2021-2022学年苏科版七年级数学下册7～8章阶段练（3）(培优)（Word版含答案）

7～8章 阶段练（3）(培优)【平面图形的认识（二）、幂的运算】
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
一、选择题
1、下列等式中正确的个数是（　　）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6 （﹣a）3 a＝a10；③﹣a4 （﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、（2021春 高邮市期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是　　
A．B． C．D．
3、（2020春 张家港市校级期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A满足（　　）时，△AOP为钝角三角形．
A．0°＜∠A＜60° B．90°＜∠A＜180°
C．60°＜∠A＜90° D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
4、（2020春 宁远县期中）计算（）2019×（）2020的结果是（　　）
A． B． C． D．﹣2020
5、（2021 绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C． D．
6、（2020春 锡山区期中）已知，则比较a、b、c、d的大小结果是（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜d＜a＜c
7、（2020秋 秦淮区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（　　）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
（7题） （9题）
8、（2021·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
9、如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
10、（2020春 江阴市校级期中）如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则以下∠A与∠C的关系正确的是（　　）
A．∠A＝∠C+α B．∠A＝∠C+2α C．∠A＝2∠C+α D．∠A＝2∠C+2α
二、填空题
11、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.
2.5μm用科学记数法可表示为　 　 m．
12、若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件　 　．
13、若3x＝4，3y＝6，则3x﹣2y的值是　 　．
14、已知实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则2019a﹣4039b+2020c的值为　 　．
15、（2021春 饶平县校级期末）如图，下列条件中：（1）；（2）；（3）；（4），能判定的条件个数有　 　个．
（15题） （16题） （17题）
16、（2021·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．
17、如图，是的中线，是的中点，连接，，于点．若，，则的面积为____．
18、已知：（x+2）x+5＝1，则x＝　 　．
三、解答题
19、计算
（1）x3 x5﹣（2x4）2+x10÷x2． （2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2 x2
（3）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2 （4）（x﹣y）2 （y﹣x）7 [﹣（x﹣y）3]
（5）an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
20、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
21、（2019秋 岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x 81y的值．
22、（2020 河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x 16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
23、已知：如图，在ABC中，点D在BC边上，EFAD分别交AB，CB于点E，F，DG平分∠ADC，∠1＋∠2＝180°，
（1）求证：ABDG；
（2）若∠B＝35°，∠DAC＝75°，求∠DGC的度数．
24、（2021春 海陵区校级期末）如图，、分别是的高和角平分线，，．点在的延长线上，，垂足为，与相交于点．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
25、(20-21安徽芜湖无为县七下期末)丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知AB∥CD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，
α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
26、（2021春 江都区月考）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．求证：；
（4）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得△，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．
7～8章 阶段练（3）(培优)【平面图形的认识（二）、幂的运算】
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
一、选择题
1、下列等式中正确的个数是（　　）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6 （﹣a）3 a＝a10；③﹣a4 （﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；
②∵（﹣a）6 （﹣a）3 a＝﹣a10 故②的答案不正确；
③∵﹣a4 （﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；
④25+25＝2×25＝26．
所以正确的个数是1，
故选：B．
2、（2021春 高邮市期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是　　
A．B． C．D．
【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．
【解析】选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
选项中的与，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项符合题意；
选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
故选：．
3、（2020春 张家港市校级期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A满足（　　）时，△AOP为钝角三角形．
A．0°＜∠A＜60° B．90°＜∠A＜180°
C．60°＜∠A＜90° D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
解：∵当∠A与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，
∴0°＜∠A＜60°，
∵当∠A大于90°时候此三角形为钝角三角形，
∴90°＜∠A＜150°．
综上所述，0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°．
故选：D．
4、（2020春 宁远县期中）计算（）2019×（）2020的结果是（　　）
A． B． C． D．﹣2020
【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．
【解答】解：原式＝﹣（）2019×（）2020
＝﹣（×）2019×
＝﹣1×=－，
故选：B．
5、（2021 绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C． D．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：
（）▲2=|﹣2|＝4﹣1+2＝5．
故选：B．
6、（2020春 锡山区期中）已知，则比较a、b、c、d的大小结果是（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜d＜a＜c
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣（0.2）2＝﹣0.04，
b＝﹣2﹣2=，
c＝（）﹣2＝4，
d＝（）0＝1，
∴b＜a＜d＜c．
故选：A．
7、（2020秋 秦淮区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（　　）
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
解：在正八边形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，
∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF＝
∴∠PAH＝∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°，
∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，
∵四边形APGH的内角和为360°，
∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°＝112.5°，
故选：B．
8、（2021·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．
9、如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD＝180°，根据三角形外角性质得出∠AFD＝∠β﹣∠γ，代入求出即可．
解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
10、（2020春 江阴市校级期中）如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则以下∠A与∠C的关系正确的是（　　）
A．∠A＝∠C+α B．∠A＝∠C+2α C．∠A＝2∠C+α D．∠A＝2∠C+2α
解：如图所示：
∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠CBD，
又∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A+2∠CBD＝180°，
又∵DF是∠ADC的角平分线，∴∠ADC＝2∠ADF，
又∵∠ADF＝∠ADB+α∴∠ADC＝2∠ADB+2α，
又∵∠ADC+∠C＝180°，∴2∠ADB+2α+∠C＝180°，
∴∠A+2∠CBD＝2∠ADB+2α+∠C
又∵∠CBD＝∠ADB，∴∠A＝∠C+2α，
故选：B．
二、填空题
11、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.
2.5μm用科学记数法可表示为　 　 m．
解：2.5×0.000001＝2.5×10﹣6，
故答案为2.5×10﹣6，
12、若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件　 　．
解：若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件是：x≠1．
故答案为：x≠1．
13、若3x＝4，3y＝6，则3x﹣2y的值是　 　．
解：3x﹣2y＝3x÷（3y）2＝4÷62＝．
故答案为：
14、已知实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则2019a﹣4039b+2020c的值为　 　．
解：2019a﹣4039b+2020c
＝2019a﹣2019b﹣2020b+2020c＝﹣2019（b﹣a）+2020（c﹣b），
∵2a＝5，2b＝10，2c＝80，
∴2b÷2a＝21，2c÷2b＝8＝23，
∴b﹣a＝1，c﹣b＝3，
∴原式＝﹣2019×1+2020×3＝﹣2019+6060＝4041，
故答案为：4041．
15、（2021春 饶平县校级期末）如图，下列条件中：（1）；（2）；（3）；（4），能判定的条件个数有　 　个．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解析】（1），则；
（2），则；
（3），则；
（4），则，
故能判定的条件个数有3个．
故答案为：3．
16、（2021·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．
【答案】180°.
【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.
17、如图，是的中线，是的中点，连接，，于点．若，，则的面积为____．
【答案】18
【分析】
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分进行求解即可；
【详解】
解：于点，，，
，
是的中线，，
，
点是的中点，，
故答案为18．
18、已知：（x+2）x+5＝1，则x＝　 　．
解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．
当x+2＝1时，x＝﹣1，
当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
三、解答题
19、计算
（1）x3 x5﹣（2x4）2+x10÷x2． （2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2 x2
（3）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2 （4）（x﹣y）2 （y﹣x）7 [﹣（x﹣y）3]
（5）an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
（3）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．
（4）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案
（5）先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
（3）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；
（4）（x﹣y）2 （y﹣x）7 [﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2 （y﹣x）7 （y﹣x）3＝（y﹣x）12．
（5）原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），
＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），
＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，
＝0．
20、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，∴多边形的外角个数为：，∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
21、（2019秋 岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x 81y的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x 2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3 （3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x 81y＝33x 34y＝33x+4y＝33＝27．
22、（2020 河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x 16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：（1）2÷8x 16x＝2÷（23）x （24）x＝2÷23x 24x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
解得x＝4；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
23、已知：如图，在ABC中，点D在BC边上，EFAD分别交AB，CB于点E，F，DG平分∠ADC，∠1＋∠2＝180°，
（1）求证：ABDG；
（2）若∠B＝35°，∠DAC＝75°，求∠DGC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DGC＝110°．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DGAB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】
（1）证明：∵EFAD，∴∠1+∠BAD＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．∴∠2＝∠BAD．∴ABDG；
（2）解：∵ABDG，∠B＝35°，∴∠GDC＝∠B＝35°，
∵DG平分∠ADC，∴∠2＝∠GDC＝35°，
又∵∠DAC＝75°，∴∠DGC＝∠DAC+∠2＝110°．
24、（2021春 海陵区校级期末）如图，、分别是的高和角平分线，，．点在的延长线上，，垂足为，与相交于点．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论；
（2）根据高线定义得到，再根据角平分线定义，即可得到结论．
【解析】（1），，，
是的角平分线，，
，，；
（2）是的高，，
，，
，是的角平分线，，
．
25、(20-21安徽芜湖无为县七下期末)丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知AB∥CD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，
α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
【考点】列代数式；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）60°．（2）∠AEC＝β﹣α．（3）α＝20°，β＝60°．
【分析】（1）如图1，过点E作MN∥AB．根据平行线的性质，由AB∥MN，得∠AEM＝∠EAB＝35°．由AB∥CD，AB∥MN，得MN∥CD，故MN∥CD．那么∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝60°．
（2）如图2，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠EFB＝∠ECD＝β．根据三角形外角的性质，由∠EFB＝∠EAB+∠AEC，得∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
（3）如图3，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠1＝∠2．根据角平分线的定义，得∠EAB＝∠1＝，∠2＝∠3，那么∠3＝∠EAB＝．根据三角形内角和定理，得∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°，进而求得α＝25°，β＝60°．
【解答】解：（1）如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°．
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
（3）如图3，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，∴∠ECB＝∠1＝．∴∠ECB＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，∴∠2＝∠3．∴∠3＝∠ECB＝．
∵∠AEG＝130°，∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴＝50°．
又∵α+β＝80°，∴β＝60°．
26、（2021春 江都区月考）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．求证：；
（4）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得△，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．
【分析】（1）利用三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角性质解题；
（2）将（1）中特殊角改为，按步骤解题；
（3）由角平分线的定义和平行线的判定定理证明；
（4）数形结合，分类讨论．
【解析】（1）解：，，
的三个内角的平分线交于点，，，，
，，
是的一个外角，．
（2）解：，，
的三个内角的平分线交于点，
，，，
，
，
是的一个外角，．
（3）证明：由（2）得，，
平分，平分，，，
，
由（2）得，，
，．
（4），，，，
，，、
如图（1），，，
，即，
如图（2），，，
，
旋转角为或时，所在直线与平行．