， 则这个等腰三角形的顶角为 .
13．命题“等腰三角形两腰上的高相等”，则它的逆命题是 ，该命题是 (选填“真”或“假”)命题．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，AD＝BD，则∠B＝ .
15．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 .
16．如图，在高为2 m，坡度为30°的楼梯表面铺地毯，地毯长度为 .
17．(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时与左墙角距离0.7 m，顶端离地2.4 m，如果底端不动靠右墙，此时顶端离地2 m，则小巷的宽度为 m.
18．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；
……
这样画下去，直到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ .
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知：∠ABC及射线BC上的一点D.
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
20．(10分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
21．(12分)如图，由正方形组成的网格中的△ABC，若小方格边长为1，请根据所学的知识．
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．
22．(12分)如图，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点(点P可与点A重合，但不能与点B重合)．过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q；设BP＝x.
(1)用含x的代数式表示AQ；
(2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．
23．(12分)已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
(1)直线BF垂直CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直CE交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
24．(12分)(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A ，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，求证：DE＝BD＋CE；
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（D）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为（B）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数是（C）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
4．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为（B）
A．45° B．55° C．35° D．65°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论中不一定成立的是（A）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C
6．下列四个命题的逆命题中是假命题的是（C）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等　
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若a2＝b2，则|a|＝|b|
7．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B两处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（C）
A．15 n mile B．20 n mile C．30 n mile D．求不出来
8．将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数为（B）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（D）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝ 60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（D）
A．(2，4) B．(2，4)或(3，4)
C．(3，4)或(8，4) D．(2，4)或(3，4)或(8，4)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是AB＝AC(答案不唯一)．
12．若等腰三角形的一个底角为72°， 则这个等腰三角形的顶角为36°.
13．命题“等腰三角形两腰上的高相等”，则它的逆命题是两边上的高相等的三角形是等腰三角形，该命题是真(选填“真”或“假”)命题．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，AD＝BD，则∠B＝30°.
15．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为16.
16．如图，在高为2 m，坡度为30°的楼梯表面铺地毯，地毯长度为(2＋2)m.
17．(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时与左墙角距离0.7 m，顶端离地2.4 m，如果底端不动靠右墙，此时顶端离地2 m，则小巷的宽度为2.2 m.
18．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；
……
这样画下去，直到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝9.
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AA2的度数，∠A2A1A3的度数，∠A3A2A4的度数，∠A4A3A5的度数，……，依此得到规律，再根据∠Ak＋1AkAk＋2＜90°即可求解．
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知：∠ABC及射线BC上的一点D.
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
解：作∠ABC的平分线与BD的垂直平分线，两条直线相交于点P，连接PD.如图，△PBD为所求作的等腰三角形．
20．(10分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF.
∴△ABC和△DEF都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴BC＝EF，
∵BC＝BE＋CE，EF＝BE＋BF，
∴CE＝BF.
21．(12分)如图，由正方形组成的网格中的△ABC，若小方格边长为1，请根据所学的知识．
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．
解：(1)S△ABC＝8×4－×8×1－×2×3－×6×4＝13.
(2)△ABC是直角三角形，理由：
∵AB2＋BC2＝13＋52＝65，AC2＝82＋12＝65，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．
22．(12分)如图，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点(点P可与点A重合，但不能与点B重合)．过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q；设BP＝x.
(1)用含x的代数式表示AQ；
(2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2.
∵在△BPE中，PE⊥BC，∠B＝ 60°.∴∠BPE＝30°.
∵BP＝x，∴BE＝x，CE＝2－x.
同理可得CF＝1－x，AF＝2－CF＝1＋x，AQ＝＋x.
∴AQ＝＋x(0＜x≤2)．
(2)当点P与点Q重合时，BP＋AQ＝2，得
x＋＋x＝2，解得x＝.
∴当BP的长等于时，点P与点Q重合．
23．(12分)已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
(1)直线BF垂直CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直CE交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
(1)证明：∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG.∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°，
又∠ACE＋∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，∠CAE＝∠BCG，CA＝BC，
∠ACE＝∠CBG，∴△AEC≌△CGB(ASA)，
∴AE＝CG.
(2)解：BE＝CM.理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，又AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，
∴△CAM≌△BCE(AAS)，∴BE＝CM.
24．(12分)(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A ，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，求证：DE＝BD＋CE；
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)解：成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝ α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠DBA＝∠CAE.
∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(3)解：△DEF为等边三角形，理由：
由(2)知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴BF＝AF，∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE.∴△DBF≌△EAF(SAS)，
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
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