北师大版2021-2022学年八年级数学下册1.4角平分线的的性质与判定同步练习（Word版含答案）

1.4角平分线的的性质与判定 北师大版
一、单选题
1．若三角形内一点到三边的距离相等，则这个点是（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
2．如图，点A在点O的北偏西的方向5km处，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（ ）
A．点B在点A的北偏东方向5km处
B．点B在点A的北偏东方向5km处
C．点B在点A的北偏东方向km处
D．点B在点A的北偏东方向km处
3．如图，在△ABC中，∠C ＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为（ ）
A．4.5 B．9 C．18 D．20
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（　　）cm．
A．3 B．4 C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．1
6．如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分∠A B C，交C D于点E， B C＝10， D E＝3，则 B C E的面积等于( )
A．6 B．9 C．15 D．1
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为12，∠ABC＝2∠A，则△ABC的面积为（　　）
A．24 B．36 C．12 D．48
8．如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，则的面积为（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
二、填空题
9．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E．若AC=12，DE=8，则△ACD的面积为__________．
10．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则________．
11．如图，中，，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交于点，则的周长为_______．
12．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连接EH，则△EFH的面积是 _________
13．如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线OP．
如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．
三、解答题
14．如图，AB＝AC，BD＝DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E．求证：DE＝DF．
15．如图，在中，．
(1)过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
(2)若，，求的面积．
16．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
(1)求证：OE是CD的垂直平分线；
(2)若∠AOB=60°，请直接写出OE与EF之间的数量关系．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
解：根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上，
∴到到三边的距离相等的点是三角形三个角的平分线交点．
故选择D．
2．D
【解析】
过A作AC∥OM交ON于C，作AD∥ON，如图：
∵∠MON=90°，∠AOC=30°，
∴∠AOM=120°，
由作图可知，OB平分∠AOM，
∴∠AOB=∠AOM=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△AOB中，OB=2OA=10，
∴，
∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，
∴∠CAO=60°，
∴∠DAB=90°-∠BAC=∠CAO=60°，
∴B在A北偏东60°方向km处，
故选：D．
3．B
【解析】
过点D作，交AB于点E，如下图
∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C ＝90°, CD＝9，
∴，即点D到斜边AB的距离为：9
故选：B．
4．D
【解析】
解：∵BC=8cm，BD：CD=3：4，
∴BD=cm，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°，
∴D到AC的距离等于BD，
∴D点到线段AC的距离为cm，
故选：D．
5．C
【解析】
解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
6．C
【解析】
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为×BC×EF＝15，
故选：C．
7．B
【解析】
解：根据题意得，BD平分∠ABC
∠ABC＝2∠A，
若△BDC的面积为12
故选：B.
8．B
【解析】
解：过点作交于点，
根据题意可得平分角，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
9．48
【解析】
解：过D点作DF⊥AC于F，如下图所示：
∵CD是∠ACB的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF=8，
∴，
故答案为：48．
10．##2.5
【解析】
解：连接，，
是的平分线，，，
，，，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
11．18
【解析】
解：
∵BO平分，CO平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长为：
，
，
，
，
，
．
故答案是：18．
12．##
【解析】
解： 长方形ABCD，折叠，
设 则
即
如图，过作于 而平分
经检验符合题意；
故答案为：．
13．
【解析】
解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°
∵MH⊥OB
∴∠OMH=45°
∴△OMH是等腰直角三角形
∴OH=MH=2,
∴OM=．
故答案是．
14．证明见解析．
【解析】
证明：在和中，，
，
，即是的角平分线，
，
．
15．(1)见解析
(2)24
【解析】
(1)
∠ABC的平分线如图所示．
(2)
作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD=DH=3，
∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC CD+AB DH=×3BC+×3AB=×3（BC+AB）=×3×16=24．
16．(1)见解析
(2)OE=4EF
【解析】
(1)
证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，
∵OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
(2)
解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
17．(1)证明见详解；
(2)=．
【解析】
(1)
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
(2)
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
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