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华师版数学九年级下册27.3 圆中计算问题导学案
课题 27.3 圆中计算问题 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.2.了解圆锥的高和母线；3.理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系.
重点 了解弧长及扇形面积计算公式；理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系
难点 会用公式解决问题
教学过程
课前预学 观察图片：【思考】如果知道立交桥的半径和圆心角度数，你能求出一辆汽车在桥上走的路程吗？若圆的半径为r，思考回答下面问题：（1）圆的周长如何计算？（2）圆的面积如何计算？（3）圆的圆心角是多少度？
新知讲解 探究1：弧形的周长如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°. 你能求出这段铁轨的长度吗 (精确到0.01米)如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？ 【思考】下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？ （1）圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（2）圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（3）圆心角是45°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（4）圆心角是n°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r,l=______________因此弧长的计算公式为l=__________【例】如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该扇形的弧长为（ ） B. C. D.温馨提示：①在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，不带单位。②在弧长公式中，已知l、n、r中的任意两个量，都可以求出第三个量。探究2：扇形的面积扇形的定义如图，由________________________________________叫做扇形.如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与组成扇形的弧所对的__________的大小有关. 圆心角越_____，扇形的面积也越_____.怎样计算圆心角为n°的扇形面积呢？我们知道，如果设圆的面积为S，半径为r，那么圆面积的计算公式为S=πr2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢 如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几 （1）圆心角是180°，占整个周角的，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的（ ）。（2）圆心角是90°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的（ ）。（3）圆心角是45°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的（ ）。（4）圆心角是n°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的（ ）。如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为S=____________________【例1】圆心角为60°的扇形的半径为10 cm，求这个扇形的面积和周长. (精确到0.01平方厘米和0.01厘米)温馨提示：①面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的倍数，不带单位。②S扇形、l、n、r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量。③扇形的面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲面三角形，把弧长 l 看成底，r看成底边上的高即可。探究三：圆锥及其面积圆锥的定义：______________________________.母线：______________________________叫做圆锥的母线。母线有__________条，且每条母线都__________圆锥的高：____________________.观察下图，思考问题（1）圆锥的侧面展开图是什么图形？（2）这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？（3）扇形的半径与圆锥的哪一条线段相等？【例2】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形. 试求圆锥底面半径及它的母线长.拓展提高若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积S圆锥侧=l·2πr=πrl圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr（l+r）
课堂练习 1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( )A. 4π B．2π C．3π D．6π2.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A．2π B．4π C．12π D．24π3.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则弧BD的长为( )A．π B. 4π C．2π D．3π4．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是( )A．15π B．30π C．45π D．60π5.若一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的表面积为( )A．15π cm2 B．24π cm2 C．39π cm2 D．48π cm26.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥，求圆锥的表面积．7.【2021·宁波】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中弧CD的长为________cm.(结果保留π)8.【中考·宁波】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）如果设圆心角是n°的扇形半径为r，面积为S，弧长为l弧长的计算公式为l=扇形的面积为（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr圆锥的侧面积S圆锥侧=l·2πr=πrl圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底 =πrl+πr2 =πr（l+r）
板书 课题：27.3 圆中计算问题一、扇形的弧长二、扇形的面积三、圆锥
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27.3 圆中计算问题
华师版 九年级下册
新知导入
观察下面图片
【思考】如果知道立交桥的半径和圆心角度数，你能求出一辆汽车在桥上走的路程吗？
新知导入
若圆的半径为r，思考回答下面问题：
（1）圆的周长如何计算？
（2）圆的面积如何计算？
（3）圆的圆心角是多少度？
·
r
周长l=2πr
面积S=πr2
圆的圆心角是360°
新知讲解
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°. 你能求出这段铁轨的长度吗 (精确到0.01米)
∵圆心角为90°，∴这段铁轨是圆周长的
∵圆周长=2πr=2×π×100=200π
∴这段铁轨的长度= =50π≈157.08（米）
新知讲解
如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？
【思考】下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
新知讲解
（1）圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。
（2）圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。
新知讲解
（3）圆心角是45°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。
（4）圆心角是n°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。
新知讲解
如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r
r
l=
因此弧长的计算公式为
新知讲解
【例】如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
B
温馨提示：
①在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，不带单位。
②在弧长公式中，已知l、n、r中的任意两个量，都可以求出第三个量。
新知讲解
扇形的定义
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关.
圆心角越大，扇形的面积也越大.
怎样计算圆心角为n°的扇形面积呢？
新知讲解
我们知道，如果设圆的面积为S，半径为r，那么圆面积的计算公式为S=πr2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢
如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几
新知讲解
（1）圆心角是180°，占整个周角的 ，因此圆心
角是180°的扇形面积是圆面积的（ ）。
（2）圆心角是90°，占整个周角的( ) ，因此圆
心角是90°的扇形面积是圆面积的（ ）。
新知讲解
（3）圆心角是45°，占整个周角的( ) ，因此圆
心角是45°的扇形面积是圆面积的（ ）。
（4）圆心角是n°，占整个周角的( ) ，因此圆心
角是n°的扇形面积是圆面积的（ ）。
新知讲解
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
因此，扇形的面积的计算公式为
·
新知讲解
【例1】圆心角为60°的扇形的半径为10 cm，求这个扇形的面积和周长. (精确到0.01平方厘米和0.01厘米)
解：∵ n=60，r=10cm，∴扇形的面积为
≈52.36（平方厘米）
新知讲解
【例1】圆心角为60°的扇形的半径为10 cm，求这个扇形的面积和周长. (精确到0.01平方厘米和0.01厘米)
扇形的周长为
≈30.47（厘米）
新知讲解
温馨提示：
①面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的倍数，不带单位。
②S扇形、l、n、r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量。
③扇形的面积公式 与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲面三角形，把弧长 l 看成底，r看成底边上的高即可。
新知讲解
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图.
r
母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
母线
母线有无数条，且每条母线都相等
圆锥有多少条母线？
圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
高
新知讲解
观察右图，思考问题
（1）圆锥的侧面展开图是什么图形？
（2）这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
扇形
扇形的弧长等于底面周长
（3）扇形的半径与圆锥的哪一条线段相等？
扇形的半径与圆锥的母线相等
新知讲解
【例2】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形. 试求该圆锥底面半径及它的母线长.
解：设该圆锥底面的半径为r，母线长为a，
则 2πr=20π， 得 r=10.
又
得 a=30.
新知讲解
拓展提高
h
O
r
l
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底
=πrl+πr2
=πr（l+r）
圆锥的侧面积S圆锥侧= l·2πr=πrl
课堂练习
1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( )
A. 4π B．2π C．3π D．6π
C
2.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π B．4π C．12π D．24π
C
课堂练习
3.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则 的长为( )
A．π
B. 4π
C．2π
D．3π
C
课堂练习
4．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是( )
A．15π
B．30π
C．45π
D．60π
D
课堂练习
5.若一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的表面积为( )
A．15π cm2
B．24π cm2
C．39π cm2
D．48π cm2
B
拓展提高
6.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥，求圆锥的表面积．
解：由题意知，AB＝ ＝10，
所以△ABC绕AC边旋转一周得到的圆锥的母线长为10，底面圆的半径为8，
所以此圆锥的侧面积＝π×8×10＝80π，
底面圆的面积＝π×82＝64π，
所以圆锥的表面积＝80π＋64π＝144π.
中考链接
7.【2021·宁波】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中弧CD的长为________cm.(结果保留π)
2π
中考链接
8.【中考·宁波】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A．3.5 cm
B．4 cm
C．4.5 cm
D．5 cm
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
（1）如果设圆心角是n°的扇形半径为r，面积为S，弧长为l
弧长的计算公式为
面积的计算公式为
课堂总结
本节课你学到了什么？
（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l
则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr
圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底
=πrl+πr2
=πr（l+r）
圆锥的侧面积S圆锥侧= l·2πr=πrl
板书设计
课题：27.3 圆中计算问题
教师板演区
学生展示区
一、扇形的弧长
二、扇形的面积
三、圆锥
作业布置
课本 P62、63 练习题
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华师版九年级下册数学27.3 圆中计算问题教学设计
课题 27.3 圆中计算问题课件 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.2.了解圆锥的高和母线；3.理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系.
重点 了解弧长及扇形面积计算公式；理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系
难点 会用公式解决问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师出示图片：【思考】如果知道立交桥的半径和圆心角度数，你能求出一辆汽车在桥上走的路程吗？若圆的半径为r，思考回答下面问题：（1）圆的周长如何计算？（2）圆的面积如何计算？（3）圆的圆心角是多少度？ 学生观看图片。学生回忆，思考，回答问题， 复习旧知识,引入新课,激发学生的学习兴趣。
讲授新课 探究1：弧形的周长教师出示课本问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°. 你能求出这段铁轨的长度吗 (精确到0.01米)∵圆心角为90°，∴这段铁轨是圆周长的∵圆周长=2πr=2×π×100=200π∴这段铁轨的长度= =50π≈157.08（米）如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？ 【思考】下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？ （1）圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（2）圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（3）圆心角是45°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。（4）圆心角是n°，占整个周角的（ ），因此它所对的弧长是圆周长的（ ）。如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为rl=因此弧长的计算公式为l=【例】如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该扇形的弧长为（ ）A. B. C. D.温馨提示：①在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，不带单位。②在弧长公式中，已知l、n、r中的任意两个量，都可以求出第三个量。探究2：扇形的面积扇形的定义如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关. 圆心角越大，扇形的面积也越大.怎样计算圆心角为n°的扇形面积呢？我们知道，如果设圆的面积为S，半径为r，那么圆面积的计算公式为S=πr2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢 如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几 （1）圆心角是180°，占整个周角的，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的（ ）。（2）圆心角是90°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的（ ）。（3）圆心角是45°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的（ ）。（4）圆心角是n°，占整个周角的( ) ，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的（ ）。如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为【例1】圆心角为60°的扇形的半径为10 cm，求这个扇形的面积和周长. (精确到0.01平方厘米和0.01厘米)解：∵ n=60，r=10cm，∴扇形的面积为≈52.36（平方厘米）扇形的周长为温馨提示：①面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的倍数，不带单位。②S扇形、l、n、r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量。③扇形的面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲面三角形，把弧长 l 看成底，r看成底边上的高即可。圆锥及其面积教师课件出示圆锥图片圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图.母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。母线有无数条，且每条母线都相等圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.观察下图，思考问题（1）圆锥的侧面展开图是什么图形？（2）这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？（3）扇形的半径与圆锥的哪一条线段相等？【例2】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形. 试求圆锥底面半径及它的母线长.解：设该圆锥底面的半径为r，母线长为a，则 2πr=20π， 得 r=10.又 得 a=30.拓展提高若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积S圆锥侧=l·2πr=πrl圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底 =πrl+πr2 =πr（l+r） 学生思考问题，在教师的引导下求出这段铁轨的长度。学生根据圆心角的度数算出弧长分别是圆周长的几分之几，小组交流。根据上面规律推算出弧长的计算公式。根据所学知识做例题，巩固新知。学生通过教师引导总结扇形的定义。小组讨论，利用探究弧的周长的规律探究扇形的面积。总结扇形的面积公式。做课本例题，巩固新知。学生根据教师提示总结圆锥的定义，母线的定义以及圆锥的高。根据圆锥的展开图思考问题。解决问题。 问题是数学的心脏，是数学知识能力发展的生长点和思维的动力，通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，培养学生的应用意识。在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。通过多媒体直观的演示，学生能够直观具体的体会圆锥的变化，展开前与展开后之间的联系与区别。通过练习来培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( C )A. 4π B．2π C．3π D．6π2.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( C )A．2π B．4π C．12π D．24π3.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则弧BD的长为( C )A．π B. 4π C．2π D．3π4．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是( D )A．15π B．30π C．45π D．60π5.若一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的表面积为( B )A．15π cm2 B．24π cm2 C．39π cm2 D．48π cm26.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥，求圆锥的表面积．解：由题意知，AB＝10，所以△ABC绕AC边旋转一周得到的圆锥的母线长为10，底面圆的半径为8，所以此圆锥的侧面积＝π×8×10＝80π，底面圆的面积＝π×82＝64π，所以圆锥的表面积＝80π＋64π＝144π.7.【2021·宁波】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中弧CD的长为_____2π___cm.(结果保留π)8.【中考·宁波】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( B )A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 学生做练习，小组讨论答案，教师订正。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）如果设圆心角是n°的扇形半径为r，面积为S，弧长为l弧长的计算公式为l=扇形的面积为（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr圆锥的侧面积S圆锥侧=l·2πr=πrl圆锥的表面积S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底 =πrl+πr2 =πr（l+r） 学生通过教师引导总结本节课所学知识点。 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：27.3 圆中计算问题一、扇形的弧长二、扇形的面积三、圆锥
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