课时分层闯关练（八） 平面向量数乘运算的坐标表示
基础关
1．若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2)
C．(2,4) D．(4,2)
解析：选C 设A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，
∴(x，y)＝(2,4)．故选C.
2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
解析：选D ∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.
4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(，－3)，
∴×－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，
∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
解析：选B 由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B.
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.
10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴解得
∴A点坐标为(8，－10)．
拓展练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选B 由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.
2．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B 由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.
3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，所以角C为.故选C.
4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选BCD 由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.
5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
解析：由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－.
答案：－
6．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
答案：10
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)由＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，得
＝(－x－1，－y)，
由＝2得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
C级——拓展探索性题目应用练
已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
证明:建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y＞0，
于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0 y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2 (x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y＞0，联立①②解得
即E.
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝.
∵F，C，E三点共线，∴∥.
∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE.课时分层闯关练（八） 平面向量数乘运算的坐标表示
基础关
1．若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2)
C．(2,4) D．(4,2)
2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
拓展关
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B.
C．1 D．2
2．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为( )
A. B.
C. D.
4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
6．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
培优关
已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
