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18.1.1平行四边形的性质
一、选择题
1、平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A.4和6 B.6和8 C.8和12 D.20和30
2、如图，的对角线AC、BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A.13 B.17 C.20 D.26
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3、如图，在中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED=150°，∠A的大小为（ ）
A.150° B.130° C.120° D.100°
4、如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若∠1=∠2=44°，则∠B=（ ）
A.66° B.104° C.114° D.124°
二、填空题。
5、如图，在中，DB=DC，∠A=67°，CE⊥BD于点E，∠BCE=_______。
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
6、如图，在中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则的周长是_______
7、如图所示，在中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE=5cm，AD=7cm，则AD和BC之间的距离为________cm。
8、如图，若的周长为36cm，过点D分别作AB、BC边上的高DE、DF，且DE=4cm，DF=5cm，的面积为_________。
（第8题图） （第9题图）
9、如图，在中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△，与CE交于点F。
若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠的大小为__________。
三、解答题。
10、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E。求证：DA=DE。
11、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长。
12、如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O。
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G。当FG=1时，求AE的长。
13、如图，在中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F。
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF。
【参考答案】
一、
1、D
2、B
3、C
4、C
二、
5、23°
6、20
7、15
8、40cm2
9、36°
三、
10、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC
∴
∵AE平分∠BAD
∴
∴
∴DA=DE
11、解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5
∵AB⊥AC
∴在Rt△ABC中，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
在Rt△AOB中，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴BD的长为。
12、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴，
又BE=DF
∴△DFO≌△BEO（ASA）
∴BO=DO
（2）解：∵EF⊥AB，∠A=45°
∴在△AEG中，∠G=90°-∠A=90°-45°=45°
∵BD⊥AD
∴∠GDO=90°，在△DOG中，∠DOG=90°-∠G=90°-45°=45°
由（1）得AB∥CD
∴∠GDF=∠A=45°
∴∠GDF=∠G
∴DF=FG=1
同理可证FO=DF=1
由（1）得△DFO≌△BEO
∴OE=FO=1
∴GE=GF+FO+OE=1+1+1=3
∵∠G=45°，∠A=45°
∴∠G=∠A
∴AE=GE=3
∴AE=3
13、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠B=∠ECF，∠BAE=∠F
∵E是BC的中点
∴BE=CE
∴△ABE≌△FCE（AAS）
∴AB=CF
（2）解：由（1）得AB=CF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴CD=CF
∴DF=2CD
∵AD=2AB
∴AD=2AB=2CD=DF
由（1）得△ABE≌△FCE
∴AE=EF
∵AD=DF
∴DE⊥AF
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人教版 八年级下册
18.1 平行四边形的性质
导入新课
这些都是日常生活中常见的情形，他们是否都有平行四边形的现象？
A
B
C
A
B
C
D
对角
对边
∠A是 边的对角.
∠A与 是对角；
∠B与 是对角.
AB是 的对边.
AB与 的对边；
BC与 的对边.
三角形中角对边、边对角；
特点
BC
CD
AD
∠C
∠D
∠C
四边形中是边对边、角对角.
忆一忆
新课学行四边形的定义
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD
平行四边形ABCD
□ABCD
记作：
读作：
A
D
C
B
两要素
新课学习
∵AB∥CD， AD∥BC
∴四边形ABCD是□
∵四边形ABCD是□
∴ AB∥CD， AD∥BC
（平行四边形的定义）
（平行四边形的定义）
几何语言
新课学习
1.平行四边形的边具有哪些性质？
2.平行四边形的角具有哪些性质？
A
B
C
D
平行四边形的性质
探究1
猜想
对边相等，对角相等
新课学习
请用直尺,量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确
量一量
A
B
C
D
结果：AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D
猜想正确。
你能证明吗？
新课学习
从拼图可以得到什么启示？
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？
新课学习
求证：AB=CD，AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D.
已知：四边形ABCD为□
证明：
∵四边形ABCD为□
∴AD∥BC，AB ∥CD
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4
在△ADC与△CBA中
∠1=∠2，
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ADC≌△CBA
∴ AD=CB,AB=CD, ∠B=∠D
又∵∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠BAD=∠DCB
连结AC
A
B
C
D
4
1
3
2
新课学行四边形性质定理1：
平行四边形的对边相等.
∵四边形ABCD为□
∴ AB=CD,AD=BC
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD为□
∴ ∠A=∠C, ∠B=∠D
A
B
C
D
新课学行四边形中知道一个角就可以求出另外三个角的度数。
想一想
已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
新课学习
例1 如图， □ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是□，
∴∠A=∠C，AD=CB.
∵DE⊥AB，BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∴△AED≌△CFB.
∴AE=CF.
新课学习
H
A
D
G
若a // b，作 DA // HG ，分别交 b于D、H，交 a于A、G。则线段DA与HG有什么关系？
由平行四边形的对边性质可知：DA=HG
两条平行线之间的平行线段相等.
b
a
两条平行线之间的距离：
又作 CB // HG ，交 b于C，交 a于B。则线段CB与HG有什么关系？
CB=HG=DA
C
B
新课学习
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
则 DA HG CB.
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
A
B
C
D
a
b
H
G
=
=
两条平行线之间的距离相等。
牛刀小试
如图， 的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为( )
ABCD
A 6cm
B 12cm
C 4cm
D 8cm
A
B
D
C
D
新课学习
新课讲解
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交
于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
平行四边形的对角线互相平分。
探究2
猜想
新课学习
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
旋转180°后与自身重合平行四边形 ABCD是中心对称图形，点O是对称中心
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
新课学习
已知：如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
在△AOB和△COD中
∴AB∥CD，AD ∥BC(平行四边形的性质)
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
∠2= ∠1
AB＝CD
∠4= ∠3
∴ △AOB≌△COD(ASA )
∴OA=OC，OB=OD.（全等三角形的对应边相等）
1
2
3
4
新课学行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
平行四边形性质定理2：
新课学习
例2 如图，在口ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及口ABCD的面积．
A
O
C
B
D
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴ΔABC是直角三角形.
∴AC==6
又 OA=OC
∴ OA=AC=3，∴S口ABCD=BC·AC=8×6=48
达标检测
1.在 中，∠A∶∠B = 2∶3，求各角的度数.
ABCD
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∠B=∠D.
又∵∠A∶∠B=2∶3，
∴∠A=∠C=72°，∠B=∠D=108°.
达标检测
2.已知 的周长为28cm，AB∶BC=3∶4，求它的各边的长.
ABCD
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
又∵C ABCD=AB+BC+CD+AD=28cm，
且AB∶BC=3∶4，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm.
达标检测
3.如图，在 中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为________.
ABCD
2cm
达标检测
4.如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14. △AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝10
OA＝OC＝4
OD＝OB＝7
∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21
∵ AB=CD BC=BC
BD – AC=14 – 8=6
∴△DBC的周长较长，长6.
达标检测
5.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
达标检测
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质）
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF （ASA ）
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）
课堂小结
1、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
拓展提升
如图，在 中，点E，F分别在BC，AD上，且∠1=∠2，求证：AE∥FC.
ABCD
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC.
∴∠DAE=∠BEA.
又∵∠1=∠2，
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2
∴∠EAD=∠BCF=∠BEA.
∴AE∥FC.
拓展提升
2.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AB=5，
(1)求 ABCD的周长；
(2)求 ABCD的面积.
拓展提升
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.
（2）由（1）知：AC⊥BD
∴
解：（1）由平行四边形的性质得：
OC=OA= AC=3，OB=OD= BD=4.
在△AOB中，OA2+OB2=32+42=52=AB2.
