四川省绵阳市盐亭县2021-2022学年高二下学期3月开学考试数学试题（PDF版含答案）

盐亭县 2020 级 2022 年春入学考试数学试题
（时间：120 分钟 总分：150 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1．经过 A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角为 （ ）
A．45° B．135° C．90° D．60°
x2 y2 x2 y2
2．曲线 1与曲线 1(k 4)的（ ）
9 4 9 k 4 k
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是红球 B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个红球与至少有 1 个黑球 D．恰有 1 个红球与恰有 2 个红球
4.已知直线 x ay 2 0 和直线 ax y 1 0互相平行，则 a等于 （ ）
A．1 B． 1 C． 1 D．0
5.不论 k为何值，直线 kx＋y＋k－2＝0恒过定点 （ ）
A.(－1，－2) B.(－1，2) C.(1，－2) D.(1，2)
6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A． 10 B．6 C．8 D．14
7.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得
到如下列联表：
文化程度与月收入列联表(单位：人)
月收入 2 000元以下 月收入 2 000元及以上 总计
高中文化以上 10 45 55
高中文化及以下 20 30 50
总计 30 75 105
K2 k 105× 10×30－20×45
2
由上表中数据计算得 的观测值 ＝ ≈6.109，请估计认为“文化程度与
55×50×30×75
月收入有关系”的把握是( )
A．97.5% B．99% C．2.5% D．1%
n ad bc 2 2 0.050 0.010 0.001
附： K 2 P K k0
a b c d a c b d
k0 3.841 6.635 10.828
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8. 甲 乙两人在相同条件下各打靶 10 次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）
A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C．从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看，
甲成绩较好
D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
9. 2已知抛物线 y 4x的焦点为 F 、M、N是抛物线上两个不同的点,若 |MF | | NF | 10 则线
段MN的中点到 y轴的距离为 ( )
9
A. 8 B. 4 C. D. 9
2
x2 y2 3
10．已知椭圆 C： 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 .双曲线 x
2－y2＝1的渐近线与椭圆 C有
a b 2
四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C的方程为 （ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
8 2 12 6 16 4 20 5
11.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两
船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率（ ）
9 11 7 5
A．16 B．16 C．16 D．16
x2 y2
12.已知双曲线C： 2 － 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为 的直线与双曲线C左a b 3
右两支交于M、N两点，且MF1 NF1，则双曲线C的离心率是 （ ）
A．2 B． 2 2 C． 3 1 D． 2 3
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．我市某高中有高一学生 600人，高二学生 500人，高三学生 550人，现对学生关于消防安
全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为 n 的样本，其中高三学生有 11人，
则 n的值等于_______．
14. 点 A（1，2，1）关于原点 O的对称点为 A ，则 AA = ．
15. 过点 P(1,1)可以向圆 x2 y2 2x 4y k 2 0 引两条切线，则 k的范围 .
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x2
16．已知椭圆C : y2 1的左右焦点分别为 F1,F2 ,O为坐标原点，以下说法正确的是4
①过点 F2 的直线与椭圆C交于 A,B两点，则 ABF1的周长为 8
1
②椭圆C上存在点 P，使得 PF1 PF2 0 ③椭圆C的离心率为 2
2
P x 2 2 2④ 为椭圆 y 1上一点，Q为圆 x y 1上一点，则线段PQ的最大长度为 3
4
三、解答题:本大题共 6个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知椭圆的焦点 F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且满足|PF1|+|PF2|=4，
（1）求椭圆的标准方程.
1
（2）若直线 l与椭圆相交于 A,B两点，且 AB的中点为M (1, )，求直线 l的方程.
2
18.已知△ABC的三个顶点是 A(－2，3)，B(－3，－2)，C(1，2)。
（1）求边 BC的垂直平分线方程；
（2）求△ABC的面积。
19.某小型企业生产甲产品的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：万元）存在
较好的线性关系，下表记录了最近 5 次该产品的相关数据.
x（万元） 3 5 7 9 11
y（万元） 8 10 13 17 22
（1）求 y关于 x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本 12 万元的毛利率更大还是投入
成本 15 万元的毛利率更大.
n n
xi x yi y xi yi nx y
收入 成本
相关公式：毛利率 100% ,b i 1 = i 1n n ， a y b x .收入 xi x
2 2
x2i nx
i 1 i 1
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20．某中学举行了一次诗词竞赛，组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为
样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，
据此解答如下问题：
（1）求样本容量 n、抽取样本成绩的中位数及分数在 80,90 内的人数；
（2）若从分数在[50, 60) 和[80,90) 内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数
在[50,60)内的概率．
2 x2 y2
21．已知抛物线C1 : y 2px( p 0) 与椭圆C2 : 1有一个相同的焦点，过点 A(2,0)4 3
且与 x轴不垂直的直线 l与抛物线C1 交于 P,Q两点, P关于 x轴的对称点为M .
(1)求抛物线C1 的方程．
(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
22.①圆心C在直线 l : 2x 7y 8 0上，圆C过点 B(1,5)；②圆C过直线 l : 3x 5y 8 0 和
x2圆 y2 6y 16 0的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求
解．已知圆C经过点 A(6,0) ，且 .
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点 P(0,1) 的直线 l与圆C交于M ,N 两点
①求弦MN 中点 Q的轨迹方程；

②求证 PM PN为定值.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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盐亭县 2020 级 2022 年春入学考试数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D C B B A D B D A C
二、填空题
13. 33 14. 2 6 15. (2,7) 16. ①②④
三、解答题
17. 解：（1）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴ c 1，
∵|PF1|+|PF2|＝4 | F1F2 | 2 ，
∴点 P在以 F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，
x2 y2
∴椭圆的标准方程是 1 ………………………5分
4 3
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ，又点 A,B在椭圆上，
x 2 2 2 2
1
y
1 1 x2 y 2 1
4 3 4 3
x 21 x
2 y 2 y 2
两式作差，得： 2 1 2 0，
4 3
(x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y2 )(y1 y )即： 2
4 3
x x 2, y y 1 k y2 y1 3由题可得： 1 2 1 2 ，将其代入得直线的斜率 x2 x1 2
直线 l的方程为：3x 2y 4 0 ………………………10分
18.解：（1） B(－3，－2)，C(1，2)
BC 2 ( 2) 直线 的斜率为 kBC 1，所以所求直线的斜率为 1 ………… 2分1 ( 3)
BC的中点坐标为（ 1 ,0） ………… 4分
BC边的垂直平分线方程为 x y 1 0 ………… 6分
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（2）直线 BC方程为 x y 1 0 ………… 8分
| 2 3 1|
点 A到直线 BC的距离为： d 2 2 ………… 10分
2
| BC | ( 3 1)2 ( 2 2)2 4 2
S 1 1 ABC | BC | d 4 2 2 2 8 ………… 12分2 2
19.解:（1）由题意 x 7， y 14. ……………………………………2 分
5
xi x yi y 3 7 8 14 5 7 10 14 7 7 13 14
i 1
9 7 17 14 11 7 22 14 70 ，………………………………3 分
5
2 xi x 3 7 2 5 7 2 7 7 2 9 7 2 11 7 2 40，…………4 分
i 1
5
xi x yi y
b i 1 5 1.75， ………………………5 分
2xi x
i 1
a 14 7 1.75 1.75
7 7
故 y关于 x的线性回归方程为 y 1.75x 1.75 . （或 y x 4 4 ）……………6分
22.75 12
（2）当 x 12 时， y 22.75，对应的毛利率为 100% 47.3%， ………8 分
22.75
x 15 y 28 28 15当 时， ，对应的毛利率为 100% 46.4%， ……………10 分
28
故投入成本 12 万元的毛利率大.……………………………12 分
20.解：（1）分数在 50,60 内的频数为 2，由频率分布直方图可以看出，分数在 90,100 内同样
2
有 2人． 由 10 0.008， 得 n 25，………………………………2 分
n
茎叶图可知抽测成绩的中位数为73．………………………4 分
分数在 80,90 之间的人数为 25 2 7 10 2 4
样本容量 n 25，中位数为 73，分数在 80,90 内的人数为 4人……………………6 分
（2）设“若从分数在[50,60)和[80,90) 内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在
[50,60)内”为事件M 。…………………………7 分
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将[80,90) 内的 4人编号为 a,b,c,d ；[50,60)内的 2人编号为 A,B
在[50,60)和[80,90) 内的任取两人的基本事件为： ab,ac,ad,aA,aB, bc,bd,bA,bB,
cd,cA,cB,dA,dB,AB共 15 个
其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件： aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB, AB
共 9 个………………………………10 分
故所求的概率得 P(M )=
9 3
……………………………12 分
15 5
21.解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以 p＝2，
所以抛物线 C 21的方程为 y 4x .……………………………5分
(2)法一：因为点 P与点M 关于 x轴对称，
所以设 P(x1, y1),Q(x2 , y2 )，则M (x1, y1)，………………………6分
2
设直线 PQ的方程为 y＝k(x－2)，代入 y 4x得，
k 2x2 4(k 2 1)x 4k 2 0，所以 x1x2 4 ，……………………………8 分
设直线MQ的方程为 y mx n，
2
2
代入 y 4x 2 2得，m x (2mn n 4)x n2 0，所以 x1x2 2 4，………10 分m
因为 x1 0,x2 0,, y1y
n
2 0，所以 2 ，即 n 2m n＝2m，………………11 分m
所以直线MQ的方程为 y m(x 2) ，必过定点(－2,0)．………………12 分
法二：设 P(x1, y1),Q(x2 , y2 ),M (x3, y3) ，
因为点 P与点M 关于 x轴对称，所以 y3 y1，………………………6 分
设直线 PQ的方程为 x ty 2，
2
代入 y 4x 2得， y 4ty 8 0 ，所以 y1y2 8，……………………………8 分
设直线MQ的方程为 x my n，
2 2
代入 y 4x得， y 4my 4n 0，所以 y2y3 4n，……………………10 分
因为 y3 y1，所以 y2 ( y1) y1y2 4n 8，即 n 2，………………11 分
所以直线MQ的方程为 x my 2，必过定点(－2,0)．……………………12分
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22.解：（1）选①条件：设所求圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2 ，
(6 a)2 (0 b)2 r2

由题意得 (1 a)2 (5 b)2 r2 解得 a 3，b 2 ， r2 13，

2a 7b 8 0
所以所求圆的方程是 (x 3)2 (y 2)2 13 . …………………………4 分
选②条件：因为圆 C 过直线3x 5y 8 0和圆 x2 y2 6y 16 0的交点，所以设圆 C 的方
程为 x2 y2 6y 16 (3x 5y 8) 0，
因为圆 C 过点 A（6，0），将点 A 的坐标代入方程，解得 2，
所以圆 C 的方程是 x2 y2 6x 4y 0，即 x 3 2 y 2 2 13…………………4 分
（2）①设Q(x, y)，圆心 C（3，2）

由题意可知：CQ PQ (x 3, y 2) (x, y 1) 0得
x2 y2 3x 3y 2 0 ………………………………………7 分
②当直线 l的斜率不存在时，直线 l： x 0交圆 C 得M (0,4),N (0,0)，

PM PN 3…………………………………………8 分
当直线 l的斜率存在时，设直线 l： y kx 1，设M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 )
(x 3)2 (y 2)2 13

y kx 1
消元得 1 k 2 x2 2(3 k)x 3 0 ，其中 (6 2k)2 4 ( 3)(1 k 2 ) 0
x x 6 2k x x 3则 1 2 2 , 1 2 2 ，…………………………10 分1 k 1 k

PM PN (x1, y1 1) (x2 , y2 1)
∴ x1x2 (y1 1)(y2 1) ，
x1x2 kx1 kx2
(1 k 2 )x1x2 3

综上所述： PM PN＝－3，∴ PM PN为定值………………………12 分
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