“确定二次函数的表达式(1）”教学设计
一、学情分析
前面学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难.
二、教材分析
本节内容是北师大版九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上进行的，为后面二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式.根据教材分析确定教学目标如下：
1．知识与技能：
根据条件利用待定系数法，使用二元一次方程组确定二次函数的表达式.
2．过程与方法：
经历根据题中条件点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.
3．情感、态度与价值观：
能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，学会总结归纳的学习习惯.
根据教学目标确定重难点如下：
重点：利用待定系数法，使用二元一次方程组确定二次函数的表达式.
难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
三、教学过程设计
第一环节 情境引入
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2-7所示，其中（4,3）为图像的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
意图分析：要求y与x之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，引出课题：确定二次函数的表达式．
第二环节 新课探究
1．问题探究
问题1：确定二次函数表达式的方法是什么？ 采用类比．
回忆以前用什么方法确定一次函数和反比例函数的表达式？ 待定系数法．
问题2：确定二次函数的表达式需要几个条件？(学生思考讨论后，回答)
一般式： 顶点式：
回忆下面一次函数和反比例函数的情况后，给出：3个待定系数，3个条件．
（1）一次函数(k，b为常数，k≠0)有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？ 2个待定系数，2个条件．
（2）反比例函数 (k常数，k≠0)有几个待定系数？确定反比例函数的表达式需要几个条件？ 1个待定系数，1个条件．
意图分析：问题1引导学生类比思考确定二次函数表达式的方法，引出方法是待定系数法，问题2让学生思考确定二次函数表达式需要几个条件，回忆一次函数和反比例函数的情况，通过这样的问题串得出二次函数一般式和顶点式都有3个待定系数和需要3个条件．
2．问题解决
例题1．已知二次函数的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式.
分析：题中已知二次函数表达式，它是一种特殊形式，一次项系数b=0,只有2个待定系数，我们可以把点（2，3）和（－1，－3）代入即可，用二元一次方程组求解.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数中，得
解这个方程组，得
所以所求二次函数表达式为：
变式练习： 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
分析：设二次函数一般式，有3个待定系数，需要3个条件，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1，可直接设表达式为，这样只有2个待定系数，将已知2个点代入求解即可．
教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为，
∵图象经过点(2,5)和(-2,13)代入表达式
∴
解得：a=2,b=-2.
∴这个二次函数关系式为 .
例题2．一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2-7所示，其中（4,3）为图像的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
分析：此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式 (a ≠0)求解或用其他方法求解均可，关于三个点的主要是下一节课的内容．
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为,
∵图象过点（10，0）,
∴,
解得 ,
∴图象的表达式为.
巩固练习：已知二次函数的图象经过顶点（2，3），且经过（-1，0），求这个二次函数的表达式.
解：设表达式为：
∵ 图象过点（-1，0）,
∴
解得：
图中的关系式为：
意图分析：主要是巩固在顶点式中使用待定系数法求解表达式的能力。
3．问题归纳
想一想，在什么情况下，已知二次函数上两点的坐标就可以确定它的表达式？
1．用一般式 确定二次函数时，如果3个系数a,b,c中，只有2个是未知的.
2．用顶点式 时，知道顶点（h,k）坐标和图象上的另一点坐标.
第三环节 课堂小结
通过上述问题的解决，你知道确定二次函数表达式的方法和步骤吗？
一般式： 顶点式： 待定系数法
在用待定系数法，先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）代入列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的2种形式:一般式，顶点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）．
题中条件分类考虑：普通点的坐标选用一般式．
顶点坐标，对称轴则选用顶点式．
第四环节 作业布置
第2题的第（2）问，你有几种方法？
四、教学设计反思
本节课的重点是要学生用待定系数法求二次函数的表达式，需要两个条件的情况，使用二元一次方程组确定二次函数的表达式.并能根据条件灵活应用二次函数的2种形式:一般式，顶点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力．
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．(共12张PPT)
课题：确定二次函数的表达式（1）
情境引入
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2-7所示，其中（4,3）为图像的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
确定二次函数的表达式
新课探究
类比
用什么方法确定一次函数和反比例函数的表达式？
待定系数法
问题1：确定二次函数表达式的方法是什么？
新课探究
问题2：确定二次函数的表达式需要几个条件？
1．一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？
2个待定系数，2个条件
2．反比例函数 (k常数，k≠0)有几个待定系数？确定反比例函数的表达式需要几个条件？
1个待定系数，1个条件
3个待定系数，3个条件
一般式：
顶点式：
例题精讲
例题1．已知二次函数 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式.
分析：已知二次函数表达式 ，是一般式 的特殊形式，一次项系数b=0,只有2个待定系数，我们可以把点（2，3）和（－1，－3）代入表达式，用二元一次方程组求解.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入 中，得
解这个方程组，得
所以二次函数表达式为： .
设
列
解
答
待定系数法
变式训练
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
分析：二次函数一般式 ，有3个待定系数，需要3个条件，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以 c=1，可直接设表达式为 ，这样只有2个待定系数，将已知2个点代入求解即可。
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，
所以设抛物线关系式为
将点(2,5)和(-2,13)分别代入
解得：a=2，b=-2
所以这个二次函数表达式为：
已知的两个点都是普通点，我们通常设一般式
解：设关系式为：
例题2．一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2-7所示，其中（4,3）为图像的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
∵图象过点（10，0）,
∴
解得：
图中的关系式为：
设
列
解
答
待定系数法
分析：图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），把顶点坐标代入 ，因此设关系式为：
例题精讲
巩固练习
已知二次函数的图象经过顶点（2，3），且经过（-1，0），求这个二次函数的表达式.
解：设表达式为：
∵图象过点（-1，0）,
∴
解得：
二次函数的表达式为：
已知顶点，我们通常设顶点式
想一想
在什么情况下，已知二次函数上两点的坐标就可以确定它的表达式？
1，用一般式 确定二次函数时，如果3个系数a,b,c中，只有2个是未知的.
2，用顶点式 时，知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标.
课堂总结
通过上述问题的解决，你知道确定二次函数表达式的方法和步骤吗？
待定系数法
设，列，解，答
普通点的坐标
顶点坐标
题中条件：
一般式：
顶点式：
作业布置P43
第2题的第（2）问，你有几种方法？
再 见
