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北师大版 七年级下
5.3.2 线段垂直平分线的性质
情境引入
1、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
合作学习
【思考】线段是轴对称图形吗 如果是,你能找出它的一条对称轴吗
做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB使点A,B重合,折痕与AB的交点为O.
·
A
·
B
·
A(B)
·
B
O
想一想:
(1)折痕两旁的部分能重合吗 线段是一个轴对称图形吗 这条折痕是线段的对称轴吗
(2)点O是线段AB的中点吗 折痕与线段AB垂直吗 为什么
(3)由此你能得到什么结论
通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.
·
A(B)
·
B
O
2
1
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
AC＝BC
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C 在直线l上．求证：AC =BC．
解：因为 l⊥AB，
所以 ∠COA =∠COB＝90 ° ．
又 AO =BO，OC =OC，
所以△COA ≌△COB（SAS）．
所以AC =BC．
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为l⊥AB， AO =BO，
所以 AC =BC．
典例精讲
新知讲解
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
（2）作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
你能说明这样作的道理吗？
垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）.
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
（2）作直线CD，交AB于点O.
点O就是线段AB的中点．
A
B
C
D
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
归纳概念
A
B
O
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作
这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线
2.线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的
距离相等.
3. 线段的对称轴是这条线段的垂直平分线.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
C
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )
A.AE=BE B.AC=BE
C.CE=DE D.∠CAE=∠B
B
A
B
D
E
C
3.如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等
可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.
居民区A
·
居民区B
·
街道
·
M
4.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
5.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
求证： （1）PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
证明：∵点P是边AB、BC的垂直平分线的交点，
∴ PA=PB，PB=PC
∴ PA=PB=PC
∴ PA=PC，点P必在AC的垂直平分线上。
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
课堂总结
线段垂直平分线的性质
内容
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
作业布置
教材课后配套作业题。
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5.3.2 线段垂直平分线的性质 教案
课题 5.3.2 线段垂直平分线的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1、了解线段垂直平分线的有关性质；2、掌握尺规作线段垂直平分线；3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点 探索线段垂直平分线的有关性质．
难点 利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、什么是轴对称图形？答案：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2、轴对称的性质是什么？答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O .你发现了什么？答：线段是轴对称图形．归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）问题：线段还有其它的对称轴吗？答：有，就是这条线段所在的直线议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？答案：AC＝BC，成立已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C 在直线l上．求证：AC =BC．解：因为 l⊥AB，所以 ∠COA =∠COB＝90 ° ．又 AO =BO，OC =OC，所以△COA ≌△COB（SAS）．所以AC =BC．归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.用数学语言表示为：因为l⊥AB， AO =BO，所以 AC =BC． 思考自议世纪学生拿出纸,按照上面的步骤画出一条线段AB,然后对折AB,进行观察思考后回答问题. 通过完成本组题目,对轴对称图形的概念、性质进行回顾,为本节课的学习提供必要的知识准备,同时,也检查了学生对学过知识的掌握情况.
讲授新课 提炼概念线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.三、典例精讲 例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；（2）作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．问题：你能说明这样作的道理吗？答案：垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；（2）作直线CD，交AB于点O.点O就是线段AB的中点． 做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.作法：（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.点O就是△ABC的重心提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.由折叠可知∠1=∠2,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°,所以折痕与线段AB垂直. 让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,并及时引导学生对发现的结论进行证明,进一步培养了学生严谨思维、推理论证、及时验证的好习惯,也为后续教学做好准备.
课堂检测 四、巩固训练1、下列说法中,不正确的是( )A.线段是轴对称图形B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴答案：C2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠BB 3.如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等 解：可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.4.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．解：∵△ABC的周长为28，BC＝8且AB＝AC，∴AB＋AC＋BC＝28，即2AC＋BC＝28，∴AC＝10.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△BCE的周长为：BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.即△BCE的周长是18.5.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。求证： （1）PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？证明：∵点P是边AB、BC的垂直平分线的交点，∴ PA=PB，PB=PC∴ PA=PB=PC∴ PA=PC，点P必在AC的垂直平分线上。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
课堂小结 这节课你学到什么？1.线段的轴对称性,知道了线段的一条对称轴是线段的垂直平分线.2.线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.3.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.4.尺规作图:线段的垂直平分线的作法.
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5.3.2 线段垂直平分线的性质 学案
课题 5.3.2 线段垂直平分线的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1、了解线段垂直平分线的有关性质；2、掌握尺规作线段垂直平分线；3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点 探索线段垂直平分线的有关性质．
难点 利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】1、什么是轴对称图形？2、轴对称的性质是什么？探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O .你发现了什么？归纳：线段是________图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条________.概念：垂直于一条线段，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称________）问题：线段还有其它的对称轴吗？议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________.用数学语言表示为：因为l⊥________， AO =________，所以 ________=BC．
新知讲解 提炼概念线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.典例精讲 例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.问题：你能说明这样作的道理吗？试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的________.
课堂练习 巩固训练 1、下列说法中,不正确的是( )A.线段是轴对称图形B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠B 3.如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等 5.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。求证： （1）PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？答案引入思考1、什么是轴对称图形？答案：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2、轴对称的性质是什么？答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O .你发现了什么？答：线段是轴对称图形．归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）问题：线段还有其它的对称轴吗？答：有，就是这条线段所在的直线议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？答案：AC＝BC，成立已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C 在直线l上．求证：AC =BC．解：因为 l⊥AB，所以 ∠COA =∠COB＝90 ° ．又 AO =BO，OC =OC，所以△COA ≌△COB（SAS）．所以AC =BC．归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.用数学语言表示为：因为l⊥AB， AO =BO，所以 AC =BC．提炼概念 典例精讲 例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；（2）作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．问题：你能说明这样作的道理吗？答案：垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；（2）作直线CD，交AB于点O.点O就是线段AB的中点． 做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.作法：（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.点O就是△ABC的重心提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.巩固训练1.答案：C2.B 3.解：可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.4.解：∵△ABC的周长为28，BC＝8且AB＝AC，∴AB＋AC＋BC＝28，即2AC＋BC＝28，∴AC＝10.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△BCE的周长为：BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.即△BCE的周长是18.5.证明：∵点P是边AB、BC的垂直平分线的交点，∴ PA=PB，PB=PC∴ PA=PB=PC∴ PA=PC，点P必在AC的垂直平分线上。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
课堂小结 这节课你学到什么？1.线段的轴对称性,知道了线段的一条对称轴是线段的垂直平分线.2.线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.3.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.4.尺规作图:线段的垂直平分线的作法.
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