人教版八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共25张PPT)

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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
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命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c .
这个命题的条件和结论分别是什么？
如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？
结论：a2+b2=c2．
探究新知
　 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角：打13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
画一画
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a， b， c:
①5，12，13; ②7，24，25; ③8，15，17.
是
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13满足52+122=132，
a2+b2=c2
①5，12，13; ②7，24，25; ③8，15，17.
问题3 由上面的几个例子，你有什么猜想呢
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
② 7，24，25满足72+242=252，
③ 8，15，17满足82+152=172.
问题4 命题1、命题2的题设和结论分别是什么？
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么
这个三角形是直角三角形．
题设
结论
结论
题设
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
问题5 这两个命题有什么不同？
1.如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.
练习
因为由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
2.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
内错角相等，两直线平行；
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
对应角相等的两个三角形全等；
角平分线上的点到角两边的距离相等；
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.
成立
不成立
不成立
成立
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
分析：
证一证
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
知识归纳
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
例题与练习
例1　判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：
∵　152+82 =225+64=289， 172 =289，
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．
　　像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
∴　152+82 =172.
解：
∵132+142 =169+196=365，
　152 =225，
∴这个三角形不是直角三角形．
（2）a=13，b=14，c=15.
∴132+142 ≠152.
1
2
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行16n mile,“海天”号每小时航行12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“航天”号的航向了。
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
归纳
∴∠QPR=90°.
例3　如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13 n mile/h的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得距离走私艇C12 n mile，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
A
B
M
N
C
北
解：设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.
A
B
M
N
C
北
E
∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
∵MN⊥CE，E为MN与AC的交点，
由CE2＋BE2＝BC2，
∴9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．
A
B
M
N
C
北
E
3. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，
练习
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
例4　满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是
(　 　)
A．b2－c2＝a2
B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B
D．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
D
练习
5．下列各组数是勾股数的是(　 　)
A．3，4，5 B．1.5，2，2.5
C．32，42，52
A
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)，B(－2，3)，则∠OAB＝__________．
45°
7．一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸在图中已标出，这个零件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求．理由如下：
∵AD＝12，AB＝9，BC＝8，BD＝15，CD＝17，
∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2，
∴△ABD，△BDC是直角三角形，
且∠A＝90°，∠DBC＝90°.
故这个零件符合要求．
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
勾股数
互逆命题和互逆定理