课时分层闯关练（十） 平面向量的应用
基础关
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析：选D 由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，
所以θ＝120°.
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
解析：选A s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A.
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
解析：选B 如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10 N．故选B.
5．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1 C. D．4
解析：选B 设BC边的中点为M，则(＋)＝，
∴＝＋＝，
∴P与M重合，
∴||＝||＝1.
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
解析：1 500 所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析：30 ＝－＝(3,6)＝.
又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
所以||＝＝2，
||＝＝3，
所以S＝||||＝2×3＝30.
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0所以⊥，即AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴
解得|Fa|＝150－50.
故A处受力的大小为(150－50)N.
拓展关
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
解析：选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.
2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．故选C.
3. 河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
解析：选A 设小船的静水速度为v1，
河水的流速为v2，
静水速度与河水速度的合速度为v，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，
即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
4.△ABC中，若动点D满足2－2＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
解析：选A 取AB的中点E，则2－2＋2·＝(＋)·(－)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0，
∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．
5.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设AB的中点是D，∵＋＝2＝－，∴＝－，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.故选A.
6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：根据题意得|α||β|sin θ＝.
又|α|＝1，|β|≤1，∴≤sin θ≤1，∴≤θ≤.
答案：
7．四边形ABCD中，已知＝＝(1,1)且＋＝，则此四边形的面积等于________．
解析：∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形．
对＋＝两边平方得1＋1＋＝2，∴·＝0，∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且||＝，∴四边形ABCD的面积为2.
答案：2
8．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
证明：法一：∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．
如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.
∵＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，
＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，
∴·＝c2－a2－b2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
培优关
在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝
解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·.
∴2＝2＋2－2||||cos(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．课时分层闯关练（十） 平面向量的应用
基础关
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
5．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1 C. D．4
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
拓展关
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3. 河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
4.△ABC中，若动点D满足2－2＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
5.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A. B.
C. D.
6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
7．四边形ABCD中，已知＝＝(1,1)且＋＝，则此四边形的面积等于________．
8．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
培优关
在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝
