人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第十八章 平行四边形
18 .2 特殊的平行四边形
18.2.3　正方形
导入新课
正方形
思考 正方形和矩形有什么关系？
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
探究新知
思考
正方形有哪些性质？
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
知识归纳
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的性质
1.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
练习
2.如何从一块长方形木板中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
A
B
C
D
探究新知
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
思考
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
邻边相等
有一个直角
一组邻边相等
有一个直角
做一做 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
矩形
满足怎样条件的矩形是正方形？
如何判定一个四边形是正方形呢？
探究新知
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
做一做 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
菱形
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
知识归纳
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
正方形常见的判定方法
先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形
平行四边形
如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°.
在Rt△BEC中，
（m）
练习
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，
AB=BC=20 （m），
AC= = =40（m）
S正方形ABCD=BC2 = （20 ）2
=800（m2）
所以正方形的对角线长40m，
面积为800m2.
例题与练习
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，
△DAO都是等腰直角三角形，
并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
图中共有多少个等腰直角三角形？
例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，
∴PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形．
例题与练习
练习
1．教材P60练习第3题．
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　 　)
A．14 B ． 15
C．16 D．17
C
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是______．
45°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
解：(1)∵点O为AB的中点，
∴BO＝AO.
又∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形；
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
AD是△ABC的角平分线，
由(1)，得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
课堂小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结