2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试训练卷（Word版含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
单元测试训练卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列命题中正确的是( )
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.则下列结论错误的是( )
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．DE＝DF D．BE＝DE
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
5. 如图，△ABC在正方形网格中，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
6. 如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
7. 如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )
A．8 B．10 C．11 D．13
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为( )
A．50° B．40° C．30° D．25°
9. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC之间的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m，按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )
A．2 m　　　B．3 m　　　C．6 m　　　D．9 m
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．
12. 如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝_________.
13. 如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，那么AD的长为__ __．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC＝____度．
15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是__ __．
16. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝__________．
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与其逆命题是不是互逆定理．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)同角的补角相等．
18．(8分) 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，
AD＝13，AC⊥CD.求四边形ABCD的面积．
19．(8分) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD，
△CAD的高，求证：AD垂直平分EF.
20．(10分) (1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为______________．
(2)若将(1)中的条件“Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“△ABC中，∠C＝2∠B”，如图②，请问：(1)中的结论是否仍然成立？并证明．
21．(12分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OE＝OF.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，AB＝13，求OE的长．
22．(12分) 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
参考答案
1-5DDABC 6-10BAACC
11．有两个直角
12. 3
13. 8
14．137
15.
16．2.4 cm
17．(1)解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．
(2)解：逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．
18．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝＝＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2. ∴∠B＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×AB×BC＋×AC×CD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36.
19. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上，又∵DE＝DF，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF
20．解：(1)AB＝AC＋CD
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：∵AD是∠CAB的平分线，∴将△CAD沿AD折叠，点C恰好落在AB边上，记为C′，如图所示．由折叠的性质知△ACD≌△AC′D，∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠1.∵∠C＝2∠B，∴∠1＝2∠B.又∵∠1＝∠2＋∠B，∴∠2＝∠B.∴C′D＝C′B＝CD.∴AB＝AC′＋BC′＝AC＋CD.
21．解：(1)证明：过点O作OM⊥AB.∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM.∵OE＝OF，∴OF＝OM，∴AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分线上
(2)连接OC，由(1)知，OE＝OD＝OM.∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴S△ABC＝×12×5＝30.∵S△ABC＝S△OBC＋S△AOC＋S△AOB＝×12OE＋×5OE＋×13OE＝×30OE＝15OE＝30，∴OE＝2
22．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形
(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC
(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高