2021-2022学年苏科版七年级数学下册9.4乘法公式—平方差公式同步练习（Word版含答案）

9.4 乘法公式
一、单选题
1.计算 的结果是（ ）
A. 2a-4 B. C. D.
2．若，，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．括号内应填( )
A． B． C． D．
4．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了45cm2，则这个正方形的边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5.如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )
A. a2－b2＝(a＋b)(a－b) B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D. (a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
7.定义新运算：a*b＝ab+a2﹣b2 ， 则（x+y）*（x﹣y）＝（ ）
A. x2﹣y2 B. x2﹣y2﹣2xy C. x2﹣y2﹣4xy D. x2﹣y2+4xy
8、若是完全平方式，则m的值为（　　　）
A．4 B．2或 C． D．或4
9、已知代数式x2﹣4x+7，则（　　）
A．有最小值7 B．有最大值3
C．有最小值3 D．无最大值和最小值
10、已知，．则的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．13
二、填空题
11.计算：20192-2017×2021=________．
12.设(a＋2b) 2＝(a－2b) 2＋A，则A＝________.
13.已知 ，则 的值是________．
14.已知关于 的二次三项式 是完全平方式，则a=________.
15. =________．
三、解答题
16．化简：．
17．数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．
（1）观察图，直接写出代数式，ab之间的等量关系________；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知．求的值；
②已知，求的值．
18．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法表示②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________
（3）观察图②，请你写出式子、、ab之间的等量关系：__________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则的值为多少？
19.已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，……
（1）请你据此推测出264的个位数字是几？
（2）利用上面的结论，求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)的个位数字．
20.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 20=62﹣42 ， 因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
20.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12 ， 16=52-32 ， 24=72-52 ， 因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．
（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是________；
（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为________；
（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．
21乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪后重新拼成一个长方形，它的宽是________长是________，面积可表示为________（写成多项式乘法的形式）．
（3）运用以上得到的公式，计算：（x﹣2y+3z）（x+2y﹣3z）
1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C
11.【答案】 4
12.【答案】 8ab
13.【答案】
14.【答案】 或
15【答案】
三、解答题
16、先化简，再求值：
(1)（x+3）（x﹣3）+3（x+3）（x﹣4）﹣4（x﹣2）2，其中x＝2．
(2)（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中x=，y=．
解：(1)原式＝x2﹣9+3（x2﹣x﹣12）﹣4（x2﹣4x+4）
＝x2﹣9+3x2﹣3x﹣36﹣4x2+16x﹣16＝13x﹣61．
当x＝2时，原式＝26﹣61＝﹣35．
(2)（2x+y）2﹣（y﹣2x）2
＝4x2+4xy+y2﹣（y2+4x2﹣4xy）
＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4x2+4xy
＝8xy，
当x=，y=时，
原式＝8．
17、图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______________________；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________________； ②__________________．
（3）观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_____________．
（4）运用你所得到的公式，计算若知，求和的值．
（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．
解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；
（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，
还可以表示为（m+n）2-4mn；
（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（4）∵，
∴==36，
∴，
若，则===48，
若，则===-48；
（5）
=
=
∵，，
∴≥3，即最小值为3．
18、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为　 　；
②观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x y=，则（x﹣y）2＝　 　；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是　 　．
【解析】①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x y=时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4＝16；
④（a+b） （3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③16； ④（a+b） （3a+b）＝3a2+4ab+b2．
19【答案】 （1）解：∵264=（24）16 ，
∴264的个位数字是6；
（2）解：∵（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）…
=（232-1）（232+1）
=264-1，
∴（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是5．
【考点】平方差公式及应用，探索数与式的规律
【分析】（1）由已知的一系列等式结果中个位数字规律，得到指数为4的倍数其个位数字都为6，利用幂的乘方运算法则将所求式子变形后，即可得到其个位数字为6；（2）前两项利用平方差公式化简，再利用平方差公式化简，依此类推得到所求式子结果为264-1，由（1）得出264个位数字为6，即可得到所求式子个位数字为5．
20.【答案】 （1）32；80
（2）100
（3）证明：∵ ,
∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．
【考点】平方差公式及应用
解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 ， ，
则和谐数可表示为： ，（其中 表示正整数）
∴“和谐数”就是8的正整数倍，
∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72 ， 80=212-192 ，
故答案为：32；80.（2）∵ 200，即 200，
∴ ，
∴ ， ，
∵49+51=100，
∴这两个连续奇数的和为100，
故答案为：100.
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立．
21.【答案】 （1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a﹣b）（a+b）
（3）解：（x﹣2y+3z）（x+2y﹣3z）；
＝[x﹣（2y﹣3z）][x+（2y﹣3z）]
＝x2﹣（2y﹣3z）2
＝x2﹣4y2﹣9z2+12yz．
【考点】平方差公式及应用，平方差公式的几何背景
解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；（2）它的宽是 a﹣b，长是 a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a﹣b）（a+b）
【分析】（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出；（2）根据图形中长方形长与宽求出即可；（3）利用平方差公式进行运算即可，注意符合（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的形式才能运算．