人教版八年级数学下册 18.2.1.2矩形的判定 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
导入新课
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自己在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自己的是矩形．
甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形．”
乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角．所以我这个四边形门就是矩形．”
根据他们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形．
探究新知
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
你能证明这一猜想吗？
不对，等腰梯形的对角线也相等.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明：∵AB = DC , BC = CB, AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
知识归纳
对角线相等的平行四边形是矩形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
B
C
D
证一证
∴∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC, AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
知识归纳
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B =∠C =90°,
∴四边形ABCD是矩形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
知识归纳
例题与练习
例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC = AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
练习
解：还需要从花房运来38盆“红花”.
如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的交点没有摆花盆.
2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4. 求 ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形 ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB= 60°
∴∠AOD=120°
又AO=DO ，
∴∠ADC=90°.
∴四边形ABCD是矩形，
AC=8 ，DC=4， AD= ，
∴平行四边形ABCD的面积为 .
例2　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OB＝OD，
∴MN＝BD，
∴四边形NDMB为矩形．
例3　如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠H＝90°.同理，
∠HEF＝∠F＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴四边形EFGH是矩形．
练习
2．下列结论正确的是(　 　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有_____________________________________．(填序号)
①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理