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北师大版 七年级下
5.3.1 等腰三角形的性质
情境引入
生活中的等腰三角形：
等腰三角形
A
B
C
底边
腰
腰
顶角
底角
(1)相等的两条边都叫腰;
(2)另一边叫底边;
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
合作学习
探究：等腰三角形是生活中常见的图形.
（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 请找出它的对称轴．
A
B
C
答：等腰三角形是轴对称图形.
对称轴见图.
探究：等腰三角形是生活中常见的图形.
（2） 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
A
B
C
答：等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
探究：等腰三角形是生活中常见的图形.
（3） 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
A
B
C
答：等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是对称轴.
探究：等腰三角形是生活中常见的图形.
（4） 沿对称轴对折， 你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．
A
B
C
答：等腰三角形的两个底角相等.
等边对等角
提炼概念
等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
（3）等腰三角形的两个底角相等.
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
典例精讲
BAD
CAD
CD
BD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
在一个三角形中等边对等角
∵AB=AC ∴∠ ____= ∠_____
B
C
A
B
C
D
例2 如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD.
解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，
所以∠B＝∠C＝40°，
∠BAD＝∠CAD＝50°.
想一想
1.等边三角形有几条对称轴
等边三角形有三条对称轴
2.你能发现它的哪些特征？
1.等边三角形的三条边都相等；
2.等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一.
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。
用直尺和圆规试试
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。
用折纸试试
归纳概念
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
课堂练习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定成立的是( )
A． ∠B＝ ∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
D
2.等腰三角形有一个角是40°，则它的底角的度数是( )
A．40° B．60°
C．70° D．40°或70°
D
解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）
解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.
3. 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且
BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.
C
D
B
A
4.如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.
解：如图，连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS)．
所以AC＝AD.
又因为AM⊥CD，
所以CM＝MD.
课堂总结
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）.
1.等边三角形的三条边都相等；
2.等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一.
作业布置
教材课后配套作业题。
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5.3.1 等腰三角形的性质 教案
课题 5.3.1 等腰三角形的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1、理解等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其相关性质;2、会应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
重点 探究等腰三角形的轴对称性、相关性质及判定.
难点 应用等腰三角形的概念和性质解决生活中的实际问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、轴对称的性质是什么？答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2、画轴对称图形或补全轴对称的图形依据是什么呢？答案：轴对称的性质认识等腰三角形：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.探究：等腰三角形是生活中常见的图形.（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 请找出它的对称轴．答：等腰三角形是轴对称图形.（2） 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？答：等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.（3） 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？答：等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是对称轴.（4） 沿对称轴对折， 你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．答：等腰三角形的两个底角相等.即：等边对等角.归纳：等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.说一说：（1）什么是等边三角形？答:三边都相等的三角形叫做等边三角形.（2）等边三角形是等腰三角形吗？答：等边三角形是特殊的等腰三角形.想一想：（1） 等边三角形有几条对称轴？（2） 你能发现它的哪些特征？ 归纳：等边三角形的性质（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（2）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一；（3）等边三角形的三条边都相等；等边三角形的内角都相等,且等于 60 °.议一议：你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？答案：（1）根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等，简称为“等角对等边”. 思考自议世纪通过动手操作探索等腰三角形的轴对称性及其有关特征,让学生充分动手操作活动,折一折等腰三角形纸片,独立发现有哪些结论.然后小组成员一起通过操作验证自己的结论,并能合理地解释自己的结论,探索等腰三角形的有关特征. 通过复习引出等腰三角形并回顾等腰三角形的有关概念,让学生欣赏生活中含等腰三角形的图片,既能激发学生的兴致同时引出继续探索的学习欲望.
讲授新课 提炼概念（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.三、典例精讲 例1：如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC ∴∠ ____= ∠_____;____=____(2) ∵AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____=∠_____(3) ∵ AD是角平分线 ∴____ ⊥____;_____=____∵AB=AC ∴∠ ____= ∠_____例2 如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD.解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°. 在学生独立思考的过程中老师巡视,如果有同学会做,可让他们小组内交流,如果多数学生有困难,此时老师可提示刻度尺的作用是什么,然后让学生全班展示。 巩固三线合一,让学生体会三线合一的应用,向学生进一步渗透分类讨论思想,由于课时容量较大,不再设计含边和周长的题目.
课堂检测 四、巩固训练1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定成立的是( )A． ∠B＝ ∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BDD2.等腰三角形有一个角是40°，则它的底角的度数是( )A．40° B．60° C．70° D．40°或70°答案：D3. 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且 BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.(等边对等角）设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠BDC+∠ADB=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.4、如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.解：如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD.又因为AM⊥CD，所以CM＝MD.
课堂小结 1、说一说等腰三角形的性质？答案：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.2、如何判定一个三角形是等腰三角形？答案：（1）根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等，简称为“等角对等边”.3、说一说等边三角形的性质？答案：（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（2）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一；（3）等边三角形的三条边都相等；等边三角形的内角都相等,且等于 60 °.
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5.3.1 等腰三角形的性质 学案
课题 5.3.1 等腰三角形的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1、理解等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其相关性质;2、会应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
重点 探究等腰三角形的轴对称性、相关性质及判定.
难点 应用等腰三角形的概念和性质解决生活中的实际问题.
教学过程
导入新课 【引入思考】1、轴对称的性质是什么？2、画轴对称图形或补全轴对称的图形依据是什么呢？认识等腰三角形：（1）有________相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形中，相等的两边都叫做________，另一边叫做________，两腰的夹角叫做________，腰和底边的夹角叫做________.探究：等腰三角形是生活中常见的图形.（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 请找出它的对称轴．（2） 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？（3） 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？（4） 沿对称轴对折， 你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．归纳：等腰三角形的性质（1）等腰三角形是________图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高________(也称“三线合一”)，它们所在的________都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角________.说一说：（1）什么是等边三角形？（2）等边三角形是等腰三角形吗？想一想：（1） 等边三角形有几条对称轴？（2） 你能发现它的哪些特征？ 归纳：等边三角形的性质（1）等边三角形是________图形，有________条对称轴；（2）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线________；（3）等边三角形的三条边都________；等边三角形的内角都________,且等于________°.议一议：你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？
新知讲解 提炼概念（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.典例精讲 例1：如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC ∴∠ ____= ∠_____;____=____(2) ∵AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____=∠_____(3) ∵ AD是角平分线 ∴____ ⊥____;_____=____∵AB=AC ∴∠ ____= ∠_____例2 如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD.
课堂练习 巩固训练 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定成立的是( )∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD2.等腰三角形有一个角是40°，则它的底角的度数是( )A．40° B．60° C．70° D．40°或70°3. 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且 BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.4、如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.试说明：CM＝MD.答案引入思考1、轴对称的性质是什么？答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2、画轴对称图形或补全轴对称的图形依据是什么呢？答案：轴对称的性质认识等腰三角形：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.探究：等腰三角形是生活中常见的图形.（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 请找出它的对称轴．答：等腰三角形是轴对称图形.（2） 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？答：等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.（3） 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？答：等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是对称轴.（4） 沿对称轴对折， 你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．答：等腰三角形的两个底角相等.即：等边对等角.归纳：等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.说一说：（1）什么是等边三角形？答:三边都相等的三角形叫做等边三角形.（2）等边三角形是等腰三角形吗？答：等边三角形是特殊的等腰三角形.想一想：（1） 等边三角形有几条对称轴？（2） 你能发现它的哪些特征？ 归纳：等边三角形的性质（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（2）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一；（3）等边三角形的三条边都相等；等边三角形的内角都相等,且等于 60 °.议一议：你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？答案：（1）根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等，简称为“等角对等边”.提炼概念 典例精讲 例1 例2解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.巩固训练1.D2.D3.解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.(等边对等角）设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠BDC+∠ADB=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.4.解：如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD.又因为AM⊥CD，所以CM＝MD.
课堂小结 1、说一说等腰三角形的性质？答案：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.（3）等腰三角形的两个底角相等.2、如何判定一个三角形是等腰三角形？答案：（1）根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等，简称为“等角对等边”.3、说一说等边三角形的性质？答案：（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（2）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一；（3）等边三角形的三条边都相等；等边三角形的内角都相等,且等于 60 °.
C
D
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