2021-2022学年上海市徐汇区八年级（上）期末数学试卷(Word版，附答案解析）

2021-2022学年上海市徐汇区八年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. B. C. D.
下列方程中，没有实数根的是
A. B. C. D.
如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为
A. B. C. D.
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是
A. 三内角之比为：： B. 三边长的平方之比为：：
C. 三边长之比为：： D. 三内角之比为：：
下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有
全等三角形的对应角相等；
对顶角相等；
等角对等边；
两直线平行，同位角相等；
全等三角形的面积相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示，在直角平面坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
函数的定义域是______．
已知，那么______．
已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______ ．
在实数范围内因式分解：______．
若、两点都在函数的图象上，且，则的取值范围是______．
已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点，则______．
以线段为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是______．
如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么______
如图，，，，若，则______．
如图，梯形中，，于，是中点，的延长线交的延长线于，，，，则梯形的面积是______．
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则______．
小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）
计算：．
用配方法解方程．
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
某商场今年月的营业额为万元，月份营业额比月份增加，月份的营业额达到万元，求月份到月份营业额的月平均增长率．
接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、乙两地分别对本地各万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线和线段分别反映了甲、乙两地的接种人数万人与接种时间天之间的函数关系．根据图象所提供的信息回答下列问题：
乙地比甲地提前了______天完成疫苗接种工作；
试写出乙地接种人数万人与接种时间天之间的函数解析式______；
当甲地放缓接种速度后，每天可接种______万人．
如图，在中，，，，点是的中点，点在上，点、、一条直线上，且．
求证：；
联结，若，求的长．
在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点、．
求的值；
如图，直线为正比例函数的图象，点在反比例函数的图象上，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，记的面积为，的面积为，求的值．
如图所示，已知中，，，，点在射线上，以点为圆心，为半径画弧交边于点，过点作交边于点，射线交射线于点．
求证：；
若点在线段延长线上时，设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
联结，当是等腰三角形时，请直接写出的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意；
C、，方程有两个相等的实数根，所以选项不符合题意；
D、，方程没有实数根，所以选项符合题意．
故选：．
各个方程求出根的判别式的值，判断出正负即可确定是否有根．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3.【答案】
【解析】解：由正比例函数图象和反比例函数图象的性质得，图象的两个交点是关于原点对称的，
正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为，
另一个交点的坐标为，
故选：．
正比例函数图象经过原点，反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，故这两个函数图象的两交点是关于原点对称的，再根据点的坐标关于原点对称的性质即可得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，熟知正比例函数与反比例函数的中心对称性是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
根据勾股定理逆定理和三角形内角和为进行判断能否构成直角三角形即可．
此题主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5.【答案】
【解析】解：逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
逆命题是：相等的角是对顶角，错误；
逆命题是等边对等角，正确；
逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；
逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．
故选：．
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，正确的识别图形是解题的关键．
根据反比例函数系数的几何意义得到，，，用排除法即可得到结论．
【解答】
解：点、、为反比例函数上不同的三点，
轴，，垂直轴于点、，
，，
，
，，，
当时，选项才成立，而题目并没有告诉相关信息，故不正确，
而，选项显然错误，
故选：．
7.【答案】
【解析】【试题解析】
解：依题意，得，
解得．
故答案为：．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8.【答案】
【解析】解：把代入中得：
，
故答案为：．
把代入函数关系式进行计算即可．
本题考查了函数值，把代入函数关系式进行计算是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：且
解得：
故答案是：．
把代入方程即可得到一个关于的方程，即可求得的值．
本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于．
10.【答案】
【解析】解：
先配成完全平方式，然后再利用平方差公式继续分解．
本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握配方是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
在每个象限随的增大而增大，
，
故答案为：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
12.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，．
又正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
．
故答案为：．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由正比例函数的图象经过第一、三象限，可得出，进而可得出．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】线段的垂直平分线中点除外
【解析】解：如图，，和的平分线交于点，
则，，
，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上中点除外，
故答案为：线段的垂直平分线的中点除外．
根据和的平分线交于点，则，，说明，得，从而得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
连接，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，证明，得到，只要证明即可解决问题．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作于，如图所示：
，
，，
，
，
．
故答案为：．
作于，根据角平分线的性质得到的长度，再根据平行线的性质得到，然后利用三角形的外角和内角的关系求出，利用角所对的直角边是斜边的一半求出．
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是梯形的性质、全等三角形的判定和性质、含有度的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出、，根据直角三角形的性质求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】
解：设，
在中，，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
梯形的面积，
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：如图，当上的中线时，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，；
当上的中线时，设，则，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故不符合题意，
故答案为：或．
分两种情形：分别是上的中线，上的中线，分别画出图形，利用勾股定理解决问题即可．
本题主要考查了勾股定理，同时渗透了分类讨论的数学思想，运用勾股定理列方程是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点，如图，
由题意：≌≌，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
．
．
在中，
，
，
．
点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图，
由题意：≌≌，；
则，．
，，
，
．
综上，线段的长为：或．
故答案为：或．
分两种情形解答：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，；垂直平分线段；利用，可求得，则，解直角三角形可求线段；点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用完全平方公式以及分母有理化、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
解得，．
【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
21.【答案】解：方程，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，，
当时，；
当时，．
【解析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于，求出的值，确定出方程的解即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
22.【答案】解：设月份到月份营业额的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：月份到月份营业额的月平均增长率为．
【解析】设月份到月份营业额的月平均增长率为，利用月份的营业额月份的营业额月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图象可得，
乙地比甲地提前了天完成疫苗接种工作，
故答案为：；
设乙地接种人数万人与接种时间天之间的函数解析式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
即乙地接种人数万人与接种时间天之间的函数解析式为，
故答案为：；
，
故当甲地放缓接种速度后，每天可接种万人，
故答案为：．
根据函数图象中的数据，可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作；
根据函数图象中的数据，可以计算出乙地接种人数万人与接种时间天之间的函数解析式；
根据中的函数解析式可以得到乙的接种速度，可以计算出的值，然后用计算即可得到当甲地放缓接种速度后，每天可接种的人数．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24.【答案】证明：是中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
；
联结，
，，
，
设，则，，
中，，
，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：反比例函数图象上的两点、．
，解得或舍去，
的值为；
反比例函数解析式为，
设，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
在反比例函数解析式为上，
，
，
．
【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程可得的值；
设，利用为等腰直角三角形得到，再证明为等腰直角三角形，则可设，所以，把代入中得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数的性质．
26.【答案】证明：中，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
解：是等边三角形，
，
设，则，，
，，
，
中，，
，
，
．
解：如图中，当时，则有，
解得，，
如图中，当时，，
解得，．
如图中，当时，，
解得，，
综上所述，满足条件的的值为：或或．
【解析】欲证明，只要证明即可；
用表示出，再根据，即可解决问题；
分三种情形：如图中，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
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