四川省遂宁市2021-2022学年高二下学期理数开学考试试卷
1．（2022高二下·遂宁开学考）直线 的倾斜角为（ ）
A．150 B．30 C．120 D．60
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：由题意得直线的斜率为，则倾斜角为60°.
故答案为：D
【分析】根据直线的一般式方程求得斜率即可求解.
2．（2022高二下·遂宁开学考）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：由题意得， 命题“ ， ”的否定是 ， .
故答案为：D
【分析】根据全称量词命题的否定的是存在量词命题即可直接写出.
3．（2022高二下·遂宁开学考）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则下列命题正确的是（ ）
① 若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ④若 ，则
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面， 不在同一平内，有可能平行，所以不正确；
对于②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确；
对于③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确；
对于④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.
故选：C.
【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断①；
根据直线与平面垂直的判定定理可判断②；
根据平面与平面平行的性质定理可判断③；
根据平面与平面垂直的性质定理可判断④.
4．（2022高二下·遂宁开学考）某企业生产某种产品，其广告层面的投入为x（单位：百万元），该企业产生的利润为y（单位：百万元），经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入x与利润y满足线性回归方程： ，则t的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 t 70
A．45 B．50 C．56.5 D．65
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知： ，且在回归直线 上，所以代入可得 ，
即 ，解得：t=50 .
故答案为：B
【分析】根据线性回归方程的性质求解即可.
5．（2022高二下·遂宁开学考）已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3， 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与 所成的角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接A1D，AD，A1B ，由CC1//AA1，所以∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，
因为三棱锥 的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，
A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得 ，
由余弦定理，可得 ，
因为∠A1AB ，所以 ，
所以异面直线AB与 所成的角的为 .
故答案为：C.
【分析】根据异面直线所成角的定义，结合余弦定理求解即可.
6．（2022高二下·遂宁开学考）若直线 与 平行，则m的值为（ ）
A．－2 B．－1或－2 C．1或－2 D．1
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意得3m(m+1)-6=0，解得m=-2或m=1 .经验证不重合，满足题意，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可.
7．（2022高二下·遂宁开学考）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由程序框图的逻辑，执行步骤如下：
1、S=0，k=1 ：k<6 执行循环， ，k=2 ；
2、，k=2 ：k<6： 执行循环， ，k=3；
3、 ，k=3； k<6： 执行循环， ，k=4；
4、 ，k=4；： 执行循环， ，k=5；
5、 ，k=5； k<6： 执行循环， ，k=6；
6、 ，k=6； k<6： 不成立，跳出循环.
∴输出的值为 .
故答案为：B.
【分析】根据循环结构直接求解即可.
8．（2022高二下·遂宁开学考）设x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：不等式组表示的可行域如图所示，
表示过可行域中的点(x，y)和原点(0，0)的直线的斜率，
由图可知当直线过点C时，直线的斜率最大，
由 ，得 ，即 ，
所以的最大值为 ，
故选：D
【分析】根据线性规划的性质，运用数形结合思想求解即可.
9．（2022高二下·遂宁开学考）设点P为直线 上的点，过点P作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；圆的标准方程；圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由于PA，PB是圆C：(x+1)2+(y+1)2=4 的两条切线，A，B是切点，
所以 ，
当|PC|最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC： ，即x-2y-1=0 ，
联立 得， 所以P(1，0) ，
则PC的中点为 ， ，
以PC为直径的圆的方程为 ，
即x2+y2+y-1=0 ，
与圆C： 两圆方程相减可得直线AB的方程为 ．
故选：B．
【分析】根据圆的切线的性质，以及三角形面积公式，结合两直线的交点以及圆的方程，利用圆与圆的位置关系即可求解.
10．（2022高二下·遂宁开学考）近期，新冠疫苗第三针加强针开始接种，接种后需要在留观室留观满半小时后才能离开.甲 乙两人定于某日上午前往同一医院接种，该医院上午上班时间为7：30，开始接种时间为8：00，截止接种时间为11：30.假设甲 乙在上午时段内的任何时间到达医院是等可能的，因接种人数较少，接种时间忽略不计.则甲 乙两人在留观室相遇的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单线性规划的应用；几何概型
【解析】【解答】解：由题意，设甲 乙两人的接种时间分别为x，y.
则 ，若满足题意即|x-y|≤0.5 ，
如图，
则 .
故选：A
【分析】根据线性规划，结合几何概型的计算公式求解即可.
11．（2022高二下·遂宁开学考）我国古代数学名著《九章算术》中有堑堵一说，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的“堑堵” 中， ， ， ，则“堑堵”的外接球的表面积为（ ）
A．8π B．4π C． D．2π
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球心为O ，AC=BC ，∠ACB=90° ，
则底面ABC外接圆的圆心为AB的中点O1，
R2=O1O2+O1B2=1+1=2 ，
S=4πR2=8π ，
故答案为：A．
【分析】根据三棱柱的结构特征，结合外接球的表面积公式求解即可.
12．（2022高二下·遂宁开学考）设函数 ，若 是从 三个数中任取一个， 是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】当 时，
当且仅当 时，取“＝”，
∴ ，
于是 恒成立就转化为 成立；
当 时， ，
设事件A：“ 恒成立”，
则基本事件总数为15个，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个
所以 .
故选：A.
【分析】先把f(x)的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，再结合列举法以及古典概型的概率计算公式求解即可.
13．（2022高二下·遂宁开学考）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是 .
【答案】73
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.
说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.
则样本中的最后一个个体编号是73.
故答案为：73
【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.
14．（2022高二下·遂宁开学考）某甲 乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是 .
①甲比乙的极差大；②乙的中位数是18；③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是21.
【答案】①③④
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；
乙中位数是，②错；
甲平均数是：，
乙的平均数为：16.9，③正确；
乙的众数是21，④正确．
故答案为：①③④
【分析】根据题意由中位数、平均数、众数以及极差公式，代入数值计算出结果即可。
15．（2022高二下·遂宁开学考）直线l ： y=-x+m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线 表示圆 的右半圆，当直线 与 相切时， ，即 ，由 表示直线 的截距，因为直线l与曲线 有两个公共点，由图可知，所以 .
故答案为： .
【分析】根据圆的标准方程与性质，结合直线与圆的位置关系，运用数形结合思想求解即可.
16．（2022高二下·遂宁开学考）已知平面上任意一点 ，直线 ，则点P到直线l的距离为 ；当点 在函数 图象上时，点P到直线l的距离为 ，请参考该公式求出 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】令 ， ，
∴ 表示函数 图象上的点到直线 的距离，
表示函数 图象上的点到直线 的距离，
∴目标式几何意义：半圆 上的点到直线 、 的距离之和的 倍，
∴最小值为 ．
故答案为： .
【分析】令 ，将问题转化为函数图象上的点到直线 、 的距离之和的 倍，即可求得最小值．
17．（2022高二下·遂宁开学考）已知直线
（1）求过点，且与直线平行的直线的方程；
（2）直线与圆相交于两点，求线段的长.
【答案】（1）解：解法一：
直线的斜率为
直线的斜率为
直线的方程为
即
解法二：
直线的方程为
直线过点
直线的方程为
（2）解：易知圆心，半径
圆心到直线的距离
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用两种方法解题。解法一：利用直线l的方程求出直线l的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出直线m的斜率，再利用点斜式求出直线m的方程，再转化为直线m的一般式方程；解法二：利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设出直线m的一般式方程为，再利用直线m过点 结合代入法得出C的值，进而得出直线m的一般式方程。
（2） 利用圆的一般方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用已知条件结合弦长公式，从而得出A，B两点的距离。
18．（2022高二下·遂宁开学考）“十一五”规划提出单位国内生产总值（GDP）能耗降低20%左右的目标，“节能降耗”需要长期推行，这既有利于改善环境 可持续发展，又有利于民众生活福祉的改善.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6 7
y 2.7 3.5 4.1 4.7 5
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（2）当该厂产量提升到10吨时，预测生产能耗为多少.
【答案】（1）解：因为 ， ，
， .
所以 ，
所以 ，
所以y关于x的线性回归肪程为 .
（2）解：当 时， ，
所以当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表格分别求出x，y的平均数， ， ，代入题中所给公式，求出 的值，求出回归方程即可；
（2）将x=10代入回归方程，即可求出结果.
19．（2022高二下·遂宁开学考）在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与 所成角的正切值.
【答案】（1）证明：∵ ∥ 且EN 平面MNE ，BC 平面MNE ，
∴BC∥平面MNE ，
又∵ ∥ 且EM 平面MNE ， 平面MNE ，
∴ ∥平面MNE
又∵ ， ∴ 平面 ∥平面 ，
（2）解：由（1）得 ∥ ，
∴ 为直线MN与 所成的角，
设正方体的棱长为a，
在 △ 中， ， ，
∴ .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理，结合平面与平面平行的判定定理求证即可；
(2)根据异面直线所成角的定义，结合正切函数的定义求解即可.
20．（2022高二下·遂宁开学考）某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）①根据图中数据，求出月销售额在 小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
（2）该公司决定从月销售额为 和 的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
【答案】（1）解：①月销售额在 小组内的频率为
.
②若要使 的推销员能完成月销售额目标，则意味着 的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知， 和 两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为 （万元）.
（2）解：根据直方图可知，月销售额为 和 的频率之和为0.08，由 可知待选的推销员一共有4人.
设这4人分别为 ，则样本空间为 { }，一共有6种情况
其中2人来自同一组的情况有2种
所以选出的推销员来自同一个小组的概率 .
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）①利用各组的频率和为1求解；
②由题意可得30%的推销员不能完成该目标，而前两组的频率和0.18<0.3 ，前三组的频率和为0.31>0.3 ，所以月销售目标应在第3组，从而可求得结果；
（2）由频率分布直方图结合题意可得待选的推销员一共有4人，然后利用列举法求解概率.
21．（2022高二下·遂宁开学考）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，请问在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在请求出 的位置，不存在请说明理由.
【答案】（1）证明：连接 交 于点 ，
因 ，则
由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，
得 平面 ，又 平面 ，所以 .
三棱柱 是直三棱柱，则 底面ABC，所以 .
又 ，从而 侧面 ，
又 侧面 ，故 .
（2）解：由(1). 平面 ，则 直线 与平面 所成的角，
所以 ，又 ，所以
假设在线段 上是否存在一点E，使得二面角 的大小为 ，
由 是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为x，z轴，以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ，
且设 ， ，
得
所以 ，
设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：
，取 ，
由(1)知 平面 ，所以平面 的一个法向量 ，
所以 ，解得 ，
∴点E为线段 中点时，二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面与平面垂直的性质定理，以及直线与平面垂直的性质求解即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
22．（2022高二下·遂宁开学考）已知直线 ，圆 .
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ， 与 的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【答案】（1）证明：直线 过定点 ，代入 得： ，故 在圆内，故直线l与圆C相交
（2）解：圆 的圆心为 ，设点 ，由垂径定理得： ，即 ，化简得： ，点M的轨迹方程为：
（3）解：设点 ，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为： ，即 ，与圆C的方程 联立，消去二次项得： ，即为直线 的方程，因为直线 过定点 ，所以 ，解得： ，所以当m变化时，点Q恒在直线 上.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据恒过定点的直线，结合点与圆、直线与圆的位置关系求解即可；
(2)根据轨迹方程的求法，结合两直线垂直的充要条件求解即可；
(3)利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立圆C ，求出相交弦的方程，即直线l的方程，根据直线l过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线x=2上.
1 / 1四川省遂宁市2021-2022学年高二下学期理数开学考试试卷
1．（2022高二下·遂宁开学考）直线 的倾斜角为（ ）
A．150 B．30 C．120 D．60
2．（2022高二下·遂宁开学考）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022高二下·遂宁开学考）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则下列命题正确的是（ ）
① 若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ④若 ，则
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．（2022高二下·遂宁开学考）某企业生产某种产品，其广告层面的投入为x（单位：百万元），该企业产生的利润为y（单位：百万元），经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入x与利润y满足线性回归方程： ，则t的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 t 70
A．45 B．50 C．56.5 D．65
5．（2022高二下·遂宁开学考）已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3， 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与 所成的角的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·遂宁开学考）若直线 与 平行，则m的值为（ ）
A．－2 B．－1或－2 C．1或－2 D．1
7．（2022高二下·遂宁开学考）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·遂宁开学考）设x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
9．（2022高二下·遂宁开学考）设点P为直线 上的点，过点P作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·遂宁开学考）近期，新冠疫苗第三针加强针开始接种，接种后需要在留观室留观满半小时后才能离开.甲 乙两人定于某日上午前往同一医院接种，该医院上午上班时间为7：30，开始接种时间为8：00，截止接种时间为11：30.假设甲 乙在上午时段内的任何时间到达医院是等可能的，因接种人数较少，接种时间忽略不计.则甲 乙两人在留观室相遇的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·遂宁开学考）我国古代数学名著《九章算术》中有堑堵一说，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的“堑堵” 中， ， ， ，则“堑堵”的外接球的表面积为（ ）
A．8π B．4π C． D．2π
12．（2022高二下·遂宁开学考）设函数 ，若 是从 三个数中任取一个， 是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022高二下·遂宁开学考）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是 .
14．（2022高二下·遂宁开学考）某甲 乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是 .
①甲比乙的极差大；②乙的中位数是18；③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是21.
15．（2022高二下·遂宁开学考）直线l ： y=-x+m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是 .
16．（2022高二下·遂宁开学考）已知平面上任意一点 ，直线 ，则点P到直线l的距离为 ；当点 在函数 图象上时，点P到直线l的距离为 ，请参考该公式求出 的最小值为 ．
17．（2022高二下·遂宁开学考）已知直线
（1）求过点，且与直线平行的直线的方程；
（2）直线与圆相交于两点，求线段的长.
18．（2022高二下·遂宁开学考）“十一五”规划提出单位国内生产总值（GDP）能耗降低20%左右的目标，“节能降耗”需要长期推行，这既有利于改善环境 可持续发展，又有利于民众生活福祉的改善.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6 7
y 2.7 3.5 4.1 4.7 5
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（2）当该厂产量提升到10吨时，预测生产能耗为多少.
19．（2022高二下·遂宁开学考）在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与 所成角的正切值.
20．（2022高二下·遂宁开学考）某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）①根据图中数据，求出月销售额在 小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
（2）该公司决定从月销售额为 和 的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
21．（2022高二下·遂宁开学考）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，请问在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在请求出 的位置，不存在请说明理由.
22．（2022高二下·遂宁开学考）已知直线 ，圆 .
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ， 与 的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：由题意得直线的斜率为，则倾斜角为60°.
故答案为：D
【分析】根据直线的一般式方程求得斜率即可求解.
2．【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：由题意得， 命题“ ， ”的否定是 ， .
故答案为：D
【分析】根据全称量词命题的否定的是存在量词命题即可直接写出.
3．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面， 不在同一平内，有可能平行，所以不正确；
对于②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确；
对于③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确；
对于④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.
故选：C.
【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断①；
根据直线与平面垂直的判定定理可判断②；
根据平面与平面平行的性质定理可判断③；
根据平面与平面垂直的性质定理可判断④.
4．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知： ，且在回归直线 上，所以代入可得 ，
即 ，解得：t=50 .
故答案为：B
【分析】根据线性回归方程的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接A1D，AD，A1B ，由CC1//AA1，所以∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，
因为三棱锥 的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，
A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得 ，
由余弦定理，可得 ，
因为∠A1AB ，所以 ，
所以异面直线AB与 所成的角的为 .
故答案为：C.
【分析】根据异面直线所成角的定义，结合余弦定理求解即可.
6．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意得3m(m+1)-6=0，解得m=-2或m=1 .经验证不重合，满足题意，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可.
7．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：由程序框图的逻辑，执行步骤如下：
1、S=0，k=1 ：k<6 执行循环， ，k=2 ；
2、，k=2 ：k<6： 执行循环， ，k=3；
3、 ，k=3； k<6： 执行循环， ，k=4；
4、 ，k=4；： 执行循环， ，k=5；
5、 ，k=5； k<6： 执行循环， ，k=6；
6、 ，k=6； k<6： 不成立，跳出循环.
∴输出的值为 .
故答案为：B.
【分析】根据循环结构直接求解即可.
8．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：不等式组表示的可行域如图所示，
表示过可行域中的点(x，y)和原点(0，0)的直线的斜率，
由图可知当直线过点C时，直线的斜率最大，
由 ，得 ，即 ，
所以的最大值为 ，
故选：D
【分析】根据线性规划的性质，运用数形结合思想求解即可.
9．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；圆的标准方程；圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由于PA，PB是圆C：(x+1)2+(y+1)2=4 的两条切线，A，B是切点，
所以 ，
当|PC|最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC： ，即x-2y-1=0 ，
联立 得， 所以P(1，0) ，
则PC的中点为 ， ，
以PC为直径的圆的方程为 ，
即x2+y2+y-1=0 ，
与圆C： 两圆方程相减可得直线AB的方程为 ．
故选：B．
【分析】根据圆的切线的性质，以及三角形面积公式，结合两直线的交点以及圆的方程，利用圆与圆的位置关系即可求解.
10．【答案】A
【知识点】简单线性规划的应用；几何概型
【解析】【解答】解：由题意，设甲 乙两人的接种时间分别为x，y.
则 ，若满足题意即|x-y|≤0.5 ，
如图，
则 .
故选：A
【分析】根据线性规划，结合几何概型的计算公式求解即可.
11．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球心为O ，AC=BC ，∠ACB=90° ，
则底面ABC外接圆的圆心为AB的中点O1，
R2=O1O2+O1B2=1+1=2 ，
S=4πR2=8π ，
故答案为：A．
【分析】根据三棱柱的结构特征，结合外接球的表面积公式求解即可.
12．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】当 时，
当且仅当 时，取“＝”，
∴ ，
于是 恒成立就转化为 成立；
当 时， ，
设事件A：“ 恒成立”，
则基本事件总数为15个，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个
所以 .
故选：A.
【分析】先把f(x)的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，再结合列举法以及古典概型的概率计算公式求解即可.
13．【答案】73
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.
说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.
则样本中的最后一个个体编号是73.
故答案为：73
【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.
14．【答案】①③④
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；
乙中位数是，②错；
甲平均数是：，
乙的平均数为：16.9，③正确；
乙的众数是21，④正确．
故答案为：①③④
【分析】根据题意由中位数、平均数、众数以及极差公式，代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线 表示圆 的右半圆，当直线 与 相切时， ，即 ，由 表示直线 的截距，因为直线l与曲线 有两个公共点，由图可知，所以 .
故答案为： .
【分析】根据圆的标准方程与性质，结合直线与圆的位置关系，运用数形结合思想求解即可.
16．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】令 ， ，
∴ 表示函数 图象上的点到直线 的距离，
表示函数 图象上的点到直线 的距离，
∴目标式几何意义：半圆 上的点到直线 、 的距离之和的 倍，
∴最小值为 ．
故答案为： .
【分析】令 ，将问题转化为函数图象上的点到直线 、 的距离之和的 倍，即可求得最小值．
17．【答案】（1）解：解法一：
直线的斜率为
直线的斜率为
直线的方程为
即
解法二：
直线的方程为
直线过点
直线的方程为
（2）解：易知圆心，半径
圆心到直线的距离
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用两种方法解题。解法一：利用直线l的方程求出直线l的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出直线m的斜率，再利用点斜式求出直线m的方程，再转化为直线m的一般式方程；解法二：利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设出直线m的一般式方程为，再利用直线m过点 结合代入法得出C的值，进而得出直线m的一般式方程。
（2） 利用圆的一般方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用已知条件结合弦长公式，从而得出A，B两点的距离。
18．【答案】（1）解：因为 ， ，
， .
所以 ，
所以 ，
所以y关于x的线性回归肪程为 .
（2）解：当 时， ，
所以当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表格分别求出x，y的平均数， ， ，代入题中所给公式，求出 的值，求出回归方程即可；
（2）将x=10代入回归方程，即可求出结果.
19．【答案】（1）证明：∵ ∥ 且EN 平面MNE ，BC 平面MNE ，
∴BC∥平面MNE ，
又∵ ∥ 且EM 平面MNE ， 平面MNE ，
∴ ∥平面MNE
又∵ ， ∴ 平面 ∥平面 ，
（2）解：由（1）得 ∥ ，
∴ 为直线MN与 所成的角，
设正方体的棱长为a，
在 △ 中， ， ，
∴ .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理，结合平面与平面平行的判定定理求证即可；
(2)根据异面直线所成角的定义，结合正切函数的定义求解即可.
20．【答案】（1）解：①月销售额在 小组内的频率为
.
②若要使 的推销员能完成月销售额目标，则意味着 的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知， 和 两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为 （万元）.
（2）解：根据直方图可知，月销售额为 和 的频率之和为0.08，由 可知待选的推销员一共有4人.
设这4人分别为 ，则样本空间为 { }，一共有6种情况
其中2人来自同一组的情况有2种
所以选出的推销员来自同一个小组的概率 .
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）①利用各组的频率和为1求解；
②由题意可得30%的推销员不能完成该目标，而前两组的频率和0.18<0.3 ，前三组的频率和为0.31>0.3 ，所以月销售目标应在第3组，从而可求得结果；
（2）由频率分布直方图结合题意可得待选的推销员一共有4人，然后利用列举法求解概率.
21．【答案】（1）证明：连接 交 于点 ，
因 ，则
由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，
得 平面 ，又 平面 ，所以 .
三棱柱 是直三棱柱，则 底面ABC，所以 .
又 ，从而 侧面 ，
又 侧面 ，故 .
（2）解：由(1). 平面 ，则 直线 与平面 所成的角，
所以 ，又 ，所以
假设在线段 上是否存在一点E，使得二面角 的大小为 ，
由 是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为x，z轴，以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ，
且设 ， ，
得
所以 ，
设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：
，取 ，
由(1)知 平面 ，所以平面 的一个法向量 ，
所以 ，解得 ，
∴点E为线段 中点时，二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面与平面垂直的性质定理，以及直线与平面垂直的性质求解即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
22．【答案】（1）证明：直线 过定点 ，代入 得： ，故 在圆内，故直线l与圆C相交
（2）解：圆 的圆心为 ，设点 ，由垂径定理得： ，即 ，化简得： ，点M的轨迹方程为：
（3）解：设点 ，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为： ，即 ，与圆C的方程 联立，消去二次项得： ，即为直线 的方程，因为直线 过定点 ，所以 ，解得： ，所以当m变化时，点Q恒在直线 上.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据恒过定点的直线，结合点与圆、直线与圆的位置关系求解即可；
(2)根据轨迹方程的求法，结合两直线垂直的充要条件求解即可；
(3)利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立圆C ，求出相交弦的方程，即直线l的方程，根据直线l过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线x=2上.
1 / 1
