课时分层闯关练（七） 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
基础关
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
2．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
6．设向量，，，若，，可组成一个三角形，则t=______.
7．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是______.
8．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
10. 已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
拓展关
1．（多选题）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,6) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
5．设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
7．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
培优关
在中,D是边的中点,已知,求C点的坐标.课时分层闯关练（七） 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
基础关
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
解析：选C 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
解析：选D 当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．
3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D x2＋x＋1＝2＋＞0，
x2－x＋1＝2＋＞0，
所以向量a对应的坐标位于第四象限．
4．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
解析：选D 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝.
设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，
即 解得
因此D点坐标为(7，－6)．]
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
解析：选A 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)．故选A.
6．设向量，，，若，，可组成一个三角形，则t=______.
解析：3 因为，，，且，，可组成一个三角形
，．
故答案为3．
7．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是______.
解析：平行四边形 ∵＝(－4，3)，＝(8，0)，＝(4，－3)，＝(－8，0)，∴，∴四边形ABCD为平行四边形．
8．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
解析：（7，0） 设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，
所以＝4i＋3j，
所以＝(4,3)．
又＝＋＝－＋，
所以＝－4i＋3j，
所以＝(－4,3)．
10. 已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
解：由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点，
所以，，，．
拓展关
1．（多选题）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
解析：选BCD 设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
解析：选C ∵与是相反向量，∴＝－. 又＝(1,1)，∴＝(－1，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,6) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
解析：选D 设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．故选D.
4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选BCD 由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.
5．设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．
解析： 因向量与的方向相反，且，则是的相反向量，
所以.
答案：
6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
解析： 设，
∴，，
∴的坐标为．
故答案为：
7．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．
设，．由三角函数的定义，
得，，∴．
，，∴．
∴，．
∴，
培优关
在中,D是边的中点,已知,求C点的坐标.
解： 设O为坐标原点,
∵,
∴,
∴.
即点C的坐标为.
