人教版八年级数学下册 18.2.1.1矩形的性质 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时 矩形的性质
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
导入新课
探究新知
矩形
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请注意观察.
你能说出下面四边形是什么图形吗？
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：
平行四边形不一定是矩形.
知识归纳
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
矩形是常见的图形，门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象。
探究新知
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？
思考
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
命题1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
又 矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C ， ∠B = ∠D，∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC = BD，即矩形的对角线相等.
命题2:矩形的对角线相等
求证：AC = BD.
知识归纳
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
几何语言描述：
A
B
C
D
O
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，
AC=DB.
例题与练习
例1　如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 ．求矩形对角线的长．
A　
B 　
C 　
D 　
O 　
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OA=AB=4cm
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
探究新知
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC
∴BO= BD= AC.
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证一证
归纳
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
解：矩形是轴对称图形；
练习
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
有两条对称轴.
知识归纳
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
这是矩形所特有的性质
例题与练习
例2　如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴BF＝AE.
例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
解：∵DE＝AE，DF＝AF，
(2)求证：EF垂直平分AD.
∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
练习
2．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为(　 　)
A．1 cm　　　　　 B．2 cm　　　　　
C．2.5 cm　　　　　 D．4 cm
D
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
∴△EBF≌△DCE(AAS)，
在△EBF和△DCE中，
∴BE＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAD，
∴AE平分∠BAD.
∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA.
∴∠BAE＝∠EAD，
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形