2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线、角平分线的的性质与判定同步练习（Word版含答案）

1.3 线段垂直平分线、角平分线的的性质与判定 北师大版
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
4．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（　　）
A．4.75 B．5.25 C．6.5 D．7.75
8．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点， 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在ABC中，BD平分∠ABC，过BC的中点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ACF=40°，则∠CFD的度数为_____.
10．如图，在中，，M是AB的中点，交AC于点N，的周长是7cm，则BC的长为_________．
11．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．
12．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OCB的度数为____．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为______．
三、解答题
14．如图，在中，，．
(1)请用无刻度直尺和圆规，在边上求作一点，使得点到、的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
15．已知，如图，Rt△ABC中，．
(1)按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使；
②延长CA到点E，使；
③连接AD，BE．
(2)猜想线段AD与BE的数量关系，并证明．
16．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．
(1)若△ADE的周长为6，求BC的长；
(2)若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
17．（1）如图1，AD为的中线，延长至E，使，连接．试证明：．
（2）用上述方法解答问题：如图2，在中，D是的中点，E为边上一点，连接，过点D作，交边于点F，连接．试猜想线段与的大小关系，并证明．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴MC+MD的最小值为．
故选：B．
2．C
【解析】
解：∵AB=AC=12，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD=ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD=AB=12，BD=CE，
∵CD=3BD，
∴CE=BD=4，
∴AE=AC-CE=12-4=8．
故选：C．
3．B
【解析】
解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故选B
4．A
【解析】
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选A．
5．A
【解析】
解： DE是AC的垂直平分线，
△ABD的周长是13，
AB＝5，
故选A
6．D
【解析】
如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故选：D．
7．A
【解析】
解：连接PE，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=∠PDA，
∴∠PDA+∠EDB=90°，PA=PD=2，
∴∠PDE=180°-90°=90°，
∴DE⊥DP，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，PC=AC-PA=6-2=4，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8-x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75，
故选A．
8．A
【解析】
解：∵CD＝AC，∠A＝48°，
∴∠ADC＝∠A＝48°，
∴∠ACD＝180° 48° 48°＝84°．
∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B＝∠ADC＝24°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝84°＋24°＝108°．
故选：A．
9．60°##60度
【解析】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠CBD＝x°，
∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，
∴50°＋40°＋x°＋2x°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠CFD＝2x°＝60°，
故答案为：60°．
10．3cm
【解析】
解：∵M是AB的中点，交AC于点N，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BC+CN+BN＝7（cm），
∴BC+CN+NA＝7（cm），即BC+AC＝7（cm），
∵AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
故答案为：3cm．
11．8
【解析】
解：的垂直平分线交于，
，
的垂直平分线交与，
，
，
，
，
的周长为8，
故答案为：8．
12．10°
【解析】
解：如图所示，连接OA，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180° ∠BAC=100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB=100° (∠OBA+∠OCA)= 100° ∠BAC=20°，
∴∠OCB=∠OBC=10°，
故答案为：10°．
13．6
【解析】
解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
14．(1)见解析
(2)3.
【解析】
解：如图，点D为所作；
(2)
解：设CD＝x，则BD=AD＝8-x，
在Rt△ACD中，∵CD2＋AC2＝AD2，
∴x2＋42＝（8-x）2，解得x＝3，
即CD的长为3．
15．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
如图所示，即为所求，
(2)
延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，
在和中
∵
∴
∴AB是EF的垂直平分线，
∴
∴AD=BF
16．(1)6；
(2)20°．
【解析】
(1)
解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+EA＝6．
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
(2)
解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°-∠BAC=180°-100°=80°，
即∠BAD+∠EAC＝80°．
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）=100°-80°=20°．
17．（1）见解析；（2），见解析
【解析】
（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在⊿ACD和⊿EBD中，
，
∴⊿ACD ≌⊿EBD（SAS）．
（2）延长FD到H，使得，连接AH，EH，
∵D是AB的中点，
∴，
在△BDF和△ADH中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
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