第一章《三角形的证明》检测卷01（含解析）

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第一章《三角形的证明》检测卷01
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（　　）
A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°
C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°
2．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．40°或100°
3．在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A=50°,∠B=70° B．∠A=70°,∠B=40°
C．∠A=30°,∠B=90° D．∠A=80°,∠B=60°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，交BC于点D．若BC=6cm，则CD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．如果一个等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．以上都不是
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（　　）
A．40 B．80 C．40或360 D．80或360
8．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知 中， ， ，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得 成为等腰三角形，则这样的点P共有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．在等腰 ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．
12．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为　 　.
13．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　 　cm．
14．如图，以△ABC的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝AG＝GC，则∠AGC＝　 　．
15．等腰三角形的两边长为3和6，则这个等腰三角形的周长是 　 　．
16．如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为　 　°．
17．如图，BE和CE分别为 的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°＋ ∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为　 　；
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．
19．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，A'B'与BC交于点D，连接BB′，求线段BB′的长度.
20．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E，求证：∠CFE=∠CEF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，已知：在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．
22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°.求证：BE=AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°.如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN= AM；
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片 和 ．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把 绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当 旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是　 　．
（2）当 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．
25．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为ts.
（1）出发2s后，求△ABP的周长.
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
第一章《三角形的证明》检测卷01
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（　　）
A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°
C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，
∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，
∴∠B=180°－2∠1=∠C，
∵∠C=∠1－∠2，
∴180°－2∠1=∠1－∠2，
∴3∠1－∠2=180°.
故答案为：D.
【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的内角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由三角形外角的性质可得∠C=∠1－∠2，从而可得180°－2∠1=∠1－∠2，据此即得结论.
2．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．40°或100°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个角为100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角为 （180°﹣100°）＝40°；
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可知底角不可能是100°，即顶角是100°，于是根据三角形内角和定理可求得底角的度数.
3．在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A=50°,∠B=70° B．∠A=70°,∠B=40°
C．∠A=30°,∠B=90° D．∠A=80°,∠B=60°
【答案】B
【解析】【解答】解；①∵在△ABC中 ，∠A=50°,∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ,
∴∠A≠∠B≠∠C ,
∴此三角形不是等腰三角形，故A不符合题意；
②在△ABC中 ，∠A=70°,∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=70° ,
∴∠A＝∠B,
∴此三角形是等腰三角形，故B符合题意；
③∵在△ABC中 ，∠A=30°,∠B=90°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=60° ,
∴∠A≠∠B≠∠C ,
∴此三角形不是等腰三角形，故C不符合题意 ;
④在△ABC中 ，∠A=80°,∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A－∠B=40° ,
∴∠A≠∠B≠∠C ,
∴此三角形不是等腰三角形，故D不符合题意 ;
故应选 ：B 。
【分析】根据三角形的内角和分别算出三角形的第三个内角的度数，然后看三角形中是否有两个内角相等，若有，则此三角形就是等腰三角形，从而得出答案。
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，交BC于点D．若BC=6cm，则CD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= （180°﹣∠BAC）=30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=120°﹣90°=30°=∠B，
∴AD=BD，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD，
∵BC=6cm，
∴3BD=6cm，
∴BD=2cm，CD=4cm，
故选C．
【分析】求出∠B=∠C=30°，推出CD=2AD，求出∠BAD=∠B=30°，推出AD=BD，得出3BD=6cm，求出即可．
5．如果一个等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．以上都不是
【答案】B
【解析】【解答】解：当3厘米是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7厘米是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17（厘米）.
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：当3厘米是腰时，根据三角形三边的关系得出不能构成三角形，舍去；当7厘米是腰时，底是3，求出等腰三角形的周长，即可求解.
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC= （180°﹣∠A）= （180°﹣40°）=70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选B．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
7．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（　　）
A．40 B．80 C．40或360 D．80或360
【答案】C
【解析】【解答】①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，
在Rt△ABD中，
AD= ，
CD=AC AD=10 8=2，
在Rt△BDC中，
BC2=BD2+CD2=62+22=40；
②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，
在Rt△ABD中，
AD= ,
CD=AC+AD=10+8=18，
在Rt△BDC中，
BC2=BD2+CD2=62+182=360；
综上所知，以底边为边长的正方形面积为40，360.
故填40，360.
【分析】解答此题需分两种情况：①当等腰三角形的顶角为锐角时，这时腰上的高在三角形的内部；②当等腰三角形的顶角为钝角时，这时腰上的高在等腰三角形的腰的延长线上；进一步利用勾股定理解答即可．
8．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】 ①证明：如图，连接NP、MP，
在△ANP和△AMP中，
∵，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的∠平分线，正确；
② 在△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，正确；
③∵∠DAB=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴D在AB的中垂线上，正确；
④ 在△ACD中，
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD=BD，
∴BC=3CD，
∵S△DAC=AC×CD， S△ABC=AC×BC=AC×3CD=3S△DAC，
∴S△DAC:S△ABC = 1:3，正确.
综上，正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】①利用边边边定理即可证明△ANP≌△AMP，从而推出AD是∠BAC的平分线；②根据余角的性质，结合AD是∠BAC的平分线可求∠ADC的度数；③根据等角对等边的性质即可求出DA=DB，则D在AB的中垂线上；④先推出BC=3CD，然后利用三角形的面积公式可得S△DAC:S△ABC 的值.
9．如图，已知 中， ， ，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得 成为等腰三角形，则这样的点P共有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，使得 成为等腰三角形，分 、 、 三种情况分析：
当 时，点P位置再分两种情况分析：
第1种：点P在点O右侧， 于点O
∴
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，不符合题意；
第2种：点P在点O左侧， 于点O
设
∴
∴
∴
∴ ，点P存在，即 ；
当 时， ，点P存在；
当 时， ，即点P和点C重合，不符合题意；
∴符合题意的点P共有：2个
故答案为：B.
【分析】分三种情况分析讨论，在BC边上取一点P (点P不与点B、C重合) ，使得△ABP成为等腰三角形，即AP= BP、AB= BP，AB=AP ; 根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，设OP=x，利用勾股构造方程求解，再判断即可.
10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，
∴DE=BE+CD﹣BC=5，
∴MN= DE= .
故答案为：C.
【分析】很容易利用ASA判断出△BNA≌△BNE，根据全等三角形的对应边相等得出BA=BE，故△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得出点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），故MN是△ADE的中位线，然后根据等式的性质及等量代换、三角形的周长计算方法得出BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，进而再根据DE=BE+CD﹣BC算出DE的长最后根据三角形的中位线定理得出MN= DE= 。
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．在等腰 ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．
【答案】80°
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠A=180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
12．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为　 　.
【答案】15
【解析】【解答】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；
故答案为：15.
【分析】分3为底、3为腰，利用三角形的三边关系确定能否构成三角形，进而求出周长.
13．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　 　cm．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．
故答案为：6．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到角两边的距离相等得出DB=DC，然后根据三角形周长的计算方法及等量代换即可算出答案。
14．如图，以△ABC的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝AG＝GC，则∠AGC＝　 　．
【答案】108°
【解析】【解答】解：题意所作可知 为 的角平分线，
∵AB＝AG＝GC，
∴ ， ，
∵ ，
设 ，则 ， ，
则： ，
解得： ，
∴∠AGC＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理，计算得到∠AGC即可。
15．等腰三角形的两边长为3和6，则这个等腰三角形的周长是 　 　．
【答案】15
【解析】【解答】解：当腰为3时，∵3+3=6，不能构成三角形；
当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15.
故答案为：15.
【分析】因为没明确底和腰，分情况讨论，然后根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，最后求周长即可.
16．如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为　 　°．
【答案】15
【解析】【解答】
设∠A=x°，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠A=x°，
∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°，
∵ED=DB，
∴∠ABD=∠BED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵DB=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∠ABC=120°，
∴120+x+3x=180，
解得：x=15，
∴∠A=15°．
故答案为：15
【分析】设最小角∠A的度数为x°，由题可得∠DEB=∠DBE=2x°，根据三角形外角定理，∠C=∠BDC=3x°，所以∠A＋∠C+120°=180°，得出∠A=x°=15°。
17．如图，BE和CE分别为 的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°＋ ∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为　 　；
【答案】①②③④⑤
【解析】【解答】 CE平分 ，CF平分
，
即 ，则结论①符合题意
BE平分 ，
是等腰三角形
是AC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
垂直平分AC
，则结论②符合题意
是等腰三角形
，则结论③符合题意
又
，即 ，则结论④符合题意
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
，即
又 CF平分
，则结论⑤符合题意
综上，结论正确的是①②③④⑤
故答案为：①②③④⑤．
【分析】①先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据角的和差即可得；②先根据等腰三角形的判定与性质可得 垂直平分AC，再根据垂直平分线的性质即可得；③先根据三角形的外角性质、角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，由此即可得；④先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质、角平分线的定义即可得；⑤先根据等腰三角形的判定与性质可得 ，从而可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，由此即可得．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．
【答案】解：因为BE平分∠ABC交AC于E，
所以 ，
因为DE垂直平分AB交AB于D，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为∠C=90°，
所以 ，
所以∠A=30°．
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出 ，利用线段垂直平分线的性质得出 ，最后根据 进行求解．
19．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，A'B'与BC交于点D，连接BB′，求线段BB′的长度.
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC=
=2 ，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′= AB=2，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=2
【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出BC、AB的长，再根据图形旋转的性质得出AC=A′C，BC=B′C，再由A′B=A′C即可得出∠A′CB=30°，故可得出∠BCB′=60°，进而判断出△BCB′是等边三角形，故可得出结论.
20．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E，求证：∠CFE=∠CEF．
【答案】证明：如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF.
【解析】【分析】根据三角形的外角性质以及角平分线的性质，可求证出∠CFE=∠CEF。
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，已知：在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．
【答案】（1）解：证明：
在△ABC和△DEC中， ，
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠ 2 = ∠ 4 ， r然后利用AAS判断出ABC≌△DEC，再根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质知∠1＝∠D＝45°，又由知道顶角求等腰三角形底角的方法算出∠3＝∠5＝67.5°，利用邻补角的定义算出答案。
22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中， ，
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，根据同角的余角相等得出∠CFD=∠B，然后由AAS判断出△AEF≌△CEB；
(2)等腰三角形的三线合一得出BC=2CD，根据全等三角形的性质得出AF=BC，从而得出AF=2CD。
23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°.求证：BE=AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°.如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN= AM；
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，AD=BD，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）证明：如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP=90°.
∵∠PAM=45°，
∴∠P=∠PAM=45°，
∴AM=PM.
∵∠BMN=∠AMP=90°，
∴∠BMP=∠AMN.
∵∠DAC=∠P=45°，
在△AMN和△PMB
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN=PB，
∴AP=AB+BP=AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，
∴AP= AM，
∴AB+AN= AM.
【解析】【分析】（1）先证∠BDE=∠ADF，再证△BDE≌△ADF，即可证明BE=AF；（2）过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，先证△AMN≌△PMB，在Rt△AMP中，即可证明AB+AN= AM.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片 和 ．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把 绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当 旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是　 　．
（2）当 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．
【答案】（1）∠AFD＝∠DCA
（2）解：∠AFD＝∠DCA（或成立），理由如下：
由（1）得：△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC﹣∠CBF＝∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF＝∠DEC．
在△ABF和△DEC中，∵ ，∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF＝∠EDC，∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EDF﹣∠EDC，即∠FAC＝∠CDF．
∵∠AOD＝∠FAC+∠AFD＝∠CDF+∠DCA，∴∠AFD＝∠DCA；
（3）解：如图，BO⊥AD．证明如下：
由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC＝∠BDF，BA＝BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA．
∵∠OAD＝∠BAD﹣∠BAC，∠ODA＝∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．
【解析】【解答】解：（1）∠AFD＝∠DCA．证明如下：
∵AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DCA；
【分析】（1）要证∠AFD＝∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF＝∠EDC，推出∠AFD＝∠DCA；（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA＝BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA，继而证得∠OAD＝∠ODA，OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．
25．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为ts.
（1）出发2s后，求△ABP的周长.
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
【答案】（1）解：如图，
由∠C=90°,AB=5cm,BC=3 cm
∴AC=4 cm,
∵动点Р从点C开始，按C→A→B→C的路径运动, 且速度为每秒1cm,出发2s后，则CP=2cm,
∵∠C=90°，
∴PB= ，
∴△ABP的周长为:AP+PB+AB=2+5+ =7+ .
（2）解：①若Р在边AC上时， 如图，
BC=CP=3 cm,此时用的时间为3s,△BCP为等腰三角形;
②若Р在AB边上时，有三种情况：
i） 当BP=CB=3 cm, 如图，
此时AP=2 cm,
P运动的路程为2＋4=6cm,
所以用的时间为6s,△BCP为等腰三角形；
ii)若CP=BC=3cm,
过C作斜边AB的高CD，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴CD==2.4，
在Rt△PDC中，PD=，
∴BP=2PD=3.6 cm，
∴所以Р运动的路程为9-3.6=5.4 cm,
则用的时间为54s, △BCP为等腰三角形；
ili)若CP=BP=2.5 cm，过Ｐ作PD⊥BC，如图，
此时AP=2.5 cm,
P的运动的路程为4十2.5=6.5 cm，
∴用的时间为6.5s,△BCP为等腰三角形.
（3）解：① 当Р点在AC上，Q在AB上, 如图，
则PC=t,BQ=2t-3,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t＋2t-3+3=6,
解得t=2 ;
② 当Р点在AB上，Q在AC上, 如图，
则AP=t-4,AQ=2t-8.
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-4+2t-8=6,
∴t=6,
∴当t为2或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
【解析】【分析】（1）出发2秒，P运动的路径长为2，可知P在AC上，利用勾股定理先求出PB长，则△ABP的周长可求；
（2） ①若Р在边AC上时，BC=CP=3 cm, 根据速度公式可求时间，△BCP为等腰三角形；若Р在AB边上时，有三种情况：②i)若使BP=CB，则BP=3 cm, 则AP长可求，于是P的轨迹长也可求，运用速度公式可求时间，△BCP为等腰三角形；ii)若CP=BC, 过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm, 然后根据勾股定理求得BP=3.6 cm，所以Р运动的路程为9-3.6=5.4 cm,则用的时间为5.4s, △BCP为等腰三角形；ili)若CP=BP，此时AP=2.5 cm, 则P的运动的路程可求，所以用的时间为6.5s,△BCP为等腰三角形。
（3） 分两种情况讨论，①当Р点在AC上，Q在AB上, 则PC=t,BQ=2t-3, 根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，可得t＋2t-3+3=6, 从而求得t ; ②当Р点在AB上，Q在AC上, 则AP=t-4,AQ=2t-8，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，可得t-4+2t-8=6, 求得t即可.
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