课件54张PPT。第二章 函数理解教材新知
§1
&
§2
生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三2.1
生活中的变量关系
函数
概念考点四2.1 生活中的变量关系 函数的概念 世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
问题1：某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
提示：没有依赖关系，不是函数关系． 问题2：储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
提示：具有依赖关系，但不是函数关系．
问题3：在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？
提示：具有依赖关系，也是函数关系． 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有
的值时，才称它们之间具有函数关系.唯一确定 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2.
问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}． 问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什么？
提示：B＝{h|0≤h≤845}．
问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应． 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中 数x，在集合B中都存在 的数f(x)与之对应，那么就把 f叫做定义在集合A上的函数，记作 .此时，x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 叫做函数的值域，习惯上称 .任何一个唯一确定对应关系f：A→B，或y＝f (x) x∈A{ f (x)| x∈A}y是x的函数1．区间[a，b][a，b][a，b][a，b] 2．无穷大
概念：实数集R可以用区间表示为 ，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x 2．对函数的理解：
(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为
x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则；
y是自变量的函数，当x取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
3．区间是连续数集的另一种表示形式． [例1] 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？
①正方形的面积和它的边长之间的关系；
②姚明罚球次数与进球数之间的关系；
③施肥量与作物产量之间的关系；
④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系． [思路点拨] 先分析是否存在依赖关系，再去判断是否有函数关系．
[精解详析] ①、②、③、④中两个变量都存在依赖关系，其中①、④是函数关系，②、③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系．
[一点通] 分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产
量为y千克，则 ( )
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
解析：小麦总产量与施肥有关系，但这种关系又不是
确定的．
答案：A2．下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？
(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均
车速之间的关系；
(2)化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之
间的关系．
解：(1)是函数关系．其中时间是自变量，速度是因变
量；反之也行；
(2)是函数关系．其中溶质是自变量，溶液浓度是因变
量；反之也行． [思路点拨] 判断函数的定义域和对应关系是否一致．
[精解详析] (1)f(x)的定义域中不含有元素2，而g(x)定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．
(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数． (3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．
(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此不是同一函数．
[一点通] 函数有三个要素：定义域、值域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域和对应法则相同，这两个函数就是同一函数．答案：D4．如图所示，可表示函数y＝f(x)图像的只能是 ( )解析：判断一个图像是否是某一个函数的图像，应看它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某种确定的对应关系，都有唯一确定的数y与它对应．对于A、C中令x＝0，有两个y与之对应．而B中，当x取大于0的任意值时，也都有两个y值与之对应．
答案：D [思路点拨] 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．[精解详析] (1)显然定义域为{1,2,3,4,5}；所以x<0且x≠－1.
所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠－1}． [一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
2．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．答案：B如图，即x<－3，或－3当然也可以表示为{x|x<－3，或－3又∵－5≤x≤－2，∴－4≤x＋1≤－1.
∴1≤(x＋1)2≤16.
∴－12≤4－(x＋1)2≤3.
∴所求函数的值域为[－12,3]． [一点通]
函数的值域就是函数值构成的集合，即{f(x)|x∈A}，其中A为定义域．所以求函数的值域首先确定函数的定义域．
求函数的值域常常没有固定的方法，常见的有：
(1)观察法；
(2)由函数的图像，运用数形结合的方法确定值域； (3)化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域——配方法；
(4)利用二次三项式的判别式求值域——判别式法；
(5)采用换元法求值域；
(6)利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域．答案：C 1．集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的方法．一般地，用哪种方法表示取值范围应该与原题的表示方法保持一致，在没有明确的要求下，一般选择比较简便的表示法．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法：
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内移动直线l； ③若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3．函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值集合，一般转化为解不等式或不等式组的问题．
4．求函数的值域方法较多，常用的有配方法、换元法、分类讨论法和数形结合法．在利用换元法时，注意新元的范围．点击下列图片进入应用创新演练课件47张PPT。第二章 函数理解教材新知
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生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
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函
数
的
表
示
法考点四 某汽车行驶的速度是60千米/小时，行驶t(t∈[0,5])小时的路程为s.
问题1：s关于t的表达式是什么？定义域是什么？
提示：s＝60t，t∈[0,5]．
问题2：还能用其他方法来表示该函数吗？
提示：可用函数图像，表示如下：函数的三种表示法解析表达式表格的形式图像(简称解析式) 如果笔记本数不超过5本时，每本按5元/本，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．
问题1：用列表法表示钱数y与笔记本数x的函数，怎样表示？
提示：问题2：该函数能用解析法表示吗？怎样表示？
提示：能． 在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着 对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．不同的三种表示法的特点 [例1] 作出下列函数的图像
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[思路点拨] (1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响． [精解详析] (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分； (2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示． [一点通]
1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点． 1．如图，函数y＝|x＋1|的图像是 ( )答案：A答案：C[一点通]
求函数解析式的常用方法：
(1)由实际问题建立函数关系式．
(2)待定系数法．
(3)换元法，注意新元的取值范围．
(4)构造方程法．
(5)代入法．3．已知f (x)＝x2－1，g(x)＝x＋1则 f (g(x))＝_______.
解析：f (g(x))＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
4．求函数的解析式．
(1)已知f(x)是二次函数且f (0)＝－1，f (x＋1)－f (x)＝
2x＋2，求f (x)；
(2)已知af (x)＋f (－x)＝bx，其中a≠±1，求f (x)． [一点通]
1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值；
2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．解析：f(1)＝3×1－6＝－3，
∴f(f(1))＝f(－3)＝－3＋5＝2.
答案：A答案：－1 [例4] 如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域． [思路点拨] 可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制． [一点通] 此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．7.如图所示，用长为l的铁丝弯
成下部分为矩形，上部为半
圆形的框架，若矩形底边长
为2x，求此框架围成的面积
y与x的函数关系式，并指出其定义域．8．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图
所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数
为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数
s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像．解：(1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.这个函数的图像如图所示． 2．作函数图像时应注意以下几点：
(1)在定义域内作图；
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
3．分段函数是生产生活中的重要函数模型，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选取相应的对应关系．点击下列图片进入应用创新演练课件38张PPT。第二章 函数理解教材新知
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生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
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映
射 函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”，现在把数集扩展到任意的集合．某校高二(16)班有60名同学， 同学们的姓名构成集合A.
问题1：若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
提示：是的． 问题2：若C＝{男，女}，那么A、C之间怎样对应？
提示：集合A中任意一个同学，C中有唯一的性别与之对应．
问题3：若同学们某次的成绩构成集合D.那么从集合D到集合A的对应与上面的对应一样吗？
提示：不一样，某个成绩可能有几名同学与之对应． 1．映射的定义
设A、B是两个非空集合，两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的 元素x，B中总有
的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作 .
A中的元素x称为 ，B中的对应元素y称为x的
，记作： .每一个唯一f：A→B原像像f：x→y2．一一映射
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
(1)A中每一个元素在B中都有 的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像 ；
(3)B中的每一个元素都有 ．唯一也不同原像 3．映射与函数
设A、B是两个 ，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．
在函数中， 的集合称为定义域， 的集合称为值域．非空数集原像像 1．对映射概念的理解
①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个
(或多个)元素可能有相同的像；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”． 2．对一一映射概念的理解
(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同，A，B中元素都不剩余．
(2)集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
3．映射与函数是不同的概念，函数是一种数集到数集的特殊的映射． [一点通]
1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．解析：选项C中，集合M中有些元素没有像，比如5,6，因此不是映射，其他均是映射．
答案：C解析：①是映射，不是一一映射．因为集合B中有些元素(正整数)没有原像；②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数；③是映射，不是一一映射．因为集合A中有不同元素对应集合B中的同一个元素；④不是映射．因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2)；⑤是映射，是一一映射．因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆．等边三角形边长不同，圆的半径也不同．
答案：D [一点通] 在求像和原像时要分清原像和像，特别由原像到像的对应关系，对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可．对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解．答案：B4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2，
3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像， 且
对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B
中的元素的个数是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
答案：A [例3] 已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}．
(1)试建立一个从A到B的映射；
(2)从A到B的映射共有多少个？
[思路点拨]
根据映射的定义，建立从A到B的映射，
只要使A中的每一个元素在B中有唯一确定
的元素与之对应即可．用列举的方法，不难得出答案．
[精解详析] (1)如图1所示．(答案不唯一) (2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如图2所示． [一点通] 对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．5．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满
足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为 ( )
A．2 B．3
C．5 D．8
解析：满足条件的映射有－1＋1＝0,1＋(－1)＝0,0＋0＝
0,3个．
答案：B6．若把本例(2)改为：从B→A的映射有________个．
解析：用列举法写出映射共有23＝8.
答案：81．映射和一一映射的区别与联系 2．映射个数：关于集合A到B构成映射的个数问题要充分利用映射定义，用分类讨论的思想，使得集合A中的任何一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，从而确定出映射个数．
3．在求像与原像问题上，有解析式的只要列出方程即可，要特别注意有图表情况的，要找好对应关系．点击下列图片进入应用创新演练课件38张PPT。第二章 函数理解教材新知
§3
函
数
的
单
调
性把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二给定了几个函数的图像 问题1：从图像上升或下降的角度，你能描述一下上面几个函数的变化规律吗？ 提示：(1)中，从左向右是上升的．
(2)中，从左向右在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
(3)中，从左向右上升→下降→上升．
问题2：以上几个图像的升与降反映了函数值y与自变量x怎样的变化规律？
提示：在上升部分的图像上，y随x的增大而增大，在下降部分的图像上，y随x的增大而减小． 对于函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A，
(1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 ．
(2)如果对于 两数x1，x2∈A，当x1 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 ．f(x1)f(x2)递减的函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下： 问题：该函数的图像在哪些区间上呈上升趋势？在哪些区间上呈下降趋势？
提示：在区间[－3，－2]，[2,3]上呈上升趋势，
在区间[－2,2]上呈下降趋势． 1．单调性
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为 ；如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
2．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，分别称这个函数为 或 ，统称为单调函数．单调区间增函数减函数 1．单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1< x2；三是属于同一个单调区间． 3．单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x1x2)．
4．并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． [一点通]
用定义判断或证明单调性的步骤：
(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1 (2)作差变形：计算f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方和)．
(3)定号：确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论．
(4)判断：根据f(x2)－f(x1)的符号及定义判断函数的单调性．函数图像如图所示． 函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增函数；
函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． [一点通] 利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接．3．函数y＝|x|(1－x)的单调增区间为________．4．已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的单调区间． [一点通] 函数单调性的应用比较广泛，主要有：
(1)求参数的范围；(2)解不等式；(3)比较大小．解题时，注意分类讨论和数形结合思想的应用 .5．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则 ( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2) C．f(a2－1) x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)＝________.答案：137．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1) x＋2在区间(－∞，4]上是减函
数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3. (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0时单调减区间为(－∞，m]，
单调增区间为[m，＋∞)；a<0时单调增区间为(－∞，m]，单调减区间为[m，＋∞)．
(4)函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
2．判断函数单调性的方法：①定义法；②图像法． 3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可．点击下列图片进入应用创新演练课件43张PPT。第二章 函数理解教材新知§4
二次函数性质的再研究把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.1
二次函数的图像 给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
提示：f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像． 问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像？
提示：把f(x)＝2x2的图像沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位，即可得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像．
问题3：f(x)＝2x2与f(x)＝－2x2的图像有什么区别？
提示：开口大小相同，开口方向相反． 1．二次函数的定义
函数 叫做二次函数，定义
域为 .
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的
坐标变为原来的 倍得到；
(2)从图中可以看出，二次函数y＝ax2(a≠0)中的a决定了
图像的 和在同一直角坐标系中的 ；f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)R纵a开口方向开口大小 (3)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的 及 ；h决定了二次函数图像的
，而且“h正 移，h负 移”；k决定了二次函数图像的 ，而且“k正 移，k负 移”．开口大小方向左、右平移左右上、下平移上下 作二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像有两种方法：一是将f(x)＝ax2＋bx＋c配方，然后利用列表、描点、连线的方法作出．二是先作出 f(x)＝x2的图像，然后通过图像变换得到 f(x)＝ax2＋bx＋c的图像． [例1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
[思路点拨] 对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．[精解详析] (1)列表： 描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x
的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图像向右平移
1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，
然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移
2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像． 法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移一个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到
y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像． [一点通] 任意抛物线y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示． 即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．
(1)利用二次函数的对称性列表：[例2] 根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)、(4,0)、(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)、(0,2)、(3,5)．[思路点拨] [一点通]
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为常数，a≠0的形式． (2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k
(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)
(x－x2)(a为常数，且a≠0)．3．若将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像
的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是 ( )
A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2
解析：将y＝－x2的图像向左、向上各平移2个单位，即可
得到原函数的图像，即y＝－(x＋2)2＋2.
答案：B4．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)且过点(2,4)，则
f(x)＝________.
解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，
因为过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
答案：6x2－12x＋45．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值
如下表：求该函数的解析式． [例3] 已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3) x为何值时，y>0，y＝0，y<0?
[思路点拨] (1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像； (2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y>0)时x的取值范围，y＝0与y<0时亦可得．
[精解详析] (1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表：描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示；答案：B7．若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求
实数a的取值范围．解：令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.
作出f(x)的图像如图所示．∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．
由图可知①当a<－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－
2x－3＝a无实根；②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；③当a>－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根．
缩上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数
a的取值范围是(－4，＋∞)． 1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式． 3．在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可．点击下列图片进入应用创新演练课件43张PPT。第二章 函数理解教材新知§4
二次函数性质的再研究把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.2
二次函数的性质对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24.
问题1：将该二次函数化成顶点式．
提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32.
问题2：该函数的单调区间是什么？
提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)．
问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？
提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质上下 配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地反应在大脑中．[思路点拨] [一点通]
1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．答案：D2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数
a的取值范围．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求
实数a的值．
解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对
称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，
由题意(－∞，a]?(－∞，2)，
∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞)
(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2. [例2] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[思路点拨] (1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系，就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论． [精解详析] ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3；
(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；(3)①当t>1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2. [一点通]
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a
的取值范围是 ( )
A．0≤a≤1 B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
________，最大值是________．答案：－3 96．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2ax＋a在区间[0,3]上的
最小值为－2，求a的值． [例3] 某企业生产的一种电器
的固定成本(即固定投资)为0.5万元，
每生产一台这种电器还需可变成本
(即另增加投资)25元，市场对这种
电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元) (1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？
[思路点拨] 解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式进而求出纯收益的最大值．[一点通] 解答实际问题的步骤为：7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：
万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为
销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆
车，则能获得的最大利润为 ( )
A．45.606万元 B．45.56元
C．45.6万元 D．45.51万元解析：设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆，
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
答案：C8．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空
间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当
的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨
和空闲率 的乘积成正比，比例系数为
k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件． 1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围，应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参数的不等式，从而求解得出参数的取值范围． 2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论，点击下列图片进入应用创新演练课件37张PPT。第二章 函数理解教材新知§5
简
单
的
幂
函
数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二 我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：
(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；
(2)如果正方形场地面积为x，其边长为y.
问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？
提示：y＝x3. 如果一个函数，底数是 ，指数是 ， 即y＝ ，这样的函数称为幂函数.自变量x常量αxα (1)一般地，图像关于 对称的函数叫作奇函数，图像关于 对称的函数叫作偶函数．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)一定是偶函数．
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)一定是奇函数．原点y轴任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x) 1．幂函数的定义是一种形式上的定义，只有符合
y＝xα这种形式的函数才是幂函数．
2．奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．[答案] B [一点通] 幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一．答案：A ∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图像如图，由图像可知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x) [一点通] 研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题．解析：x应满足x2－2x>0，解得x>2或x<0.
答案：B解析：因为幂函数y＝xα的图像恒过定点(1,1)，所以函数y＝(x－1)α恒过定点(2,1)．
答案：(2,1)(4)当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3
＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知，f(x)为奇函数． [一点通]
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称．
(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶．
若定义域关于原点对称，看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系．
(3)若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，
∴f(－x)＝(－x＋1)(－x－a)＝f(x)恒成立．
∴x2＋(a－1)x－a＝x2－(a－1)x－a恒成立．
∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义
域为[a－1,2a]，求f(x)的值域． 3．判断函数的奇偶性的方法：
(1)定义法；
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数．点击下列图片进入应用创新演练课件12张PPT。第二章 函数核心要点归纳章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测 一、对函数的进一步认识
1．函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应法则．函数的值域是由定义域和对应法则所确定的．
2．研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示． 3．函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．
4．分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．
5．函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像． 二、函数的单调性
1．函数的单调性是函数的一个重要性质．它具有突出的地位和作用，它从定义域或定义域的部分区间上反映了函数值的变化趋势．
2．有些函数在整个定义域上是增函数或减函数，有些函数是在定义域的某个子集上是增加的或减少的．要能从图像上写出函数的单调区间，更要能从定义理解上证明或判断函数的单调性． 三、二次函数性质的再研究
1．二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图像与x轴的两个交点坐标．并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式． 2．二次函数的图像有两种画法：即描点法和图像变换法．
3．研究二次函数的性质，主要包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． 四、简单的幂函数
1．幂函数是形式定义，只有具备形式y＝xα的函数才是幂函数．即三个特征：①幂底数为自变量x；②幂指数为常数α；③只有一项且系数为1.
2．函数的奇偶性是函数的另一重要性质，它从定义域整体上反映了函数的性质 . 3．判断函数的奇偶性首先观察定义域是否关于原点对称，若不对称，则称为非奇非偶函数．若对称，再通过研究f(－x)与f(x)的关系作出判断．
4．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．点击下列图片进入阶段质量检测
