人教版八年级数学下册 19.2.3一次函数与方程、不等式 课件(共19张PPT)

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第十九章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.3　一次函数与方程、不等式
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1．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那么此函数的解析式为__________．
2．一次函数y＝x－2与x轴交点的坐标是_______，一元一次方程x－2＝0的解是_______.
想一想，这二者之间有什么联系？
(2，0)
x＝2
探究新知
思考
下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
相同点：等号左边都是 ，
不同点：等号右边分别是 ， ， .
2x+1
3
0
-1
从形态上看：
从函数的角度看：
方程2x+1=3的解是： ；
即当 时，函数y=2x+1的值为3，也就是 ；
方程2x+1=-1的解是： ；
即当 时，函数y=2x+1的值为-1，也就是 .
方程2x+1=0的解是： ；
即当 时，函数y=2x+1的值为0，也就是 ；
x=1
x=1
y=3
x=
y=0
x=-1
y=-1
x=
方程
函数
x=-1
从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值.
函数图象如右图所示：
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式.所以解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
探究新知
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？
　 （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
相同点：不等号左边都是 ，
不同点：不等号右边分别是 ， ， .
3x+2
2
0
-1
分析：从函数的角度看，解这三个方程
不等式3x+2>2的解是： ；
即当 时，函数 ；
不等式3x+2<-1的解是： ；
即当 时，函数 .
不等式3x+2<0的解是： ；
即当 时，函数 ；
x>0
y=3x+2>2
x<
x<
y=3x+2<0
x<-1
y=3x+2<-1
x>0
x<-1
①3x+2>2
②3x+2<0
③3x+2<-1
不等式
从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别满足大于2、小于0、小于-1的点时，求自变量x的取值范围.
函数图象如右图所示：
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
探究新知
问题1 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1小时.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位：米)关于上升时间(单位：分钟)的函数关系.
(1)气球上升时间满足 .
分析：
1号气球的函数解析式为 ；
2号气球的函数解析式为 .
0≤x ≤60
y=x+5
y=0.5x+15
(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度 如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
分析：
(2)在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.则只需求出x和y的值.
解二元一次方程组：
y=x+5，
y=0.5x+15，
即：
x-y=-5，
0.5x-y=-15，
解得：
x=20，
y=25，
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
　　二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
用一次函数图象解释上述问题，在直角坐标系中画出一次函数y =x+5与y =0.5x+15的图象.
A（20，25）
y =x+5
y =0.5x+15
30
25
20
15
10
5
10
20
15
5
O
x
y
归纳
知识归纳
从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为(y=kx+b)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x ，y)都是这个二元一次方程的解.
例题与练习
例1　已知一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)中，x与y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是多少？
x －1 0 1 2 3 …
y 6 4 2 0 －2 …
　解：x＝2.
例2　对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1
解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，
∴当x＝2时，2x－5＝－x＋1；
(2)由图象可知，当x＞2时，2x－5＞－x＋1.
(3)由图象可知，当x＜2时，2x－5＜－x＋1.
例3　直角坐标系中有两条直线： ， ，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A，B两点的坐标
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
解：(1)令y＝0，则 ，解得x＝－3，
∴点A的坐标为(－3，0)，
令y＝0，则 ，解得x＝4，
∴点B的坐标为(4，0)；
(2)结合图象，得方程组的解是
(3)AB＝4－(－3)＝7，
∴S△PAB＝ ×7×3＝ .
例题与练习
练习
1．教材P98　练习．
2．已知函数y＝kx＋b，当x＞5时，y＜0；当x＜5时，y＞0，则y＝kx＋b的图象必经过点(　　)
　A．(0，5)　　　B．(5，0)　　　C．(－5，0)　　　D．(0，－5)
B
3．若直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的取值范围为_____________．
4. 一次函数l1： 和l2：y2＝2x＋1的图象如图所示．
(1)求交点坐标；
(2)求方程组的解 ；
(3)当y1＞y2时，求x的取值范围；
(4)求不等式 的解集．
解：(1)(－1，－1)；
(3)x＜－1；
(4)x≥－1.
(2)
课堂小结
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程
解一元一次不等式
解二元一次方程组
对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
求对应两条直线交点的坐标 .