课件36张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§1
函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.1
利用函数
性质判定方程解的存在给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
提示：方程的根为－3,1. 问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？
提示：交点为(－3,0)，(1,0)．
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
提示：相等．
问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
提示：在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点
(1)函数的零点：函数y＝f(x)的 与
称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程 的解．
2．零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 ，并且在区间端点的函数值 ，即 ，则在(a，b)内，函数y＝f(x) 零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0连续曲线符号相反f(a)·f(b)<0至少有一个 1．方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．f(a)·f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)．分别有4个零点和1个零点． 3．函数y＝f(x)在区间
(a，b)内存在零点，却不
一定推出f(a)·f(b)<0如图． [例1] 求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20；
(2)f(x)＝x4－1.
[思路点拨] 先因式分解，再确定函数的零点．
[精解详析] (1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝
－(x＋5)(x－4)，
方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.
故函数的零点－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.
[一点通] 求函数的零点常用方法是解方程
(1)一元二次方程可用求根公式求解．
(2)高次方程可用因式分解法求根．1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数
g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，
∴3a－b＝0，
即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx
＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
答案：0，－1 [例2] 判断下列函数有几个零点？
(1)y＝ex＋2x－6；
(2)y＝log2x－x＋2.
[思路点拨] 借助函数的单调性和图像解答．
[精解详析] (1)由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6
在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．
又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6－6＝e3>0.
∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一
个零点； (2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x 与y＝x－2图像交点个数．
在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点． [一点通]
判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．答案：C答案：C5．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，且
f(6)<1，则f(x)＝1的根的个数为________．
解析：设g(x)＝f(x)－1，
由f(－6)>1及f(6)<1，
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0，因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)内有零点．
又当a>0时，g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数．故g(x)仅有一个零点．
故方程f(x)＝1仅有一根．
答案：1 [例3] 当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？
[思路点拨] 当a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
[精解详析] (1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． [一点通]
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与 所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值
范围．7．若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取
值范围”应如何处理？ 1．判断函数零点个数的方法有以下几种：
(1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题．
(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点．
(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定．
(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点． 2．函数的零点的作用：
(1)解决根的分布问题．
(2)已知零点的存在，求字母的范围．
3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑：
(1)二次函数的开口方向
(2)判别式
(3)对称轴
(4)特殊点对应的函数值点击下列图片进入应用创新演练课件41张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§1
函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.2
利用二分法求方程的近似解 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)： 问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.
问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？
提示：能． 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数
y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二 二分法就是通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点．如图． [例1] 利用计算器，求方程lgx＝2－x的近似解．(精确到0.1)
[思路点拨] 解答本题可首先确定lgx＝2－x的根的大致区间，y＝lgx，y＝2－x的图像可以作出，由图像确定根的大致区间，再用二分法求解．
[精解详析] 作出y＝lgx，y＝2－x
的图像，可以发现，方程lgx＝2－x有
唯一解，记为x0，并且解在区间[1,2]内． 设f(x)＝lgx＋x－2，用计算器计算得
f(1)<0，f(2)>0?x∈[1,2]；
f(1.5)<0，f(2)>0?x∈[1.5,2]；
f(1.75)<0，f(2)>0?x∈[1.75,2]；
f(1.75)<0，f(1.875)>0?x∈[1.75,1.875]；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0?x∈[1.75,1.812 5]．在区间[1.75，1.812 5]中的值精确到0.1均为1.8.
∴近似解为1.8. [一点通] 用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在
x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )
A．(1,1.25)内 B．(1.25,1.5)内
C．(1.5,2)内 D．不能确定
解析：由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<0，f(1.5)>0，
所以方程的根在(1.25,1.5)内．
答案：B2．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴方程在[1,1.5]内有实数解，用二分法逐次计算，列
表如下： 至此，可以看出[1.312 5,1.343 75]内的所有值，若精确到0.1都是1.3，∴方程在区间[1,1.5]的实数解精确到0.1的近似解是1.3. [例2] 用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
[思路点拨] [精解详析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下： 因为区间[1.441 406 25,1.443 359 375]内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值． [一点通]
二分法求解步骤：
(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数．
(2)求区间[a，b]的中点c. (3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．
(4)判断a，b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．3．为求函数f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)内的零点的近似值
(精确到0.1)，已得到数据如下表：根据以上数据确定f(x)取(2,3)内的近似零点．
解：由表中数据可知区间[2.531 25,2.546 875]内的所有值若精确到0.1，都是2.5，所以2.5是函数f(x)＝lnx＋2x－6精确到0.1的零点近似值．4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点
(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下： 由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点. [例3] 如图，有一块边长为15 cm
的正方形铁皮，将其四个角各截去一个
边长为x cm的小正方形，然后折成一个
无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的
函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确到0.1 cm)．
[思路点拨] 先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解． [精解详析] (1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0 (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示． 由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程的近似解．
取区间[0,1]的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52.
因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈[0.5,1]．
再取[0.5,1]的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈
－13.31. 因为f(0.75)·f(1)<0，所以x0∈[0.75,1]．
同理可得x0∈[0.75,0.875]；x0∈[0.812 5,0.875]；x0∈[0.843 75，0.875]；x0∈[0.843 75,0.859 375]；x0∈[0.843 75，0.851 562 5]；x0∈[0.843 75,0.847 656 25]，因为区间[0.843 75,0.847 656 25]内的所有值，若精确到0.1都是0.8，所以0.8就是所求函数的近似解．
同理可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.
答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. [一点通] 二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题中，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．5．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选
手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就
把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌
的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：
1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；
700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；
851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰
运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学
思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．6．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球
质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用一架天
平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说
明此球是偏轻还是偏重．如何称？
解：先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4球中．
再取此4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放
在天平上．①若仍平，则“坏球”为4球中未取到的那个球．将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重．
从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重；
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重． 1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点(所谓变号零点即变量在零点两侧取值时函数值符号相反)．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，当达到一定精确度要求时，所得区间内的任意一点就是零点的近似值，在计算时要注意以下两点： (1)选好计算的初始区间，保证所选区间既要符合条件，又要使其长度尽量小．
(2)计算时要注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足这一精确度．
二分法的思想虽然简单，但是在具体使用时，有一定的局限性．①函数y＝f(x)在区间(a，b)内有几个零点时，使用二分法只能一次求得一个零点；②即使y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，f(a)·f(b)<0也未必成立． 点击下列图片进入应用创新演练课件58张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§2
实际问题的函数建模把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二 在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？
问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
提示：指数函数模型． 问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
提示：二次函数模型．
问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M，使用的是什么样的函数模型？
提示：对数函数模型．常用到的函数模型：
(1)正比例函数模型： ；
(2)反比例函数模型： ；
(3)一次函数模型： ；
(4)二次函数模型： ；
(5)指数函数模型：y＝m·ax＋b(a>0，且a≠1，m≠0)；
(6)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0，且a≠1)；
(7)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0).y＝kx(k≠0)y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．
问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示：100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 问题2：按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示： 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
问题3：该公司应该选择哪种方式投资？
提示：第二种．按复利投资． 用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程． 1．函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决．
2．解函数应用问题的步骤 [例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示． (1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)；
写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)
[思路点拨] 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题． [一点通] 处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可
看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价
x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价
与购进价的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想
每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为
合适？最大销售利润为多少？解：(1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为：y＝(x－42)(－3x＋204)，
即y＝－3x2＋330x－8 568；
(2)配方，得y＝－3(x－55)2＋507.
∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产
量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由． [例2] 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
[思路点拨] 先根据增长率的意义列出y与x的函数关系式．[精解详析] (1)1999年底人口数：13亿．
经过1年，2000年底人口数：
13＋13×1%＝13×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年底人口数：
13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%
＝13×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2002年底人口数：
13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%
＝13×(1＋1%)3(亿)．
…
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数：13×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x. (2)∵此问题以年作为单位时间．
∴x∈N＋是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13×(1＋%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长． [一点通]
1．指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为指数爆炸．
2．对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．
注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．
(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝
a(1－p%)x)． 3．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小
的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震
能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这
就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝
lgA －lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准
地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？ [例3] 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型． [精解详析] 设投资额为x万元时，
获得的利润为y万元．在直角坐标系中
画出散点图并依次连接各点，如图所示，
观察散点图可知图像接近直线和抛物线，
因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系． 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；
一次函数的解析式为y＝bx.
把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，
得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示． 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．
令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得
W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，
其中xA＋xB＝12. [一点通]
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
(1)作图：根据已知数据作出散点图；
(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
(4)利用所求得的函数模型解决问题．5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、
火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？解：由数值对应表作散点图如图．6．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中
发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如
下关系(见下表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写
出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元
时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据上表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)它们近似在同一条直线上，设直线(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． 1．选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合．根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证． 2.解函数应用问题的一般步骤?
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型.?
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论.?
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.? 3．函数拟合问题
对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．点击下列图片进入应用创新演练课件9张PPT。第四章 函数应用核心要点归纳章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测 一、零点与方程的根
1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数
y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，因此求函数y＝f(x)的零点，其实就是解方程f(x)＝0，求其根，方程有几个根，函数就有几个零点．
2．判断y＝f(x)零点的个数有三种方法：①解方程f(x)＝0，求根的个数；②画函数y＝f(x)的图像，看图像与x轴交点的个数；③将g＝f(x)转化为g(x)＝φ(x)，观察函数y＝g(x)和y＝φ(x)的交点的个数． 3．利用零点存在性定理判断零点时，要注意两个条件：
(1)函数在区间[a，b]上的图像不间断，(2)f(a)·f(b)<0，缺一不可.但该定理只能判断出函数在区间上存在零点，而不能确定零点的个数．
4．函数在区间[a，b]上的图像不间断，且函数在区间
(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a，b)上有且只有一个零点． 二、二分法
1．对于函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上不间断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
2．运用二分法的前提条件是先判断函数零点所在的区间，且二分法仅对函数的变号零点适用．
3．求函数零点近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．三、函数建模
1．解答函数应用题的一般步骤是： 2．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．点击下列图片进入阶段质量检测课件63张PPT。高考七大高频考点例析考点一考点三考点五考点二考点四考点六考点七 [例1] (2011·浙江高考)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则 ( )
A．P?Q B．Q?P
C．?RP?Q D．Q??RP
[解析] ∵P＝{x|x<1}，∴?RP＝{x|x≥1}，
又Q＝{x|x>－1}，∴?RP?Q.
[答案] C1．集合A＝，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析：A的子集共23＝8个，含有元素0的和不含元素
0的子集各占一半，有4个．
答案：B2．已知集合A＝{x∈R|－2 则A与B之间的关系为 ( )
A．A? B B．A?B
C．A＝B D．不确定解析：为便于考察A，B中元素的范围，利用数轴把A，B表示出来，如图所示．∵x－5<0，
∴x<5.因此B中元素不能都属于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集的定义知A是B的真子集．
答案：A3．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若
N?M，则实数m＝________.
解析：∵m－1∈N，N?M，∴m－1∈M.
∴m－1＝－8或m－1＝9，∴m＝－7或10.
答案：－7或10[答案] A4．(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．
若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，
解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：C5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，
则A∩B＝ ( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．?
解析：A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y＝x2，
x∈R}＝{y|y≥0}；所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C6．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a2－1,4}，?UA＝
{2，a＋3}，则实数a＝________.答案：2A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)[答案] D7．(2011·课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在
(0，＋∞)单调递增的函数是 ( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为
减函数，y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B答案：D9．(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数
a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
解：(1)当a＞0，b＞0时，因为a·2x、b·3x都单调递增，
所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x、b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减； [例4] (2010·全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．[解析] y＝x2－|x|＋a是偶函数，图像如图所示．10．已知函数f(x)＝x2－4x＋7，则f(4)、f(2)、f(1)的大小
关系是 ( )
A．f(2)＜f(4)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(1)＜f(4) D．f(1)＜f(4)＜f(2)解析：∵f(x)＝(x－2)2＋3是对称
轴为x＝2，且开口向上的抛物线，
画出图像如图所示，可知f(1)＝f(3)，
且[2，＋∞)为函数的递增区间，由
2＜3＜4，知f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．答案：C答案：A[答案] C答案：A答案：A答案：B [例6] (2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
[解析] ∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(x)＝loga3＋3－b>0，
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，
∴n＝2.
[答案] 2 答案：C16．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．
若方程f(x)＝0有2 011个实数解，则这2 011个实
数解之和为________
解析：由f(－x)＝f(x)知，f(x)＝0有1 005对实数解
是成对出现的，它们互为相反数，还有一个根为0，
故这2 011个实数解之和为0.
答案：0据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，
那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．18．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调
控等手段来达到节约用水的目的．某市用水标准为：
水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超
过最低限量a(m3)，只付基本费用8元和每月定额损耗
费c元；若用水量超过a(m3)时，除了付以上的基本费和
损耗费外，超出部分每m3付b元的超额费．已知每户每
月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度
的用水量和支付费用如下表所示，根据表中的数据，
求a、b、c的值.所以2a＝c＋19. ③
不妨设一月份的用水量也超过最低限量，即9＞a.
这时将x＝9代入②中，得9＝8＋2(9－a)＋c，
所以2a＝c＋17与③式矛盾，所以9≤a.
故一月份所支付的费用为8＋c＝9.所以c＝1，a＝10.
所以a，b，c的值分别为10,2,1.
