第一章《三角形的证明》单元测试卷（含答案）

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北师大版初中数学八年级下册第一章《三角形的证明》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
如图，在中，，是的角平分线．若，，则的长为
A.
B.
C.
D.
下列事件中，属于必然事件的是
A. 如果，都是实数，那么，
B. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为
C. 抛枚质地均匀的硬币次，有次正面向上
D. 用长为，，的三条线段围成一个等腰三角形
下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是
A. 等腰三角形的两底角相等
B. 等腰三角形是钝角三角形或锐角三角形
C. 等腰三角形是轴对称图形
D. 等腰三角形底边上的高和中线、顶角的平分线互相重合
如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为
A.
B.
C.
D. 不确定
如图，有两个长度相等的滑梯即，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向上的长度相等．若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
下列条件中，能判定为直角三角形的是
A. B.
C. D.
如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于线段长度的一半为半径作弧，两弧相交于点，，过点，作直线，交于点，连结，则的周长为
A. B. C. D.
如图，的外角平分线，相交于点若点到的距离为，则点到的距离为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为
A. B. C. D.
如图，在中，于，于，，是的平分线，则图中与相等的角不包含的个数为．
A. B. C. D.
如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接有下列结论，其中正确的选项是
平分
A. B. C. D.
如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接若，，则的大小为______度．
已知中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：，，，：：：：，：：：：，，其中能判断是直角三角形的有______请填序号
如图所示，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则周长的最小值是______．
如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分若，则的长是______．
如图，中，点是、角平分线的交点，，过作于点，且，求的面积．
如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，，，且，
求的度数；
求的周长．
如图，在中，，，于点，是的中点，连结交于点．
与全等吗？请说明理由．
若，求的长．
如图，中，，过点作于点，为的中点，连接，交于点．
如图，若，，求的长；
如图，若恰好为的中点，求证：．
如图，，分别是以，为斜边的直角三角形，，是等边三角形．
求证：；
若，求的长．
如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．
求证：；
若，，求的长．
如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
求证：≌；
若，求的度数．
如图，于点，于点，若、．
求证：平分；
已知，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解答】
解：在中，，是角平分线，，
，，
在中，，
即，
解得，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：如果，都是实数，那么，属于必然事件；
B.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为，属于不可能事件；
C.抛枚质地均匀的硬币次，有次正面向上，属于随机事件；
D.用长为，，的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；
故选：．
根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义即可得到答案．
本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3.【答案】
【解析】解：、等腰三角形的两底角相等，正确，不合题意；
B、等腰三角形是钝角三角形或锐角三角形或直角三角形，故原说法错误，符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，正确，不合题意；
D、等腰三角形底边上的高和中线、顶角的平分线互相重合，正确，不合题意；
故选：．
直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．
此题考查了轴对称图形以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
4.【答案】
【解答】
解：，
．
平分，
，
．
，
，
．
同理，，
的周长．
故选A．
5.【答案】
【解答】
解：在和中，
，
≌，
，
，
．
故选C．
6.【答案】
【解答】
解：、，而，无法确定是否有角，所以选项错误；
B、，而，则，无法确定是否有角，所以选项错误；
C、，而，无法确定是否有角，所以选项错误；
D、，而，则，所以选项正确．
故选：．
7.【答案】
【解答】
解：是线段的垂直平分线，
，
，
，即，
，
．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，
根据题意可得是的垂直平分线，
是的中点，
，，
的周长为．
故选：．
利用勾股定理可得的长，然后根据题意可得是的垂直平分线，进而可得的长和的长，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理和线段垂直平分线的作法．
9.【答案】
【解答】
解：过作于，于，于，
的外角平分线，相交于点，
，，
，
点到的距离为，
，
则点到的距离为，
故选：．
10.【答案】
【解答】
解：，
，
点到三边的距离相等，
平分，平分，
，
，
故选A．
11.【答案】
【解答】
解：，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
即与相等的角有、、、，共个，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，，
，
，故正确；
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
，
平分，故正确；
如图，过点作，垂足为，
平分，，，
易证≌，
，故错误．
故选：．
利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出的度数可判断；结合线段垂直平分线的性质可进一步求出和的度数，即可判断；再判断的正误可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，线段角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相关定理的应用是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，进而根据角的和差得出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，即是直角三角形；
：：：：，
，即是直角三角形；
：：：：，，
最大角，即不是直角三角形；
，
，，
，
，
解得：，即是直角三角形；
故答案为：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可，即可判断，根据三角形的内角和定理求出最大内角，即可判断．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
15.【答案】
【解析】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：平分，且，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
17.【答案】解：作于，于，连结，如图，
点是、角平分线的交点，
，，
即，
．
【解析】作于，于，连结，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
18.【答案】解：的垂直平分线分别交，于点，，
，
，
又，
；
，
．
即的周长为．
【解析】可得，则，可求出的度数；
由，可求出结论．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．
19.【答案】解：全等，理由如下：
于点，
，
中，，，
，
．
，是的中点，
，
，
，
在与中，
≌；
≌，
，
设，则，
，
，
解得，
即．
【解析】先求出，那么是等腰直角三角形，得出再利用即可证明≌；
设，则，可得，则答案可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：过作于，
，
，，
，
，
，
；
证明：过作于，
，
，
为的中点，
，
恰好为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】过作于，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到；
过作于，根据三角形的中位线的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】证明：是等边三角形，
，
、都是斜边，
，
在和中，
，
≌．
，
，且，
，
，
即；
解：，
，，
，
，
．
【解析】证明≌可得出，证出，则结论得证；
求出长，则可求出．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】证明：和均为等腰直角三角形，，
，，
，
同角的余角相等，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
解：≌，
全等三角形的对应角相等，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，，
，
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半．
【解析】证明≌，可得；
由知，可求出，根据直角三角形的性质可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】证明：平分，，，
，，
在和中
，
≌；
解：，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据角平分线性质求出，由“”可证≌；
由中垂线的性质可得出，由知，可求出，则可求出．
本题考查了全等三角形的判与性质，中垂线的性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
平分；
解：，，
≌，
，
，
．
【解析】求出，根据全等三角形的判定定理得出≌，推出，根据角平分线性质得出即可；
根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
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