人教版八年级数学下册 17.1.1 勾股定理 课件 (共24张PPT)

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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时　勾股定理
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有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形
直角三角形的概念
你知道在古代，人们如何称呼直角三角形的三边吗？
勾
股
弦
勾、股、弦之间有什么关系呢？
探究新知
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
你从图片中发现了什么？
观察
(1)三个正方形的面积有什么关系？　　
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积
思考
S
S1
S2
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
S=S1+S2，
a b
c
(2)图中正方形s1、s2、s所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
s1
s2
s
即c2=a2+b2.
探究
在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
知识归纳
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
思考 你能用不同的方式证明命题1吗？
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形
（ a、b、c为正数）
勾股定理
a
b
c
知识归纳
练习
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得52+122=c2 ,c=13;
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
解：由勾股定理得a2+152=252 ,a=20.
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：根据图形正方形E 的边长为:
故E的面积为:252=625.
例题与练习
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝ ，c＝4，求b；
(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.
解：(1)b＝3；
(2)b＝ ；
(3)S△ABC＝54.
例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，
∴在Rt△ADC中，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，
例3　如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′，
∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.
∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，
即(4－x)2＝32＋x2，
∴AE＝CE.
练习
1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　 　)
A．48 B．60
C．76 D．80
C
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝ ，c＝3，求△ABC的面积．
∴a2＋b2＋2ab＝12.由题知，a2＋b2＝c2＝9，
解：∵a＋b＝ ，
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
证明